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(2014)高中数学知识点总结(文科新稿)


高中数学知识点归纳(文科)
1.集合与逻辑
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” . 如:集合A ? ?x | y ? lg x?,B ? ? y | y ? lg x?,C ? ?( x, y) | y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况 . 数形结合是解决集合问题的常用方法,解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具. 注意:空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集 3.注意下列性质: (1) 集合?a1 ,a2 ,?,an ?的所有子集的个数是 (2) A ? B 有以下四种等价形式:① A ? B ? ③ A?? UB ? ;④ ?? U A? ? B ? . ; (答: 2 ) , A ? B ? ______ ; ② ?U B
n

?U A ;

(答:A;B; ? ; ? ;R)

(3)德摩根定理: 痧 ,痧 U ? A I B ? ? ? U A? U ? ? U B? U ? A U B ? ? ? U A? I ? ? U B? 4. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (?) ,“且” (?) 和 “非”(?).

若p ? q为真,当且仅当
若?p为真,当且仅当

; ;

若p ? q为真,当且仅当_______________________ ;

? p为假?

( p、q均为真) ( p、q至少有一个为真)

5.命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题. ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假. 6.判断命题充分、必要条件的三种方法: (1)定义法:条件推出结论,结论不能推出条件,则条件为结论的充分不必要条件,结论为条件的必要 不充分条件。 (2)利用集合间的包含关系判断(小充分大必要) ,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; (3)等价法:即利用等价关系“ A ? B ? ? B ? ? A ”判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的 命题,一般运用等价法; 7.特称命题 p : ?x ? A ,p( x) ,它的否定是: ?p : ?x ? A , ?p ( x ) , 全称命题 q : ?x ? A , q( x) ,它的否定是: ?q : ?x ? A , ?q ( x ) .

2. 函



1.映射与函数的概念?它们是何种关系? 2. (1)求不等式(方程)的解集,或求定义域时,你按要求写成集合或区间的形式了吗? 2? x (2)你会求分式函数的对称中心吗?函数 f ( x ) ? 的对称中心是 ? 3, ?1? , x?3 3.求一个函数的解析式,你注明了该函数的定义域了吗? 4.复合函数的有关问题: 复合函数的单调性由复合函数单调性的判断法则: “同增异减”判定,或由导数来判断. 5.函数的奇偶性 (1)若 f ? x ? 是偶函数,那么 f ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? x ? ; (2)若 f ? x ? 是奇函数,0 在其定义域内,则 f (0) ? 0 (可用于求参数) ;

f (? x) ? ?1 ? f ? x ? ? 0 ? ; f ( x) (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. 6.函数图像(或方程对应的曲线的对称性)
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,或
1

(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C2 上,反 之亦然; (3) 若函数 y ? f ? x ? 对 x∈R 时, f ? a ? x ? ? f ?a ? x ? 恒成立, 则 y ? f ? x ? 图像关于________对称;(直 线 x ?a) (4)函数 y ? f ? x ? a ? 与 y ? f ? b ? x ? 的图像关于________对称;(直线 x= (特殊:若 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ,则 y ? f ? x ? 的图像关于 x ? a 对称)

a?b ) 2

(5)若函数 y ? f ? x ? 对 x∈R 时, f ? a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b 恒成立,则 y ? f ? x ? 图像关于______对称. (点 ? a, b ? ),即:函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 的图像关于________成中心对称; (原点) 函数 y ? f ( x) , y ? n ? f (m ? x) 的图像关于点________对称; ( , )
2 2 m n

7.图象变换:

??? ?? y ? ? f(x) ?? y ? f(? x) ① y ? f ( x) ??? ;②y =f(x) ;
y轴对称

x轴对称

?? y ? ? f(? x) ③ y ? f ( x) ??? ;
④ y ? f ( x) → y ? f ? x ? ,把 x 轴上方的图象保留, x 轴下方的图象关于 x 轴对称; ⑤ y ? f ( x) → y ? f ? x ? ,把 y 轴右边的图象保留,然后将轴右边部分关于 y 轴对称; ⑥伸缩变换: y ? f ( x) → y ? f (? x) , y ? f ( x) → y ? Af (? x ? ? ) 具体参照三角函数的图象变换 8.函数的周期性 (1) y ? f ( x) 对 x∈R 时, f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,或 f ? x ? 2a ? ? f ? x ?? a ? 0? 恒成立, 则 y ? f ( x) 是周期为 的周期函数;(周期是 2a) (2) 若 y ? f ( x) 是偶函数, 其图像又关于直线 x ? a 对称, 则 f ? x ? 是周期为______的周期函数; (2 a ) (3) 若 y ? f ( x) 奇函数, 其图像又关于直线 x ? a 对称, 则 f ? x ? 是周期为________的周期函数; (4 a ) (4)若 y ? f ( x) 的图象关于点 ? a,0? , ? b,0?? a ? b ? 对称,则 f ? x ? 是周期函数,其中一个周期为 ______ ; (2 a ? b ) ; (2 a ? b ) ; (4 a ? b ) (5) y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b ? a ? b ? 对称,则函数 y ? f ( x) 是周期函数, 其中的一个周期为 (6) y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 和点 ? b,0 ? 对称,则函数 y ? f ( x) 是周期函数,其中的一个周期 为 (7)y ? f ( x) 对 x∈R 时,f ? x ? a ? ? ? f ? x ? , 或 f ? x ? a? ? ? 周期函数;(2 a ) 9.能熟练地用定义证明函数的单调性. 切记:研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行!一般是先求定义域,后化简,再研究性质. 例如: y ? log 1 ? x ? 2 x 的单调递增区间是________答: (1,2)
2 2

原点对称

1 , 则 y ? f ( x) 是周期为 f ? x?



?

?

10. (1) log a m

bn =

(2)换底公式: log a

N=

? a ? 0, a ? 1, b ? 0, m ? 0? ; ? a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? ;
2

(3) loga (MN ) ? ______(a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0) ;

(4) log a

(5) aloga N ? ___________ ? a ? 0, a ? 1, N ? 0? ;

M ? _______(a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0) ; N

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga2 a3 ??? logan?1 an ? _____ . ( log a1 an ) ( a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1, a2 ,?an ? 0 且 a1 , a2 ,?an 均不等于 1 ) 答案: (1)

n logb N log a b ; (2) ; (3) log a M ? log a N ; (4) log a M ? log a N ; (5)N m logb a
2 b ;顶点为 (? b , 4ac ? b ) ; 2a 2a 4a

11.一元二次函数: (有一般式、标准式、零点式) 一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,对称轴方程是 x ? ?

12.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法” :一看 开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 13.二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,则: 根的情况

x1 ≥ x2 ? k
在区间 ( k ,??) 上有两 根

x1 ≤ x2 ? k
在区间 ( ??, k ) 上有两 根

x1 ? k ? x2
在区间 ( k ,??) 或 ( ??, k ) 上有 一根

等价命题

充要条件

?? ≥ 0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

?? ≥ 0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0

14.你掌握了指数函数与对数函数的图像与性质吗?知道它们之间的关系吗?知道底数范围对它们性质的 影响吗?(参考课本) 特别注意:对数函数的底数、真数的限制条件. 15.幂函数 (1)你掌握了幂函数的定义吗?
2 3 ?1 2 (2)你掌握了 5 个基本的幂函数: y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的性质了吗? 1

3. 导



?y ?f 1. 平均变化率: ? ? __________________________________称为函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率. ?x ?x 2.导数的定义 函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 处 可 导 : 函 数 y ? f ( x) 在 x0 到 x0 ? ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即

?y ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ,如果当 ?x ? 0 时, 有极限,则称 y ? f ( x) 在点 x0 处可导. ?x ?x ?x 3.导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0,f ( x0 )) 处 的切线的斜率 k,即 k ? f ?( x0 ) .
4..①请一定要牢记常见函数导数公式;②请牢记导数的运算法则;③要知道复合函数的求导方法. 5 .求切线的斜率:根据导数的几何意义,函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数,就是曲线 y ? f ( x) 在点

P( x0,f ( x0 )) 处的切线的斜率. (注意:当切线平行于 y 轴时,这时导数不存在,切线方程为 x ? x0 .)
3

6.求函数的单调区间:利用导数判断函数单调性的步骤是: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x ) ; (3)令 f ?( x) ≥0 ,解出 x 的取值范围,得函数单调递增的区间;令 f ?( x) ≤ 0 ,解出 x 的取值范围, 得函数单调递减的区间.(注意:求单调区间不等式可不带等号,但求参数范围则一定带等号) 7 .求函数极值:设函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续且 f ?( x0 ) ? 0 ,若在点 x0 附近左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧

f ?( x) ? 0 ,则 x0 为函数的极大值点;若在点 x0 附近左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 x0 为函数的
极小值点. 注意:可导函数 f ( x ) 在点 x0 取得极值的充要条件是 f ?( x) ? 0 且在 x0 左右侧 f ?( x ) 符号不同. f ?( x) ? 0 是 x0 为极值点的必要不充分条件.函数的极值点是区间内的点,不能是区间的端点.把使 f ?( x) ? 0 的点 x0 附近的函数值的变化情况列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然. 8.求函数的最值:在闭区间[a,b]上连续的单调函数 y ? f ( x) ,在[a,b]上必有最大值与最小值. 设函数 y ? f ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求出 f ?( x) ? 0 的点,然后求出使 f ?( x) ? 0 的 所有点的函数值,再与端点函数值 f (a),f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小 1. 终边相同的角?若角 ? 与 ? 的终边相同,则 ? ? ? ? 2k? ,(k ? Z ) ,其三角函数值相等。 各象限三角函数值的符号:一全正,二正弦,三两切,四余弦;15? 角的正弦余弦值还记得吗? 2.(1)正弦线、余弦线、正切线,借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗? (2)三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间、对称中心、 对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗?(别忘了 k ? Z ) (3) y ? tan x 图象的对称中心是点 (

4.三角函数

k? , 0) ,而不是点 (k? , 0) (k ? Z ) 你可不能搞错了! 2

(4)你会用单位圆比较 sinx 与 cosx 的大小吗?当 x ? (0,

?

例如:函数 y ? tan x 与函数 y ? sin x 图象在 x∈[-2π,2π]上的交点的个数有

2

) 时,x, sinx, tanx 的大小关系如何?
个?

3 .三角函数中,两角 ?、? 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗?倍角公式、降次公式呢?

2 2 ? 1?o s c ? n is ? 1?o s c ? ; 1 ? sin? ? (cos? ? sin? ) 2 ? cos? ? sin? n a t ?? ? ? 2 1?o s c ? 1?o s c ? n is ? 2 2 2 2

重要公式: sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? 1 ? cos2? . ;

a ? ?cos ? ? a 2 ? b2 确定,也可由 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 中 ? 角是如何确定的?(可由 ? ? b ? sin ? ? ? a 2 ? b2 ? b tan ? ? 及 a , b 的符号来确定)公式的作用太多了,有此体会吗? a

巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2 2 2 2 4.会用五点法画 y ? A sin(?x ? ? ) 的草图吗?哪五点?会根据图象求参数 A、? 、? 的值吗?
5.同角三角函数的三个基本关系,你记住了吗?三角函数诱导公式的本质是: “奇变偶不变,符号看象限” 6.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边角互化?(用: 面积公式,正弦定理,余弦定理,大角对大边等实现转化) 7.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗?(1) 角的变换:和差、 倍角公式、 异角化同角、 单复角互化; (2) 名 的 变 换 : 切 割 化 弦 ;( 3 ) 次 的 变 换 : 降 幂 公式 ; ( 4 ) 形 的 变 换 : 通分 、 去 根 式 、 1 的 代换
4

? ? ? ? 2?

? ??



???

? ??

?

?

? ?? ? ?
? ?

等) ,

? ? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tan 2 ? ? csc2 ? ? cot 2 ? ? tan ? sin ? cos0 )等,这些统称为 1 的代换。 4 2
8.在已知三角函数中求一个角时,你(1)注意考虑两方面了吗?(先判定角的范围,再求出某一个三角函 数值) (2)注意考虑到函数的单调性吗? 9.形如 y ? A sin(?x ? ? ) +b, y ? A tan( ?x ? ? ) 的最小正周期会求吗?有关周期函数的结论还记得多少? 周期函数对定义域有什么要求吗?求三角函数周期的几种方法你记得吗? 10、 y ? A sin(?x ? ? ) +b 与 y=sinx 变换关系: ? 正左移负右移;b 正上移负下移;
左或右平移|? | ? y ? sin x ????? ? y ? sin( x ? ? ) ???????? ? y ? sin(? x ? ? ) 1 横坐标伸缩到原来的 倍

? ? y ? sin x ???????? ? y ? sin ? x ????? ? y ? sin(? x ? ? )
纵坐标伸缩到原来的A倍 上或下平移|b| ???????? y ? Asin(? x ? ? ) ????? ? y ? A sin(? x ? ? ) ? b

1 横坐标伸缩到原来的 倍

左或右平移 | |

?

11.在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖出正余弦的有界性了吗?

1 ,求 sin ? cos? 的变化范围. 2 提示:整体换元,令 sin ? cos? = t,然后与 sin ? cos ? 相加、相减,求交集. 12.请记住(sin? ? cos? )与 sin ? cos ? 之间的关.过关题:求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.
过关题:已知 sin ? cos ? ? 13. 常见角的范围: ①异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角的取值范围依次是 (0,

?

[0, ? ] ;
②直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 [0, ? ) , [0, ? ) , [0,

], [0, ] , 2 2

?

?
2

]

14.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗? l ?| ? | r , S ? 15.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗?

1 lr . 2
A 2 B?C ) 2

⑴ 内角和定理:三角形三内角和为 ? , sin A ? sin( B ? C ) , cos A ? ? cos( B ? C ) , sin ? cos( ⑵ 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径), sin A sin B sin C
2 2 2

注意:已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. ⑶ 余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , cos A ? 鉴定三角形的类型. ⑷ 面积公式: S ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? a 2 ? ? 1 等,常选用余弦定理 2bc 2bc

1 1 abc aha ? ab sin C ? ,内切圆半径 r= 2S?ABC . a?b?c 2 2 4R

( 5 )两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,大角对大边,大边对大角,你注意到了吗? sin A ? sin B ? A ? B ,你会证明吗? (6)已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: C 其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; b ②a=h 时,一解(直角) ;③h<a<b 时,两解(一锐 a 角,一钝角) ;④a ? b 时,一解(一锐角) 。 h ⑵A 为直角或钝角时:①a ? b 时,无解;②a>b 时, A 一解(锐角). (7)常见的三角换元法:
2 2 2 已知 x ? y ? a ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ; 2 2 已知 x ? y ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );

(8) ?ABC 中,易得: A ? B ? C ? ? ,
5

① sin A ? sin( B ? C ) , cos A ? ? cos( B ? C ) , tan A ? ? tan( B ? C ) . ② sin
A 2

? cos

B?C 2

, cos

A 2

? sin
?
2

B?C 2

.

③ a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ④锐角 ?ABC 中, A ? B ? , sin A ? cos B,cos A ? cos B , a 2 ? b 2 ? c 2 ,类比得钝角 ?ABC 结论.

⑤ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C .

5.平面向量
1.向量的加法、减法:平行四边形法则和三角形法则 运 算 图形语言 符号语言
??? ? ??? ? ???? OA + OB = OC ? ??? ? ??? ? ??? OB - OA = AB

??? ? ??? ? 记 OA ? ? x1, y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? ??? ? ??? ? 则 OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ??? ? ??? ? 则 OB ? OA ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ?

坐标语言

加法与减法
??? ? ??? ? ??? ? OA ? AB ? OB

实数与向量 的乘积

??? ? AB ? ?? ? ? ? R ?

? 记 a ? ? x, y ? ? 则 ? a ? ? ? x, ? y ?

两个向量 的数量积 2.在 ?ABC 中,D 是 BC 中点,则 AD ?

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos a, b

记 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ? ? 则 a ? b ? x1 x2 ? y 1 y2

?

?

????

3. 平面向量基本定理: 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ____________ ( ?1 e1 ? ?2 e2 ).

??

?? ?

? ???? 1 ??? AB ? AC . 2

?

?

?

?

? ?

??

? ? ? ? ? a ?b ? ?2 ? ? ? ? 4. a ? a , a ? b ?| a || b | cos? , a 在 b 的方向上的投影是 | a | cos? ? ? . |b|
5.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . (1) a // b ? ___________ ; (2) a ? b ? a ? b ? ____ ? ___________ .

?

?

? ?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 6 . 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , ? 为 a 与 b 的 夹 角 , 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ; a 在 b 的 方 向 上 的 投 影 是

? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ? b x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? ? ; cos? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 |b| | a || b | x2 ? y2 x1 ? y12 x2 ? y2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意: ? a, b? 为锐角 ? a ? b ? 0 , a , b 不同向; ? a, b? 为直角 ? a ? b ? 0 ; ? a, b? 为钝角 ? a ? b ? 0 , a , b
不反向.

??? ??? ? ??? ? ???? AB 7.三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线; ??? 表示与 AB 共线的单位向量.
| AB |

6

? ? ? ? ? ? 8. | a | ? | b | ≤| a ? b |≤| a | ? | b | ,注意等号成立的条件.
9.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ;

?

?

? ?

??? ? | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

? ? ? ? (2)若 a ? ( x, y) ,则 a 2 ? a ? a ? x2 ? y 2 .
10. P1 , P , P2 三点共线 ? 存在实数 ? 、 ? 使得 OP ? ?OP 1 ? ? OP 2 且? ? ? ? 11.三角形中向量性质: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? AB AC AB AC ① AB ? AC 过 BC 边的中点: ( ??? ? ? ??? ? ) ? ( ??? ? ? ??? ? );
| AB | | AC | | AB | | AC |

??? ?

????

???? ?

1

.

② PG ? ( PA ? PB ? PC) ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G 为 ?ABC 的_____心;(重)
3

??? ?

1

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PA ? PC ? P 为 ?ABC 的_______心; ( 垂 )
④ | BC | PA? | CA | PB? | AB | PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的________心;(内)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ??? AB AC ?ABC _______心.( 内 ) ? ( ??? ? ??? ) ? (? 0 ) 所在直线过
| AB| |AC|

6.数



一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n} )的特殊函数,数 列的通项公式也就是相应函数的解析式. 如:已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ; 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 2an ? an?1 ? an?1 (n ≥ 2) . 2.等差数列的通项: an ? ________ 或 an ? am ? (n ? m)d .( a1 ? (n ? 1)d )

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ; na1 ? d ). 2 2 a?b 4.等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 2 提醒:等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称
3.等差数列的前 n 和: Sn ? __________ ? ____________ ( 作为基本元素.只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2. 三.等差数列的性质: 1.当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公 差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 反之,当 2 2 2 2 an ? an ? b时可知 {an } 是等差数列;当 an ? An ? Bn 时可知 {an } 是等差数列,若是小题可以直接用

结论,要是大题则要给与证明. 2.若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列;公差 d ? 0 ,则为常数列. 3.当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 4.若 {an } 是等差数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?,也成等差数列;若 {an } 是 等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列.
7

5 .在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? S偶 ? a中 ,

? k ( ) 1 :? k . A a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? f (2n ? 1) . 6. 若等差数列 {an } 、 且 n ? f ( n) , 则 n ? {bn } 的前 n 和分别为 An 、Bn , Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1


; S奇 : S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) S

7. “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项 和的最小值是所有非正项之和. 法一:由不等式组 ?an ≥ 0 ? 或 ?an ≤ 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ; ? ? ? ?

?an?1 ≤ 0 ?

?an?1 ≥ 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊 性 n ? N .上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最 大或最小项吗? 8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公 差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .
*

四.等比数列的有关概念: 1.等比数列的判断方法:定义法 2.等比数列的通项: an

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n ?1 ? n (n ? 2) . ? q(q为常数) an an an ?1

? a1q n?1 或 an ? am q n?m .
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

3.等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解. 4.等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项. 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab .如已知两个正 数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒:等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称 作为基本元素.只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; 5.等比数列的性质:
2 (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? a p .

(2)公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?,也是等比数列.当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?,是常数数列 0,它不是等比数列. (3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 , 则 {an } 为常数列. ? a1 n a (4) 当 q ? 1 时, S n ? q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 n 1? q 1? q 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列.
如:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = -1 ; (5)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此 数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. 五.数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.
8

(2)已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ≥ 2)
1 n n ?1

.

f (1),(n ? 1) ? ? (3)已知 a1 ? a2 ??? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) . ,(n ≥ 2) ? f ( n ? 1) ? (4)若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ≥ 2) . _
(5)已知

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) . an an ?1 an ? 2 a1


(6)已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列).特别地, ①形如: an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an .

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项. kan ?1 ? b 注意: (1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,注意到此等式成立的条件了( n ≥ 2 ,当 n ? 1 时, ; a1 ? S1 ) (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 ,先将已知 条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解.要注意检验第一项。
②形如: an ? 六.数列求和的常用方法: 1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查 其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.如: 2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求 和. 3.3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考 虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用 错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法) 5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相 消法求和.常用裂项形式有:①

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k
2n 1 1 2 =2( n ? 1 ? n ) . ?( n ? n?1 ) ;④ n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 n ? n ?1



注意:裂项相消法与放缩法相结合使用。 七.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 1.这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“扳手指” ,细心计算 “年限” .对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 2.利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期

n(n ? 1) r ) (等 2 差数列问题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p 元,
利率为 r ,则 n 期后本利和为: Sn ? p(1 ? r ) ? p(1 ? 2r ) ? ? ? p(1 ? nr ) ? p (n ? 采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期 还 清 . 如 果 每 期 利 率 为 r ( 按 复 利 ), 那 么 每 期 等 额 还 款 x 元 应 满 足 :

p(1 ? r )n ? x(1 ? r )n?1 ? x(1 ? r )n?2 ? ?? x(1 ? r ) ? x (等比数列问题).

9

7.不 等 式 一.要注意不等式的性质中的可乘性,你最容易在使用那几个性质时出错呢?出错在什么环节? 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法. 三.利用重要不等式求函数最值时,要注意到: (1)各数(或各式)均为正;和或积其中之一为定值;等号能否成立,在利用基本不等式求最值时,一 定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件,缺一不可. (2)创设应用基本不等式的条件 ① 合理拆分项、配凑因式、配系数、添常数、对“1”的代换等是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使 等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值. ② 当多次使用基本不等式时, 一定要注意每次是否能保证等号成立, 并且要注意取等号的条件的一致性, 否则就会出错,因此在利用基本不长期处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而 且是检验转换是否有误的一种方法.

四.常用不等式有(1)

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2 2 1?1 a b
2 2

(2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号)
2

(3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

b b?m ? (糖水的浓度问题) . a a?m

五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、 配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。). 常用的放缩技巧有:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 k ?1 ? k ? ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k

六.简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2) 将每一个一次因式的根标在数轴上, 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿偶回; (3) 根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规律,写出不等式的解集. 七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但 分母恒为正或恒为负时可去分母.如:解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

(答:(?1,1) ? (2,3)

八.绝对值不等式的解法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集) : (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合(如含绝对值、无理不等式等具有明显几何意义的) ; (4)两边平方. 九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键. ”注意解 完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” . 注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. 十一.含绝对值不等式的性质(三角不等式) : (1) | a | ? | b |≥ a ? b 当且仅当 a、 b 同号或有 0 时取等号
10

(2) | a | ? | b |≥ a ? b 当且仅当 a、 b 异号或有 0 时取等号 (3) a ? b ≥ a ? b 当且仅当 a、 b 同号或有 0 时取等号 (4) a ? b ≥ a ? b 当且仅当 a、 b 异号或有 0 时取等号 如:设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) 十二.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程 思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B (2)能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . 如:已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围____ (答: a ? 1 ) (3) 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为

8. 解析几何
1.你掌握了直线方程的 5 种形式吗?你知道它们分别不能表示哪几种直线吗?它们分别在什么情况设比 较好呢?★ 你能区分截距和距离吗? 2.两直线平行的条件、垂直条件分别是什么?(1.从斜率与截距的角度;2.从一般方程的角度) 如: l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (1) A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ? l1 ? l2 ; (2)由 A 1B2 ? A 2B 1 ? 0 得字母的值,然后检验直线是否重合,可以得到 l1 ∥ l2 的条件.

3.直线的倾斜角的取值范围是

y ?y ? ? tan? ? 2 1 , ? ? ? x2 ? x1 2 ? ;k ?? . ? ?不存在, ?? ? 2 ?
; 两平行直线间的距离 d ? _______ . (

4. 点到直线的距离公式

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2



| C1 ? C2 | A2 ? B 2

).

注意:求平行直线之间的距离时,一定要将 x, y 的系数化成一样才可以. 5. y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 中, k 变化时表示何种直线系? y ? kx ? b 中, b 变化时表示何直线系? 和直线 Ax ? By ? C ? 0 平行、垂直的直线系方程分别是什么? 过 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程是怎样的?

11

6.满足 x ? a, x ? a, y ? b, y ? b, y ? kx ? b, y ? kx ? b 的点 ( x, y ) 分别表示平面上怎样的区域? 7.已知 x, y 满足一定的约束条件,你是否会解决下列线性规划问题: (1)怎样求下列形式的取值范围:① ax ? by ;②

? x ? a ? ? ? y ? b?
2

2

;③

y ?b x?a


(2)求一定的可行域内的最优解、整数解、含参数问题. 8.圆的标准方程 ;圆的一般方程 ★ 圆的一般方程中,注意: D ? E ? 4F ? 0 .
2 2

9.圆的切线方程: ① 若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条; ② 过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注 意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③ 斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. 10.过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆(相交弦)系方程 为 ( x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 . ? ? ?1 时为两圆相交弦所在直线方程.其 中圆系中不包含圆 C2 ,解答时要单独检验它. 11. (1)平面上到两 定点 F1 , F2 的距离之和是常数(大于两定点之间 的 距离 )的动点的轨迹叫椭圆. . ....... . .. (2)平面上到两 定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值 是常数(小于两定点之间距离且大于 ) 的动点的轨迹 . ... ............0 . 叫双曲线. (3)平面上到定点和定直线(定点不在定直线上 )的距离相等的点的轨迹叫抛物线. ........ ★ 到定点与到定直线(定点不在定直线上 )的距离之比是定值点的轨迹,当定值属于 (0,1) 时轨迹是椭圆; ........ 当定值为 1 时是抛物线;当定值属于 (1, + ? ) 时轨迹是双曲线.即为圆锥曲线的第二定义. 12.通过方程研究圆锥曲线的性质有:范围、对称性、离心率、渐近线、准线、顶点、焦点等.

x2 y2 x2 y 2 + = 1( a > b > 0) = 1( a > 0, b > 0) 中,在 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中的上述性质. 中,在 a2 b2 a2 b2 13.圆锥曲线与方程 (一)椭圆的方程及性质(以焦点在 x 轴上为例)
请指出在 (1)椭圆的普通方程是:
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

b2 c b2 a ? b ? c 离心率 e ? ? 1 ? 2 ,过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为 2 ? . a a a 2 2 x y (2)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a b a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex . c c
(3)椭圆的的内外部:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 ②点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
①点 P( x0 , y0 ) 在椭圆
12

; .

(二)双曲线方程及性质(以焦点在 x 轴上为例)

x2 y 2 c b2 2 2 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) c ? a ? b , ,离心率 ,过焦点且 e ? ? 1 ? a 2 b2 a a2 b2 垂直于实轴的弦叫通径,其长度为 2 ? . a 2 2 x y (2)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a b a2 a2 焦半径公式 PF1 ?| e( x ? ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | c c
(1)双曲线的普通方程: (3)双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x; 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b ②若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ; a b a a b 2 2 2 2 x y x y ③若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) ; ④焦点到渐近线的距离总是 b .
①若双曲线方程为 (三)抛物线方程及性质 1 .抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 : 抛物线 y 2 ? 2 px( p? 0) 焦半径 CF ? x0 ?

p . 过焦点弦长 2

;准线方程为 (四)直线与圆锥曲线相交于两点,连结两点的线段叫做弦. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 2. 抛物线 y ? mx (m ? 0) 的焦点是 CD ? x1 ?

. , 或
1

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x |2 ? 1? k

2

2 (x ? x 2 ) ?4 1x x ? 1 2?

1 1 | y ? y |? 11? 2 2( y ? y ) ? 4 y2 y 2 k k
12

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?
2

? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为直线的 ? F ( x, y ) ? 0

斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 .) 3.抛物线焦半径公式:设 P( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则

| PF |? x0 ?
2

p 2

; y 2 ? ?2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则 | PF |? ? x0 ?

p 2

.

4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有如下结论: (1) | AB |? x1 ? x2 ? p ; (2) x1 x2 ? (五) 解析几何与向量综合的有关结论:
??? ? ??? ?
p
2

4

, y1 y2 ? ? p 2 ; (3)

1

AF

?

1

BF

?

2 p

.

(1)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; ??? ? ???? ??? ? ???? (2)给出以下情形之一: ① AB ∥ AC ;②存在实数 ? ,使 AB ? ? AC ;③若存在实数 ? , ? ,
13

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? 且 ? ? ? ? 1 ,使 OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.

(3)给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ? AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等价于 已知 ? AMB 是钝角或反向共线; 给出 MA ? MB ? m ? 0 , 等价于已知 ? AMB 是锐角或同向共线.

??? ??? ? ???? MA MB ? ) ? MP ,等价于已知 MP 是 ? AMB 的平分线. (4)给出 ? ( ??? ? ???
| MA | | MB |

(5)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等价于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点) ??? ? ??? ? ???? ? (6)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等价于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点) (7)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等价于已知 O 是 ?ABC 的垂心.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ??? ? ??? ? ? ) (8)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? (
| AB | | AC |

??? ?2

??? ?2

????2

(? ? 0) 等价于已知 AP 通过 ?ABC 的内心.

??? ? ??? ? ??? ? ? (9)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 ,等价于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆
心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). (10)在 ?ABC 中,给出 AD ? ( AB ? AC ) ,等价于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线.
2

????

1

??? ? ??? ?

# 记住 k ? tan ? 的图象,以便由直线斜率的范围求倾斜角的范围,反之由倾斜角的范围求斜率的范围. # 当一点在直线的上方或下方确定时,点到直线的距离公式分子绝对值中式子的正负性是可确定的. # 应注意目标函数的几何意义. # A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 . # 处理直线与圆的关系问题时,常作圆心到直线的垂线段,常用到平面几何知识.
要记得:直线与圆的位置关系有三种:相离 ? d ? r ? ? ? 0 ;相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; 相交 ? d ? r ? ? ? 0 . 求直线与圆相交的弦长,一般用半径,弦心距,半弦长三者之间的关系. 两圆位置关系有五种: 外离 ? d ? r1 ? r2 ? 4 条公切线; 相交 ? r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 2 条公切线; 内含 ? 0 ? d ? r1 ? r2 ? 0 条公切线. 处理圆的有关问题时,要注意数形结合,充分利用圆的性质,如“垂直于弦的直径必平分弦” , “圆的切 线垂直于经过切点的半径” , “两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等等,寻找解题途径,减少运算量. 还有,过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过此点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径. 外切 ? d ? r1 ? r2 ? 3 条公切线; 内切 ? d ? r1 ? r2 ? 1 条公切线;

# 过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;若点(x0,y0)在已知圆外,x0x+y0y=r2 表示切
点弦;过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用圆心到切线的距离等于半径求 k ,这 时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线哈. # 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三
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角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). # 什么时候利用椭圆、双曲线、抛物线的第一定义解题?什么时候利用它们的第二定义解题? # 圆锥曲线的统一定义又是联系三种圆锥曲线的桥梁,特别是涉及两种圆锥曲线的交点问题;两种圆锥曲 线共焦点、共准线等问题时,千万别忘记想到利用它们的定义哟! # 在利用圆锥曲线统一定义解题时,你是否注意到定义中的定比的分子、分母的顺序了呢?如何利用第二 定义推出圆锥曲线的焦半径公式? # 千万别将椭圆方程中三参数 a、b、c 满足的关系与双曲线方程中三参数应满足的关系混淆哟! # 双曲线有两条渐近线,给出双曲线的渐近线我们可确定其中心和离心率,反之也如此喽. # 解二次曲线有关问题的常用方法有:①借助平几知识,用二次曲线的两种定义和性质;②韦达定理(设而 不求) ;③点差法(得到弦的斜率与中点坐标之间的关系). 解二次曲线有关问题的常用思想有:数形结合,方程(如求值,求范围),函数(如求最值,范围),从特殊 到一般的方法(如定点,定线,定角等). # 用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式 ? ? 0 的限制.在求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题中都在 ? ? 0 下进行,最后是韦达定理 的应用,圆锥曲线本身的范围你注意了吗? # 曲线与直线相交时,弦长如何求,弦长公式你记得吗? # 解析几何问题的求解中,平面几何知识利用了吗? 题目中是否已经有坐标系了,是否需要建立直角坐标系?

# 对于 y 2 ? 2 px( p ? 0) 抛物线上的点的坐标可设为 (

2 y0 , y0 ) ,以简化计算. 2p

# 圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆
P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k ? ?

x2 y2 ? ? 1 中,以 a2 b2

b 2 x0 x2 y2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线 ;在双曲线 a2 b2 a 2 y0

斜率 k ?

b 2 x0 p ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ? . 2 y0 a y0

# 求轨迹的几种基本方法有直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法等.请思考每一种方法的基本步骤
是怎样的.最后要检查有无多余的的点和遗漏的点.

9.立体几何
1.两直线有三种位置关系:平行、 、 ;直线与平面的位置关系有:平行、相交、 ; 两平面位置关系有: 和 . 2.两直线垂直有共面垂直和异面垂直;一直线与一平面垂直指的是这条直线与平面内所有的直线垂直; 两平面垂直指的是两平面所成的二面角是直角. 3.线、面平行的定理有: 公理 4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 直线与平面平行的判定定理: 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行. 直线与平面平行的性质定理: 若一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,则交线与 这条直线平行. 平面与平面平行的判定定理: 若一个平面内两相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 两平面平行的性质定理 1: 若两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面互相平行. 两平面平行的性质定理 2: 若两个平面平行,和第三个平面相交,则它们的交线互相平行. 两平面平行的性质定理 3: 若两个平面平行,则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
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4.线、面垂直的定理有: 直线与平面垂直的判定定理:若一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 平面与平面垂直的判定定理:若一条直线与一个平面垂直,则经过这条直线的任何平面与这个平面垂直. 两平面垂直的性质定理 1: 若两平面互相垂直,则一个平面内垂直交线的直线垂直于另一个平面. 两平面垂直的性质定理 2: 若两相交平面都和第三个平面垂直,则它们的交线也和第三个平面垂直. 5.两异面直线所成的角是在空间中任取一点,过该点分别作它们的平行线,两平行线的夹角,其范围是

(0, ] ;直线与平面所成的角是直线与其射影的夹角,其的范围是 [0, ] ;二面角是过棱上一点分别在 2 2 [0, ? ] 两个面内作棱的垂线,垂线的夹角,其范围是 .
8.证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 证明平面与平面平行的思考途径: (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)利用三垂线定理或逆定理. 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面. 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 9.空间几何体 (一) 、正四面体的性质:设正四面体的棱长为 a ,则这个正四面体的 (1)全面积 S? ? 3a 2 ; (2)体积 V ?

?

?

2 3 2 (3)对棱中点连线段的长 d ? a ; a; 12 2 6 6 (6)内切球半径 r ? a; a; 4 12

(4)对棱互相垂直; (5)外接球半径 R ?

(二) 、直角四面体的性质: (三条侧棱两两垂直的四面体) 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90° ,OA= a ,OB= b ,OC= c ,则: ①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③外接球半径 R= (三) 、长方体的性质: 1.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱的长的平方和. B 2.长方体的体对角线是外接球的直径. (四) 、正方体与球 1.设正方体的棱长为 a,它的外接球半径为 R1,内切球半径为 R2,棱切球半径为 R3 ,
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A

1 2 a ? b2 ? c2 ; 2

O

H C D

则 R1 =

a 3 2 a , R2 ? , R3 ? a. 2 2 2
, 体积为 ,体积为 , 体积为 , 体积为 . (L 为母线长) . . . , 体积为 , 体积为 , 体积为 , 体积为 . , 体积为 . . . .

(五)几何体的侧面积、表面积、体积计算公式 1.圆柱: 表面积为 2.圆锥: 表面积为 3.圆台: 表面积为 4.球:表面积为 5.正方体: a 为棱长, 则表面积为 6.长方体: a 为长, b 为宽, c 为高, 则表面积为 7.棱柱:表面积=侧面积+底面积×2,表面积为 8.棱锥:表面积=侧面积+底面积 ,表面积为 9.棱台:表面积=侧面积+上底面积+下底面积,表面积为

9.三视图: “长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.画几何体的三视图 时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

# # # #

# # # #

处理有关位置问题时,要有动的观点啦,要与平面几何方法类比啦,不行就举反例啦. 记住棱锥的顶点在底面的射影何时为底面的内心、旁心、外心、垂心、重心吧. 利用“平移法”求异面直线所成角时,平移后所得角不一定是所求的角哩. 作(找)出点面距离的几何方法有直接法、垂面法,有时干脆用体积法,懒得作它. 有了点面距离,象线面距离、面面距离、两异面直线间的距离都可以转化到点面距离求解 的哦.其实求(作)线面角, 我们常用直接法吧, 或者也可以先求直线上某一点到该平面的距 离哟. 遇到平面图形的翻折、立体图形的展开问题,要注意翻折、展开前后的“不变量”与“不 变性”哟.组合体嘛,有时只想图形,不画图形,画截面就可动手解题啦. 别忘了平面几何知识哟,要有将立体几何问题转化成平面几何问题处理的能力哟. 还记得这些几何体的区别么,想一想哈:直四棱柱,直平行六面体,长方体,正四棱柱, 正方体. 我们在解立体几何题时,都有这样的体会哦,上一问的证明时常对下一问的求解很有帮助 哟.

10.概率与统计
一、古典概率与几何概率 1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. ① 互斥事件:事件 A、B 互斥, P(A+B)= , ② 对立事件: P(A)? P(A) ? .P(A? A) ? 1 互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. 3. 注意古典概型与几何概型的区别及其概率求法。 (大题要写出所有基本事件;概率公式中分子是分母的 子集事件个数) 。 二、统计: 1.抽样方法主要有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,注意它们的特点与区别。 2.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的平均值和方差去估计总体的平均值和 方差.样本频率直方图中: 频率 ? 小长方形的面积 ? 组距× 频率 组距
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3.茎叶图: 茎叶图是常用的统计图表,用茎叶图表示数据时,不会损失______,所有的数据信息都可以从茎叶图 中得到,因此,可以根据样本数据中的“叶”的分布估计总体分布,但样本数据较多时,茎叶图就显得不 太方便了. 4.众数、中位数与平均数 (1)众数:一组数据中出现___ ___最多的数据叫做众数; (2)中位数:将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列,把______数据(或______________的平均数)叫 做中位数,中位数把样本数据分成了相同数目的两部分; (3)平均数:x1,x2,…,xn 的平均数 x =_________________. 注意:由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右, 因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性. 5.标准差与方差: 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离,一般用 s 表示. s=______________________________________. 标准差的平方 s2 叫做方差, s2=_____________________________________,

? ,其中直线必过样本中心点。. 6.回归直线方程: ? ? ? bx y?a
7.了解相关系数 r ,相关指数 R 2 ,独立性检验的统计量 K 2 的意义。

11.数系的扩充与复数的引入与算法
1、 复数的概念 形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位, 和 2、 两个复数相等的充要条件: x1 , x2 , y1 , y2 ? R, x1 ? y1i ? x2 ? y2i ? 分别为复数的实部与虚部

当两个复数不全为实数时,不能比较它们的大小. 3、共轭复数的概念: 4、复数 z = a +bi 可用点 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 x 轴叫实轴, y 轴叫虚轴,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数(原点除外).
一一对应 复数z ? a ? bi ? a, b ? R ? ???? ? 复平面内的点Z ? a, b ?,这是复数的一个几何意义 .

5. 复数的向量表示:任意复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与复平面内的点 Z ? a, b? 一一对应,也可以与以原点为 起点,点 Z 为终点的向量 OZ 对应.向量的长度叫做复数的模: z ? 6、复数的运算: (1) 、复数的加减法则: ; (2) 、复数的乘法与除法:乘法注意应用分配律,除法是先写出分式的形式,再分子、分母同时乘以分母 的共轭复数. ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ;

??? ?

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

? c ? di ? 0? . ?n ? Z ?

7、几个结论:

i 4n ?

i 4 n?1 ?

i 4n?2 ?

i 4 n ?3 ?

8、要理解程序框图与算法语句的意义。 (注意条件框的写法)可参考课本)

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