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山东省齐鲁教科研协作体19所2016届高三上学期第一次联考数学(文)试题


齐鲁名校教科研协作体 山东省19所名校2016届高三第一次调研(新起点)联考 数学(文科)试题
命题学校:邹平一中(李学玲) 审题学校:邹平一中 莱芜一中 邹城一中

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 考试结束后,将答题卡交回. 1. 答题前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米的黑色签字笔(中性笔)将自己的姓名、座号、 准考证号和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 2 (1)若集合 A ? x | x ? 1 ? 0 , B ? y | y ? x , x ? R ,则 A ? B ? (

?

?

?

?



(A) ?x | ?1 ? x ? 1? (C) ?x | 0 ? x ? 1? (2)复数 (A) i

(B) ?x | x ? 0? (D) ? )

3 ? 2i ?( 2 ? 3i

(B) ? i

(C)12-13 i

(D) 12+13 i )

(3) 已知 ? 为第四象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos 2? =( 3
(C)

(A) ?

5 3

(B) ?

5 9

5 9

(D)

5 3

(4)已知向量 a,b,且|a|=1,|b|=2,则|2b-a|的取值范围是(

)

(A)[1,3]

(B)[2,4]

(C)[3,5]

(D)[4,6] )

(5)为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6?

(A) 向左平移

? 6

(B) 向左平移

? 3

(C) 向右平移

? 6

(D) 向右平移

? 3

(6)已知 x0 是函数 f ( x) = log2 ( x ? 1) + 则( )

1 的一个零点.若 x1 ? (1, x0 ) , x2 ? ( x0 ,??) , 1? x

(A) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

(B) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 )

(7)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

(A)

138cm3

(B)

108cm3

(C)

90cm3

(D) 72cm (

3

(8) 下列命题中,真命题是 (A)存在 x ? [0,

)
2

?
2

] ,使 sin x ? cos x ? 2
2

(B)存在 x ? (3,??) ,使 2 x ? 1 ? x (D)对任意 x ? (0,

(C)存在 x ? R ,使 x ? x ? 1

?
2

] ,均有 sin x ? x

?x ? a ? ?b ? , ( x0 , y0 ) 满足 (9) 由数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )?( x10 , y10 ) 求得线性回归方程 y ?x ? a ? ?b ? ” 是 “ x0 ? 线性回归方程 y
( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x1 ? x2 ? ? ? x10 y ? y2 ? ? ? y10 , y0 ? 1 的 10 10

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(10)设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若存在 b ? [0,1] 使 ) f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] (B) [1,1 ? e] (C) [e,1 ? e] (D) [0,1]

第Ⅱ卷

( 非选择题
? ,则 a = 3

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)在△ABC 中,若 b = 1, c = 3 , C ? . .

(12)执行如图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S=

?y ? x ? (13)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 ?y ? k ?
k?
.

(14)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) =2, 且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成

)? 立,则 f (2015

.

(15) 点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② A 1P ∥平面 ACD 1 ;③ DP ⊥ BC 1;

④平面 PDB1 ⊥平面 ACD 1 .其中正确的命题序号是



三.解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 组号 分组 频数 频率 某高中在一次数学考试中随机抽取 100 名学生 第1组 [75,90] 5 0.05 的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图 第2组 (90,105] ① 0.35 所示 第3组 (105,120] 30 ② ( Ⅰ ) 求出频率分布表中①、②位置相应的数 第4组 (120,135] 20 0.20 据; (135,150] 10 0.10 ( Ⅱ ) 为了能选拔出最优秀的学生参加数学竞 第 5 组 合计 100 1.00 赛,学校决定在成绩高的第 3、4、5 组中用分 层抽样抽取 6 名学生进入第二轮测试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮 测试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行抽查,求第 4 组至少 有一名学生被抽查的概率? (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [ (18) (本小题满分 12 分)
3 2 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 图 像 上 的 点 P(1,?2) 处 的 切 线 方 程 为

? ?

, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

y ? ?3x ? 1 .
(I)若函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围. (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, SA ⊥平面 ABCD , M , N 分别 为 SA, CD 的中点.

(I)证明:直线 MN ∥平面 SBC ; (Ⅱ)证明:平面 SBD ⊥平面 SAC . (20) (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70,且 a2 , a7 , a22 成等 比数列. (I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?
1 2
2

(21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x ? ln x .( a ? R ) (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间[

1 ,e]上的最大值和最小值; e

(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值 范围. ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax , h( x) ? x ? 2bx ?
2

2 19 .当 a ? 时,若对于任意 6 3

x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

齐鲁名校教科研协作体 山东省19所名校2016届高三第一次调研(新起点)联考 文科数学
命题学校:邹平一中 命题人:李学玲 审题人:张卫星

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后,将答题卡交回. 1. 答题前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米的黑色签字笔(中性笔)将自己的姓名、座号、 准考证号和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,题 只有一项是符合题目要求的.
2 2 (1)(原创)若集合 A ? x | x ? 1 ? 0 , B ? y | y ? x , x ? R ,则 A ? B ? (

?

?

?

?



(A) ?x | ?1 ? x ? 1? (C) ?x | 0 ? x ? 1? 【答案】C.

(B) ?x | x ? 0? (D) ?

【解析】将集合 A, B 化简得, A ? [?1,1] , B ? [0,??) ,所以 A ? B ? ?x | 0 ? x ? 1?. 【考点】本题主要考查集合与集合的运算,简单二次不等式的解法以及函数的值域问题. (2)(原创)复数 (A) i

3 ? 2i ?( 2 ? 3i
(B) ? i

) (C)12-13 i (D) 12+13 i

【答案】A. 【解析】

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? ? ?i 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13

.

【考点】本题考查复数的基本运算. (3) (2012 年全国卷改编) 已知 ? 为第四象限角,sin ? ? cos? ?

3 o s 2? =( , 则c 3
(D)



(A) ?

5 3

(B) ?

5 9

(C)

5 9

5 3

【答案】D. 【解析】选 D. 由 sin ? ? cos? ?

2 3 两边平方得到 sin 2? ? ? ,因为α 为第四象限角, 3 3

所以 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,所以 cos? ? sin ? ?

(cos? ? sin ? ) 2 ?

15 3

5 cos2? ? cos ? ? sin ? ? 3
2 2

【考点】本题考查三角函数中的二倍角公式的运用,解决本题先利用平方得到二倍角的正 弦值,然后利用二倍角的余弦公式,将所求问题转化为单角的正弦值和余弦值问题. (4)(课本习题改编)已知向量 a,b,且|a|=1,|b|=2,则|2b-a|的取值范围是

( (A)[1,3] (C)[3,5]
【答案】C. 【解析】|2b-a|= 4|b| -4a· b+|a| = 17-8cos〈a,b〉∈[3,5].故选 C. 【考点】本题考查向量的数量积的运算及性质. (5) ( 2015 年山东高考题改编)为了得到函数 y ? sin? 2 x ?
2 2

)

(B)[2,4] (D)[4,6]

? ?

??

? 的图象,可以将函数 6?

y ? cos 2 x 的图象(
(A) 向左平移 【答案】D.

) (B) 向左平移

? 6

? 3

(C) 向右平移

? 6

(D) 向右平移

? 3

【解析】法一:? cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
2

) ,由 y ? sin[ 2( x ? ? ) ?

?
2

] ? sin( 2 x ?

?
6

) 得,

2? ?

?
2

??

?
6

即? ? ?

? ? ? 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 得到函数 3 3

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象 6? ?
法二:? y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? ? ? 2? ? ? cos[(2 x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ? cos[ 2( x ? )] 3 6? 6 2 3

?? ? 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 得到函数 y ? sin? ? 2 x ? ? 的图象 3 6? ?
【考点】本题考查了三角函数的诱导公式、图象平移变换的知识. (6) ( 原 创 ) 已 知 x0 是 函 数 f ( x) = log2 ( x ? 1) +

1 的 一 个 零 点 . 若 x1 ? (1, x0 ) , 1? x

x2 ? ( x0 ,??) ,则(

) (B) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

(A) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 【答案】B.

【 解 析 】 因 为 函 数 y ? log2 ( x ? 1) 与 y ?

1 在 (1,??) 上 都 为 增 函 数 , 所 以 1? x

f ( x) = log2 ( x ? 1) +

1 在 (1,??) 上单调递增,因为 f ( x0 ) ? 0 , x1 ? x0 , x2 ? x0 ,所 1? x
.

以 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

【考点】本题考查了函数 f ( x) 的单调性的应用和函数零点的概念.

(7)(2014 年浙江高考题改编)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积是( )

(A)

138cm3

(B)

108cm3

(C)

90cm3

(D) 72cm

3

【答案】C. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体,如图所示:

所以其体积为 V ? 3 ? 4 ? 6 ?

1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 90 ,故选 C. 2
( )
2

【考点】此题考查三视图还原几何体及柱体的体积计算. (8) (2013 年滨州模拟题改编)下列命题中,真命题是 (A)存在 x ? [0,

?
2

] ,使 sin x ? cos x ? 2
2

(B)存在 x ? (3,??) ,使 2 x ? 1 ? x (D)对任意 x ? (0,

(C)存在 x ? R ,使 x ? x ? 1 【答案】D. 【解析】 选项 A 中, sin x ? cos x ?
2

?
2

] ,均有 sin x ? x

2 ? 1 ? sin 2 x ? 2 ? sin 2 x ? 1,命题为假;选
2

项 B 中,令 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,则当 x ? (3,??) 时, f ( x) ? (2,??) ,即 x ? 2 x ? 3 , 故 不 存 在 x ? (3,??) , 使 2 x ? 1 ? x
2

, 命 题 为 假 ; 选 项

C

时 ,

1 3 x 2 ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? ) 2 ? ? 0 ,命题为假;选项 D 时, sin x ? x ? x ? sin x ? 0 , 2 4

令 f ( x) ? x ? sin x , 求 导 得 f / ( x) ? 1 ? cos x ? 0 , f ( x) 是 增 函 数 , 则 对 任 意

x ? (0, ] f ( x) ? f (0) ? 0 ,命题 D 为真. 2
【考点】本题主要考查三角函数的概念、公式与简单性质,导数,方程与不等式等知识.

?

?x ? a ? ?b ?, (9) (原创)由数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )?( x10 , y10 ) 求得线性回归方程 y ( x0 , y0 ) ?x ? a ? ?b ? ”是“ x0 ? 满足线性回归方程 y
( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x1 ? x2 ? ? ? x10 y ? y2 ? ? ? y10 , y0 ? 1 的 10 10

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】B.

?x ? a ? ?b ? 必过样本中 【解析】因为 x0 , y0 为这 10 组数据的平均值,又因为回归直线 y
心点 ( x , y ) ,因此 ( x0 , y0 ) 一定满足线性回归方程,但坐标满足线性回归方程的点不一 定是 ( x , y ) . 【考点】此题考查样本数据的平均值、线性回归方程,及充分、必要条件的概念. (10)(2013 年四川高考题)设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数). 若存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是( ) (A) [1, e] 【答案】A. 【解析】由题 b ? [0,1] ,并且 f ( f (b)) ? b 可得 f (b) ? b ,即 eb ? b ? a ? b ,整理得
b 2 x 2 eb ? a ? b 2 ? b , b ? [0,1] , 即a ? e ?b ?b, 利用导数可以知道函数 f ( x) ? e ? x ? x

?

?

?

?

(B) [1,1 ? e]

(C) [e,1 ? e]

(D) [0,1]

在 x ? [0,1] 上单调递增,从而求得 a 的取值范围是 [1, e] ,故选 A. 【考点】本题考查抽象函数的理解,关键是存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,将这一条 件进行转化为 f (b) ? b ,利用函数与方程思想进行求解即可.

第Ⅱ卷

( 非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

(11)(2010 年北京高考题改编)在△ABC 中,若 b = 1, c = 3 , C ?

?
3

,则

a=
【答案】2

.

【解析】由余弦定理得,a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? cos
2 2

?
3

? 3 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 或

a ?1 ?1(舍).
【考点】本题考查利用三角形中的余弦定理或利用正弦定理求解. (12) (2014 年新课标全国卷Ⅱ改编)执行如图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2, 则输出的 S= .

【答案】7 【解析】 若 x=t=2,则第一次循环,1≤2 成立,则 M= ×2=2,S=2+3=5,k=2, 第二次循环,2≤2 成立,则 M= 此时 3≤2 不成立,输出 S=7. 【考点】本题考查考生的读图、试图运行能力.

1 1

2 ×2=2,S=2+5=7,k=3, 2

?y ? x ? (13)(2014 年湖南高考题改编)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最 ?y ? k ?
小值为-6,则 k ? 【答案】 ? 2 .

【解析】如图,画出可行域, l0 : 2 x ? y ? 0 ,



当 l0 运动到过点 A(k , k ) 时,目标函数取得最小值-6,所以 2k ? k ? ?6, k ? ?2 . 【考点】本题考查了简单的线性规划问题和数形结合思想. (14)(原创)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) =2,且对任意 x ? R 都有

)? f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,则 f (2015
【答案】 ? 2 .

.

【解析】 在 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 中, 令 x ? ?3 , 得 f (3) ? f (?3) ? f (3) , 即 f (?3) ? 0 . 又 f ( x) 是 R 上的奇函数,故 f (3) ? 0 .故 f ( x ? 6) ? f ( x) ,故 f ( x) 是以 6 为周期的周期

) ? f (6 ? 336? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?2 . 函数,从而 f (2015
【考点】本题主要考查奇函数、周期函数的应用. (15) (2014 年蚌埠模拟)点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的面对角线

BC1 上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② A 1P ∥平面 ACD 1; ③ DP ⊥ BC1 ; ④平面 PDB1 ⊥平面 ACD 1. 其中正确的命题序号是 【答案】①②④ .

【解析】连接 BD 交 AC 于 O ,连接 DC1 交 D1C 于 O1 ,连接 OO 1, 则 OO 1 ∥ BC 1 1. ∴ BC1 ∥平面 AD 1C ,动点 P 到平面 AD 1C 的距离不变, ∴三棱锥 P ? AD 1C 的体积不变. 又 VP? AD1C ? VA?D1PC ,∴①正确. ∵平面 A1C1B ∥平面 ACD 1, A 1P ? 平面 A 1C1B , ∴A 1P ∥平面 ACD 1 ,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1 显然③不正确; 由于 DB 1 ?D 1C , DB 1 ? AD 1, D 1C ? AD 1 ? D 1, ∴ DB1 ? 平面 ACD 1 , DB 1 平面 PDB 1, ∴平面 PDB 1 ? 平面 ACD 1 ,④正确. 【考点】本题主要考查线面平行的判定、线面垂直的性质、面面垂直的判定及三棱锥体 积的求法. 三.解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (一轮资料改编) (本小题满分 12 分) 组号 分组 频数 频率 某高中在一次数学考试中随机抽取 100 名学生 第1组 [75,90] 5 0.15 的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图 第2组 (90,105] ① 0.35 所示 第3组 (105,120] 30 ② ( Ⅰ ) 求出频率分布表中①、②位置相应的数 第4组 (120,135] 20 0.20 据; (135,150] 10 0.10 ( Ⅱ ) 为了能选拔出最优秀的学生参加数学竞 第 5 组 合计 100 1.00 赛,学校决定在成绩高的第 3、4、5 组中用分 层抽样抽取 6 名学生进入第二轮测试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮 测试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行抽查,求第 4 组至少 有一名学生被抽查的概率? 解:(Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为

0.35 ?100 ? 35 人
第 3 组的频率为

??????????????????????????1 分

30 ? 0.30 ???????????????????????2 分 100

(Ⅱ)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,

每组分别为:

30 ? 6 ? 3 人??????????????????????????3 分 60 20 ? 6 ? 2 人??????????????????????????4 分 第 4 组: 60 10 ? 6 ? 1人 第 5 组: 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人 ????????????????5 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第 5 组的 l 位同学为 C1 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C1 ),( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1),( B1, B2 ), ( B1 , C1 ),( B2 , C1 )
其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ?8 分

( A1 , B1 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) 9 种
可能 ??10 分 所以第 4 组至少有一名学生被抽查的概率为

9 3 ? 15 5

??12 分

(17) (15 年山东理科高考题改编)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [ 解: (I) f ( x) ? 2 sin (
2

? ?

?
4

, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? cos(

?

? ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 3
? 函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? .
由 2k? ?

2

? 2 x) ? 3 cos 2 x
┉┉┉┉┉┉3 分

┉┉┉┉????????????.4 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, (k ? Z ) 解 得 , k? ?

?
12

? x ? k? ?

? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? ? , k? ? 5? ], (k ? Z ) . 12 12

5? , (k ? Z ) . 12
┉┉┉┉7 分

(Ⅱ) ? x ? [

? ?

? ? 2? ? 1 , ] ,? 2 x ? ? [ , ] ,? sin( 2 x ? ) ? [ ,1] .┉┉9 分 4 2 3 6 3 3 2

? 函数 f ( x) 的值域为 [2,3] , 而方程 f ( x) ? m ? 2 变形为 f ( x) ? m ? 2

? m ? 2 ? [2,3] ,即 m ? [0,1] .
所以实数 m 的取值范围是 [0,1] . (18) (一轮资料改编)(本小题满分 12 分)

┉┉┉┉┉┉11 分 ┉┉┉┉┉┉12 分

3 2 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 图 像 上 的 点 P(1,?2) 处 的 切 线 方 程 为

y ? ?3x ? 1 .
(I)若函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围. 解析: f ( x) ? ?3x ? 2ax ? b ,
' 2

-----------------1 分

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线斜率为-3,
' 所以 f (1) ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,

------------------------2 分 ------------------------3 分

又 f (1) ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 .

' (I)因为函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,所以 f (?2) ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,-------4 分

解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 x ? 3 .
3 2

------------------------------------------6 分 ------------------------------------7 分

' 2 (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ( x) ? ?3x ? bx ? b

在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零,????????????????8 分
' ? ? f (?2) ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 法一:由 ? 得 b ? 4 ,????????????11 分 ? ? f (0) ? b ? 0,

所以实数 b 的取值范围为 [4,??)

??????????????12 分

法二:因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零, ?????????????????8 分 由 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b ? 0 在区间 [?2,0] 上恒成立,得 b ?

? 3x 2 x ?1

在区间 [?2,0] 上

恒成立,只需 b ? (

? 3x 2 ) max ???????????????????9 分 x ?1

令 g ( x) ?

? 3x 2 ? 3x( x ? 2) ' ,则 g ' ( x) = .当 ? 2 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0 恒成立. 2 x ?1 ( x ? 1)
g ( x)
在 区 间 单





[?2,0]











g ( x) max ? g (?2) ? 4 .
所以实数 b 的取值范围为 [4,??) .

??????????????11 分 ??????????12 分

(19) (2015 年日照模拟题改编)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, SA ⊥平面 ABCD , M , N 分别 为 SA, CD 的中点. (I)证明:直线 MN ∥平面 SBC ; (Ⅱ)证明:平面 SBD ⊥平面 SAC .

(Ⅰ)证明:如图,取 SB 中点 E ,连接 ME 、 CE , 因为 M 为 SA 的中点,所以 ME ∥ AB ,且 ME = 因为 N 为菱形 ABCD 边 CD 的中点,

1 AB 2

??2 分

1 AB ???????????3 分 2 所以 ME ∥ CN ,且 ME ? CN , 所以四边形 MECN 是平行四边形, 所以 MN ∥ EC , ???????????????????5 分 又因为 EC ? 平面 SBC , MN ? 平面 SBC , 所以直线 MN ∥平面 SBC . ??????????????6 分
所以 CN ∥ AB 且 CN =

(Ⅱ)证明:如图,连接 AC 、 BD ,相交于点 O , 因为 SA ⊥底面 ABCD ,所以 SA ? BD . ??????????? 7 分 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . ???????????????? 8 分 又 SA ? AC ? A 所以 BD ⊥平面 SAC . ?????????10 分 又 BD ? 平面 SBD , 所以平面 SBD ⊥平面 SAC . ???????????12 分 (20) (2015 年山东省实验中学模拟题改编) (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70,且 a2 , a7 , a22 成等 比数列. (I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

解: (I)因为数列 ?an ?为等差数列,

所以 an ? a1 ? (n ?1)d , S n ? na1 ? 依题意,有 ?

n(n ? 1) d. 2

???1分

? ?5a1 ? 10d ? 70, ?S5 ? 70, ,即 ? 2 2 ?a7 ? a2 a22 ? ?(a1 ? 6d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 21d )

.??? 3 分

解得 a1 ? 6, d ? 4 .

????????????????5 分 ????????6 分

所以数列 ?an ?的通项公式 an ? 4n ? 2(n ? N * ) . (II)证明:由(I)可得, S n ? 2n 2 ? 4n 所以

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) S n 2n ? 4n 2n(n ? 2) 4 n n ? 2 .
所以

????????7 分

Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ........? ? S1 S2 S3 Sn?1 Sn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ......? ( ? )? ( ? ) 4 3 4 2 4 4 3 5 4 n ?1 n ?1 4 n n ? 2
1 1 1 1 3 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? ( ? ) . ???????????10 分 4 2 n ?1 n ? 2 8 4 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? ? 0 ,所以 Tn ? . 因为 ????????????11 分 8 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ) ? 0 , 即 ?Tn ? 是 递 增 数 列 , 所 以 法 一 : 因 为 Tn?1 ? Tn ? ( 4 n ?1 n ? 3 1 Tn ? T1 ? . ????????????12 分 6 1 1 3 1 1 1 ? ? ) 随 n 的增 (法二:因为 随 n 的增大而减小,所以 Tn ? ? ( n ?1 n ? 2 8 4 n ?1 n ? 2 1 大而增大, 即 ?Tn ?是递增数列, 所以 Tn ? T1 ? . ????????????12 分) 6 1 3 所以 ? Tn ? . ????????????13 分 6 8 1 2 (21) (2014 年烟台模拟题改编) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x ? ln x . 2 (a?R ) 1 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间[ ,e]上的最大值和最小值; e
=

(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值 范围. ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax , h( x) ? x ? 2bx ?
2

2 19 .当 a ? 时,若对于任意 6 3

x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.
解 析 : ( Ⅰ ) 当

a?0





1 f ( x) ? ? x 2 ? ln x 2
?????1 分



f ?( x) ? ? x ?
1 e

1 ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? ? ; x x x

当 x ? [ ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, e] ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间 [

1 ,1]上是增函数,在 [1,e]上为减函数, e


????? 3 分

1 1 f ( ) ? ?1 ? 2 e 2e 1 2.

f (e) ? 1 ?

e2 2



f min ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 2



f max ( x) ? f (1 ) ? ?

?????4 分

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞).
2

1 2

在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在 区间(1,+∞)上恒成立. ??????????????5 分

g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x ①

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , ??6 分 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( 0 , 1) 上有 g ?( x) ? 0 ,在( 1 , x2 ) 上有 2

g ?( x) ? 0 ,在( x 2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函
数 , 并 且 在 该 区 间 上 有 g ( x) ∈ ( g ( x2 ) , ? ? ) , 不 合 题 意; ???????????7 分

当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间(1, ? ? )上,有

g ( x) ∈( g (1) , ? ? ),也不合题意;
② 若a ?

?????????????8 分

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 求得 a 的范围是[ ?

1 1 ? 0 ? a ? ? ,由此 2 2

1 1 , ]. ???????????9 分 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ∈[ ? , ]时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方.10 分 2 2 2 (Ⅲ)当 a ? 时,由(Ⅱ)中①知 g ( x) 在( 0 ,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数, 3 7 所以对任意 x1 ? (0,2) ,都有 g ( x1 ) ? g (1) ? ? , ???11 分 6 19 7 2 ?? , 又已知存在 x2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,即存在 x2 ? [1,2] ,使 x ? 2bx ? 6 6 13 13 2 即存在 x2 ? [1,2] , 2bx ? x ? ,即存在 x2 ? [1,2] ,使 2b ? x ? . ???13 分 3 3x 13 25 16 16 8 ? [ , ]( x ? [1,2]) ,所以 2b ? ,解得 b ? ,所以实数 b 的取值 因为 y ? x ? 3x 6 3 3 3 8 范围是 ( ?? , ] . ??14 分 3


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