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福建省福州市第八中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版


福州八中 2014—2015 学年第二学期期中考试 高二数学(理)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 第 I 卷(共 100 分) 一、选择题: (共 10 小题,每小试题 5 分,共 50 分) 1.有 5 名游客到公园坐游艇,分别坐甲、乙两个游艇,每个游艇至少安排 2 名游客,那么 互不相同的安排方法的种数为 A.10 B.20 C.30 D.40 2. 已知 ? ~ N (0, ? ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) 等于
2

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D. 0.4

3.若 ξ~B(n,p)且 Eξ=6,Dξ=3,则 P(ξ=1)的值为 A.3· 2-2 B.3· 2-10 C.2-4 D.2-8 4.三江口校区安排 A, B, C, D, E 五位同学住同一间宿舍,每个人只分配一个床位 且床位编号分别为 1, 2, 3, 4 和 5 号, 如果 B 不排 1 号和 5 号床位, 则不同的安排法共有 ( ) 种. A.36 B.8 C.60 D.72 2 5. 设(x- )6 的展开式中的常数为 M,所有二项式系数和为 N,则 M ? N = x A.304 B.-304 C.136 D.-136 6.将 3 个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入 3 个盒子中,恰有一个盒子是空的概率 是

3 A. 10

2 B. 3

3 C. 5

9 D. 10

7.从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地任取 3 件,则取得次品数为 1 件 的概率是 32 A.35 12 B.35 3 C.35 2 D.35

8. 设(x+3)(2x+3)10=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a11(x+3)11, 则 a0+a1+a2+…+a11 的 值为 A.1 B.2 C. 3
11

D. 4 ? 5

10

9.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同 颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( ) 种. A.45 B.60 C. 120 D.180 10.某人练习射击,共有 5 发子弹,每次击中目标的概率为 0.6, 若 他 只需要在五次射击中四次击中目标就算合格, 一旦合格即停止练习。 则 他 在第五次射击结束时恰好合格的概率为 A. 0.6 ? 0.4
4

B. C5 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? C5 ? 0.6
4 4 5

5

-1-

C. 0.6

4

D.

3 C4 ? 0.64 ? 0.4

二、填空题: (4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.图是三个正态分布 X~N(0,0.01),Y~N(0, 1), Z~N(0, 2.25)的密度曲线, 则三个随机变量 X, Y, Z 对 应 曲 线 分 别 是 图 中 的 ________ 、 ________ 、 ________. 12.袋中装有标号为 1、2、3 的三个小球,从中任取 一个,记下它的号码,放回袋中,这样连续做三次 . 若抽到各球的机会均等, 事件 A=“三次抽到的号码之和为 6”, 事件 B=“三次抽到的号码都是 2”, 则 P(B|A)=______________ .

c 1 13. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)= k (k ? 1) ,k=1,2,3, 4,其中 c 是常数,则 P(2
5 <X<2)的值为____________________. 14.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个 小方格内至多填 1 个字母,若使所有字母既不同行也不同列,则不同的 填法共有 _________ _________种(用数字作答) 三、解答题: (3 小题,共 30 分) 15. (本小题 10 分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强“语文阅读理解”训练 对提高“数学应用题”得分率作用的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练) ,乙 班为对比班(常规教学,无额外训练) ,在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上 的得分率基本一致,试验 结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表 所示: 60 分以下 甲班(人数) 3 乙班(人数) 4 61-70 分 6 8 71-80 分 11 13 81-90 分 18 15 91-100 分 12 10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (Ⅰ)试分别估计两个班级的优秀率; (Ⅱ) 由以上统计数据填写下面 2×2 列联表, 并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’ 训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

n(ad ? bc) 2 参考公式及临界值表如下:k2= (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P(k2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 优秀人数 甲班 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 合计 0.001 10.828

非优秀人数

-2-

乙班 合计

16. (本小题 10 分) 如图,假设从福州金山到火车南站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间 互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?

(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的 分布列和数学期望.

17. (本小题 10 分) 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家,杨辉三角是杨辉的一大重要研究成 果, 它的许多性质与组合数的性质有关, 杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律. 下图是一个 11 阶 杨辉三角:

-3-

(1)求第 20 行中从左到右的第 19 个数; (2)设第 n 行中所有数和为 A,n 阶(包括 0 阶)杨辉三角中的所有数的和为 B,且 A+B=95, 求 n 的值; (3)在第 3 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15;第 4 斜列中,第 5 个数为 35,我们 发现 1 ? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 35 ,事实上,一般地有这样的结论:第 m 斜列中(从右上到左下) 前 k 个数之和,一定等于第 m ? 1 斜列中第 k 个数.试用含有 m , k (m, k ? N ) 的数学式子
*

表示上述结论,并证明之. 第Ⅱ卷(共 50 分) 一、选择题: (3 个小题,每小试题 5 分,共 15 分)

1 ? ? ? x? 4 ? 2 x ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的 18. 在二项式 ?
项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为

n

1 A. 6

1 B. 4

1 C. 3

5 D. 12

19. 为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了 如下的随机调查:向被调查者提出两个问题: (1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候 你是否闯过红灯?要求被调查者对调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个 问题;否则就回答第(2)个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题, 只需回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答, 结果被调查者的 300 人(学号从 1 到 300)中有 90 人回答了“是”,由此可以估计在这 300 人 中闯过红灯的人数是 A.15 B.30 C.45 D.75 20.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶 数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇 和数有( )个。 A.100 B.120 C.160 D.200 二、解答题: (3 个小题,共 35 分) 21. (本小 题 11 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加 工而成, 两道工序的加工结果相互独立, 每道工序的加工结果均有 A、 B 两个等级.对每种产品, 两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品。
-4-

概率 产品

工序 第一工序 第二工序

利润 产品

等级 一等 二等




0.8

0.85 0.8




5(万元)

2.5(万元)

表一

0.75

表二

2.5(万元) 1.5(万元)

用量 项目 工人 (名) 资金(万元) 产品




8

8 10

表三

2

(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产出的 甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I)的 条件下,求 ξ、η 的分布列及 Eξ、Eη; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资.金

z ? xE? ? yE? 60 万元.设 x、 y 分别表示生产甲、 乙产品的数量, 在 (II) 的条件下, x、 y 为何值时,
最大?最大值是多少?(解答时须给出图示) 22. (本小题 12 分) 已知函数 f(x)=aln x+1(a>0).

? 1? (1)求函数 φ(x)=f(x)-a 1-x 的单调区间; ? ?
(2)在区间(1,e)上 f(x)>x 恒成立,求实数 a 的范围. 23. (本小题 12 分) x2 y2 2 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 为 8 +b2=1,F1、F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,离心率 e= 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为(1,0),椭圆上是否存在一点 P,使得直线 PF1,PF2 都与以 Q 为圆心的一 个圆相切?若存在,求出 P 点坐标及圆的方程;若不存在,请说明理由.

-5-

福州八中 2014—2015 学年第二学期期中考试 高二数学(理) 试卷参考答案及评分标准 第 I 卷(共 100 分) 一、选择题: (共 10 小题,每小试题 5 分,共 50 分) 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.A 二、填空题: (4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

9.D

10.D

11.① ② ③

1 12. 7

5 13. 6

14.144

三、解答题: (3 小题,共 30 分) 15.【解析】 (本小题 10 分) (1)由题意,甲、乙两班均有学生 50 人,甲班优秀人数为 30 人,

30 25 优秀率为 50 =60%,乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 50 =50%,
∴甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%.????4 分 (2)根据题意做出列联表 优秀人数 甲班 乙班 合计 30 25 55 非优秀人数 20 25 45 合计 50 50 100

100? (30 ? 25 ? 20 ? 25) 2 100 50 ? 50 ? 55 ? 45 ∵K2= = 99 ≈1.010,????????9 分
∴由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率” 有帮助.????????10 分 16. 【解析】 (本小题 10 分) (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;……………………2 分 P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2.…………………………4 分 (2)用 A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知 P(A) =0.6,P(B)= 0.9,又由题意知,A,B 独立,X 可取 0,1,2.

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
-6-

∴X 的分布列为

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.

17.【解析】 (本小题 10 分) (1)
n

C

18 20 =
2

2 C20 ?

20 ? 19 ? 190 2 ?1 ??????2 分
n n ?1

(2)由条件知,A= 2 ,B= 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
3

? 1 ????4 分

由 A+B=95,得 2 ? 32 ,所以,n=5.????????6 分
n

(3)

m?1 m?1 m?1 m Cm ???? ? Cm ?1 ? Cm ?k ?2 ? Cm?k ?1 m m?1 m?1 m m?1 m?1 ? Cm ? Cm ???? ? Cm ?k ?2 ? Cm?1 ? Cm?1 ???? ? Cm?k ?2

证明:左边

m m?1 m ? ??? ? Cm ? k ?2 ? Cm? k ?2 ? Cm? k ?1 ? 右边.????????10 分

第Ⅱ卷(共 50 分) 一、选择题: (3 个小题,每小试题 5 分,共 15 分) 18. D 19. A 20. A 二、解答题: (3 个小题,共 35 分) 21.【解析】 (本小题 11 分) (Ⅰ)解: ??????2 分 (Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是:

P , 甲 ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68

P 乙 0.75? 0.8 ? 0.6.

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1. ???6 分

?5 x ? 10 y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40, ? ? ? x ? 0, ? y ? 0. ( Ⅲ ) 解 : 由 题 设 知 ? 目 标 函 数 为
z ? xE? ? yE? ? 4.2 x ? 2.1y.
??????8 分

-7-

作出可行域(如图) :作直线 l : 4.2 x ? 2.1y ? 0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置 时, 直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大,此时

z ? 4.2 x ? 2.1y

?5 x ? 10 y ? 60, ? 8 x ? 2 y ? 40. 取最大值. 解方程组 ?

得 x ? 4, y ? 4.

即 x ? 4, y ? 4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2 . ????11 分 a a ? 1? 22.【解析】 (本小题 12 分)(1)由 φ(x)=f(x)-a 1-x (x>0),知 φ′(x)=x-x2.??2 分

?

?

由 φ′(x)≥0,得 x≥1,由 φ′(x)≤0,得 0<x≤1,又 a>0,所以,函数的单调递增区间为 递减区间为

?1, ??? ;

? 0,1? .???????? 4 分

x-1 (2)由 f(x)>x 得 aln x+1>x,即 a> ln x .??????????5 分 x-1 ln x- x x-1 令 g(x)= ln x (1<x<e),则 g′(x)= ?ln x?2 .??????? ?6 分 x-1 令 h(x)=ln x- x (1<x<e),??????????7 分 1 1 则 h′(x)=x -x2>0,故 h(x)在定义域上单调递增,所以 h(x)>h(1)=0.???9 分 因为 h(x)>0,所以 g′(x)>0,即 g(x)在定义域上单调递增, x-1 则 g(x)<g(e)=e-1,即 ln x <e-1,???? ????11 分 所以 a 的取值范围为[e-1,+∞).????????12 分 c 2 ? ? = , ?c=2, 23. (本小题 12 分)解:(1)由题可知:?a 2 解得? ?a=2 2, ? ?a=2 2, 所以 b2=a2-c2=4. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1.??????4 分 (2)假设椭圆上存在一点 P(x0,y0),使得直线 PF1,PF2 都与以 Q 为圆心的一个圆相切,则 Q 到直线 PF1,PF2 的距离相等. ∵F1(-2,0),F2(2,0), ∴直线 PF1 的方程为(x0+2)y-y0x-2y0=0, 直线 PF2 的方程为(x0-2)y-y0x+2y0=0.??????????6 分 |3y0| |y0| ∴ = , ?x0+2?2+y2 0 ?x0-2?2+y2 0 化简整理得:x2 0-5x0+4+y2 0=0.????????9 分
-8-

∵点 P 在椭圆上,∴x2 0+2y2 0=8. 由以上两式解得:x0=2 或 x0=8(舍去), ∴y0= 2或 y0=- 2,此时相切的圆的半径 r=1.????????????11 分 ∴椭圆上存在点 P,其坐标为(2, 2)或(2,- 2),使得直线 PF1,PF2 都与以 Q 为圆心的圆 (x-1)2+y2=1 相切.??????????12 分

-9-


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