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线面垂直与面面垂直练习(学生)


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第三次课
【准备知识】

线面垂直、面面垂直

1、线面垂直 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .
a, b ? ? ? a b ? O? ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l?a ? l ?b ? ?
l

O α b a

③性质: (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直) ; (2) a ? ? , b ? ? ? a // b ;

2、面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90 ? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面互相垂直.
a ??? ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???
? A ? a B

(3)性质:

? ?? ? a ? ? AB ? ? ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a ? AB ? ?

? a B

? A

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【例题精讲】 1、已知:如图,P 是棱形 ABCD 所在平面外一点,且 PA=PC 求证: AC ? 平面PBD
A D B C P

2.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)求证:MN⊥CD. (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

3.已知,如图,四面体 A-BCD 中, AB ? CD, AD ? BC, H为 BCD的垂心。 求证: AH ? 平面BCD
A

B H C

D

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【高考真题】 4. (2010 年北京)如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF ∥ AC , AB ? 2 ,
CE ? EF ? 1 .

(Ⅰ)求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ;

E F

C

B A

D

5.(2011·江苏高考)在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°, E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 【尝试解答】

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6.(2008 山东高考)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是 等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 【尝试解答】
A B M D C P

1 7. (2011·辽宁高考)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值. 【尝试解答】

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【课后反馈】
1、四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD。 已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 。证明:SA⊥BC;

2、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD;

3、在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB= (1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC;

1 DC, DC ? 3BC, E为PD中点. 2
D

A E B P 4、如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45°, (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)试问矩形 ABCD 满足什么条件时,PC⊥BD. C


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