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湖南省师大附中2013年2月高三第6次月考理科数学试题


湖南省师大附中 2013 年 2 月高三第 6 次月考理科数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.如图:给定全集 U 和集合 A,B,则如图阴影部分表示的集合是( A. A ? (CU B) B. (CU A) ? B C. CU ( A ? B) ? B 【答案】A 2.函数 f ( x) ? ln x ? A. (?1,1) 【答案】B

) D. CU ( A ? B) ? A

1 的一个零点所在的区间是( ) x B. (1,2) C. ( 2, e) D. (e,3)

【解】函数连续且定义域内递增,又 f (1) ? ?1 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 3.化简对数式 A. 1

1 1 ? ln e ? ? 0 . 2 2

1 1 ? log3 得到的值为( log5 3 15
B. 2

) C. - 1

1 D. ? 3
【答案】C 4. 已知三个向量 m ? ( a, cos

A ), 2

B C ) , p ? (c, cos ) 共线, 其中 a, b, c, A, B, C 分别是 2 2 ?ABC 的三条边和三个角,则 ?ABC 的形状是( ) n ? (b, cos
A.等腰三角形 【答案】B B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【解】由三个向量 m ? ( a, cos

A B C ) , n ? (b, cos ) , p ? (c, cos ) 共线及正弦定理 2 2 2

A B C ,sin B ? cos ,sin C ? cos , 2 2 2 A A 1 A A A 由 sin A ? 2sin cos ? cos ,因为 cos ? 0 ,所以 sin ? ,因为 0 ? A ? ? , 2 2 2 2 2 2 A ? ? ? A ? ? 所以 0 ? ? ,所以 ? ,即 A ? .同理可得 B ? , C ? , 3 3 2 2 2 6 3
可得: sin A ? cos 5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 向右平移

?

? 个单位后得到函数 y ? g (x) 的图像,则 g (x) 的单调递增区间为( 6 ? ? ? 5? ] A. [ 2k? ? ,2k? ? ] B. [2k? ? ,2k? ?
C. [k? ?

2

) 的部分图象如图示,将 y ? f ( x) 的图象


?
6

6

, k? ?

?
3

3

]

D. [ k? ?

?
3

3

, k? ?

5? ] 6

6

【答案】C 【解】由图象知 A ? 1 , T ? (

? f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

? 11? ? 4 2? ? ? ? )? ? ? ? ,? ? ? 2,? 2 ? ? ? ? , ? ? ? , 6 12 6 3 ? 6 2

), 将 f (x) 的图象平移

? 个单位后的解析式为 6
1

y ? sin[ 2( x ?
则由: 2k? ?

?
6

)?

?
6

] ? sin( 2 x ?

?
6

).

,k ? Z . 2 6 2 6 3 6.设函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (??,??) 上既是奇函数又是增函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是 y y y y

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

? k? ?

?

? x ? k? ?

?

o 1 A 【答案】C

2

x

o 1 B

2 x

-1

C 0

x

-1

D

0

x

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x ) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同, a a 由函数是增函数可知 a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,选 C. S S S S 7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 1 , 2 , 3 ,? , n 中最大的 a1 a2 a3 an
x ?x x 【解】 f ( x) ? ka ? a ? ka ?

项为

A.
【答案】C

S6 a6

B. S 7
a7

C.

S8 a8

D. S 9
a9

15(a1 ? a15 ) =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 . 2 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) = ? 0 ,得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 . 由 S16 ? 2 2 所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正, a9 ,?an 为负,
【解】由 S15 ? 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? Sn ? 0 ,

S9 S S S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 ,又 S8 ? S1 , a1 ? a8 ,所以 8 ? 1 ? 0 , a9 a8 a10 a8 a1 S8 所以最大的项为 . a8 8.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f (x) 为理想函数.
则 下面有三个命题: (1)若函数 f (x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 x ?1( x ?[0,1]) 是理想函数; (3)若函数 f (x) 是理想函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 ,
2

【解析】1? 取x1 ? x2 ? 0,可得f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 0 ?, ? 所以f ? 0 ? ? 0.又由条件①f ? 0 ? ? 0,故f ? 0 ? ? 0.

则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中正确的命题个数有( ) A. 0 个 B.1 个 【答案】D

C.2 个

D.3 个

? 2 ? 显然g ? x ? ? 2 x ? 1在 ? 0,1? 上满足条件①g ? x ? ? 0; 也满足条件②g ?1? ? 1.
若x1 ? 0,x2 ? 0,x1 ? x2 ? 1, 则g ? x1 ? x2 ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? ? 2x1 ? x2 ? 1 ? ?? 2x1 ? 1? ? ? 2x2 ? 1? ? ? ? 即满足条件③. ? 2x1 ? x2 ? 2x1 ? 2x2 ? 1 ? ? 2x2 ? 1? ? 2x1 ? 1? ? 0, 故g ? x ? 是理想函数.

? 3?由条件③知,任给m、n ? ?0,1?,当m ? n时,由m ? n知n ? m ? ? 0,1?, 所以f ? n ? ? f ? n ? m ? m ? ? f ? n ? m ? ? f ? m ? ? f ? m ?. 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ? ? x0,前后矛盾; ? ? 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ? ? x0,前后矛盾.所以f ? x0 ? ? x0 . ? ?
二、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题 卡中对应题号后的横线上. (一)选作题(请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 ) 9. 不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 .

??1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ?x ? 2 【解】由: ? ,或 ? ,或 ? , ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ?1? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 解得不等式的解集为: (??,?2) ? (3,?? ) ;
? 2 t ?x ? ? 2 10. 直线 l 的参数方程是 ? (其中 t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ? ? ? ? 2 cos(? ? ) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是 4 【解】? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,
?圆C的直角坐标方程为 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 , x
2 2 2 2 2 2 ( ,? ). ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 2 2 2 2 ?直线l的普通方程为 ? y ? 4 2 ? 0 , x
即 (x ?

.

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5, 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6

3

11. 如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C ,

PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30 ? ,则⊙ O 的直径 AB ? 【解】因为根据已知条件可知,
连接 AC, PC ? 2 3 , ?CAP ? 30 ? , 根据切线定理可知, PC 2 ? PB?PA ? PB? PB ? BA) , ( 可以解得为 4. (二)必做题 12. 下面是关于复数 z ?



2 的四个命题: ?1? i
2

(1) z ? 2 ; (2) z ? 2i ; 其中所有正确的命题序号是 【答案】 (4) (2)

(3) z 的共轭复数为 1 ? i ; .

(4) z 的虚部为 ?1 ;

13.如果一个随机变量 ? ~ B (15, ) ,则使得 P(? ? k ) 取得最大值的 k 的值 为 .
k

1 2

k 【解析】 P (? ? k ) ? C15 ( ) ,则只需 C15 最大即可,此时
15

k ? 8,9

1 2

14. 如图是某几何体的三视图, 则该几何体的外接球的体积 为 . 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD,可将其补形 成一个长方体, 半径为 2 ,体积为 ?R ?
3

4 3

8 2 ?. 3

(也可直接找到球心,求出半径解决问题) 15. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1,2,??,960,分组后在第一组 采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9, 抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人 数为 . 【解析】 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人, : 将整体分成 32 组, 每组 30 人, l ? 30 , 即 第 k 组的号码为 (k ? 1)30 ? 9 ,令 451? (k ? 1)30 ? 9 ? 750,而 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 , 则满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有 10 个. 16. 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,?, an ) , ai ? 2012 或 2013 , i ? 1, 2,? n} (n ? 2) ,对于

U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U ? (2013, 2013, 2013, 2013, 2013) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,则
m=
; .
2 5

(Ⅱ)令 U ? (a1 , a2 , a3 ,?, an ) ,若 V ? Sn ,则所有 d (U ,V ) 之和为 【解】(Ⅰ) C ? 10 ; : (Ⅱ)根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个
r
2n


2n

? d (u, v ) = 0?C
k ?1 k k

0 n

? 1? n ? 2? n ? ?? n? n C1 C2 Cn

? d (u, v ) = n?C
k ?1

n n

? (n ?1)? n ?1 ? (n ? 2)? n ?2 ? ?? 0? n Cn Cn C0

4

两式相加得

? d (u, v ) = n?2
k ?1 k

2n

n ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx (a, b ? R) 的两个极值点, 3 2 且 ? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,求动点 ?a, b ? 所在的区域面积 S . 1 1 ? x 3 ? ax 2 ? 2bx (a, b ? R) 可得, 【解析】由函数 f ( x) 3 2 2 f ?( x) ? x ? ax ? 2b , ??????2 分 ? 17、 (满分 12 分) 已知 ?,? 是三次函数 f ( x)
由题意知, ?,? 是方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的两个根, ??5 分

? f ?(0) ? 2b ? 0 ? 且 ? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,因此得到可行 ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2b ? 0 ,????9 分 ? f ?(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ? ?b ? 0 ? 即 ?a ? 2b ? 1 ? 0 , ?a ? b ? 2 ? 0 ?
画出可行域如图. 所以 S ? ???11 分 ???12 分

1 . 2

18、(满分 12 分)为迎接新年到来,某商场举办有奖竞猜活动,参与者需先后回答两道选择 题,问题 A 有四个选项,问题 B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的。正确回答问题 A 可获得奖金 m 元,正确回答问题 B 可获得奖金 n 元。活动规定:参与者可任意选择回答问题 的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题 前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获救金额的期望值较 大. 【解】设该参与者猜对问题 A 的概率为 P1 , 则 p1 ?

1 1 ,猜对问题 B 的概率为 P2 ? ,???1 分 4 5

参与者回答问题有两种顺序: 顺序一:先 A 后 B 此时参与者获得奖金额 ? 的可能值为: 0, m, m ? n ,

P(? ? 0) ? 1 ? P ? 1 P (? ? m ? n) ? P P2 ? 1

3 1 4 1 , P(? ? m) ? P (1 ? P2 ) ? ? ? , 1 4 4 5 5

1 , 20 m n 从而数学期望 E? ? ? ;................................5 分 4 20

顺序二:先 B 后 A 此时参与者获得奖金额 ? 的可能值为: 0, n, n ? m ,

P(? ? 0) ? 1 ? P2 ?

4 1 3 3 , P (? ? n) ? P2 (1 ? P ) ? ? ? , 1 5 5 4 20

P (? ? n ? m) ? P P2 ? 1

1 , 20 n m 从而数学期望 E? ? ? ;???9 分 5 20
5

而: E? ? E? ? 当

4m ? 3n ,则: 20

m 3 m 3 m 3 ? 时:先回答 A,当 ? 两者兼可, ? 时先回答 n 4 n 4 n 4

B......................12 分 19、 (满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=4. (1)线段 BC 上存在点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (2)线段 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值。 解法 1: (Ⅰ)如图,连 AQ ,由于 PA⊥平面 ABCD,则由 PQ⊥QD, P 必有 AQ ? DQ . 设 BQ ? t ,则 CQ ? a ? t , 在 Rt?ABQ 中,有 AQ ? t ? 4 .
2

A

在 Rt?CDQ 中,有
2

DQ ?
2

?a ? t ?
2
2

B Q

2

?4
2

. D C

在 Rt?ADQ 中,有 AQ ? DQ ? AD . 即 ∴

t ? 4 ? ?a ? t ? ? 4 ? a
2

2

,即 t ? at ? 4 ? 0 . P

a?t?

4 ?4 t .

故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .
N A M D C Q B

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时, 边 BC 上存在唯一点 Q(Q 为 BC 边的中点) , 使 PQ⊥QD,过 Q 作 QM∥CD 交 AD 于 M,则 QM⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面 PAD. 过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ,则 QN⊥PD. ∴∠MNQ 是二面角 A-PD-Q 的平面角.

在等腰直角三角形 PAD 中,可求得 MN ? 2 ,又 MQ ? 2 ,进而 NQ ? 6 .

MN 2 3 ? ? NQ 3 . 6 ∴ 3 故二面角 A-PD-Q 的余弦值为 . ???? ???? ???? 3 ? AB AP 解法 2: (Ⅰ)以 AD 、 、 为 x.y.z 轴建立如图的空间直角坐标系,则 cos ?MNQ ?
B(0,2,0) ,C(a,2,0) ,D(a,0,0) , P(0,0,4) , 设 Q(t,2,0) t ? 0 ) ( ,则 z P

PQ =(t,2,-4) ,

???? ???? ? PQ ?DQ ? t (t ? a) ? 4 =0. ∵PQ⊥QD,∴
即 t ? at ? 4 ? 0 .
2

DQ =(t-a,2,0) .

A Q D x
6

B

y

a?t?


4 ?4 t .

C

故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0) .

n ? ? x, y, z ? 是平面 PQD 的法向量, ??? ? ?n?DP ? 0 ? ??4 x ? 4 z ? 0 ? ???? ? ?n?DQ ? 0 ,得 ??2 x ? 2 y ? 0 . 由?


n ? ?1,1,1? 取 z ? 1 ,则 是平面 PQD 的一个法向量。


???? ???? AD?n 3 cos ? AD, n ?? ???? ? 3 AD ? n

??? ? AB ? ? 0, 2,0 ?

是平面 PAD 的一个法向量,



∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为

3 . 3

20、 (满分 13 分) 随着私家车的逐渐增多,居民小区“停车难”问题日益突出.本市某居民小区为缓解“停车 难”问题,拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯 处的平面设计示意图. (1)按规定,地下停车库坡道口上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入, 为标明限高,请你根据该图所示数据计算限定高度 CD 的值. (精确到 0.1m) (下列数据提供参考: sin 20°=0.3420, cos 20°=0.9397, tan 20°=0.3640) (2)在车库内有一条直角拐弯车道,车道的平面图如图所示,设 ?PAB ? ? (rad) ,车道宽 为 3 米,现有一辆转动灵活的小汽车,其水平截面图为矩形,它的宽为 1.8 米,长为 4.5 米, 问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道? 3米 F C O 3米 E D B

1.8 米 θ A

P

解:(1)在△ABE 中,∠ABE=90°,∠BAE=20°, ∴tan∠BAE=

BE ,又 AB=10, AB
7

∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m,∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m,

在△CED 中,∵CD⊥AE,∠ECD=∠BAE=20°, ∴cos∠ECD=

CD ,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m. CE

故答案为 2.8m.????5 分 (2)延长 CD 与直角走廊的边相交于 E , F ,如下图.

? 3 3 ? ,其中 0 ? ? ? . 2 cos ? sin ? DA 1.8 ? 容易得到 DE ? , CF ? BC ? tan ? ? 1.8 tan ? .又 tan ? tan ? AB ? DC ? EF ? ( DE ? CF ) , 3(sin ? ? cos ? ) ? 1.8 3 3 1 ? ? 1.8(tan ? ? )? 于是 f (? ) ? , sin ? cos ? cos ? sin ? tan ? ? 其中 0 ? ? ? .???8 分 2

EF ? OE ? OF ?

设 sin ? ? cos? ? t ,则 t ? 又 sin ? cos ? ?

2 sin(? ? ) ,于是 1 ? t ? 2 . 4

?

t 2 ?1 , 2 6t ? 3.6 因此 f (? ) ? g (t ) ? 2 .????11 分 t ?1 6t 2 ? 7.2t ? 6 6(t ? 0.6)2 ? 3.84 因为 g ?(t ) ? ? ,又 1 ? t ? 2 ,所以 g ?(t ) ? 0 恒成立, ?? (t 2 ? 1)2 (t 2 ? 1)2 6t ? 3.6 因此函数 g (t ) ? 2 在 t ? (1, 2] 是减函数,所以 g (t )min ? g ( 2) ? 6 2 ? 3.6 ? 4.5 , t ?1
故能顺利通过此直角拐弯车道 21、 (满分 13 分) ????13 分

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为 3 ? 2 2 , a b 3? 2 2 . (1)如果直线 x ? t (t ? R) 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,若 C (?3, 0), D(3, 0) ,直线 CA 与 直线 BD 的交点是 K ,求点 K 的轨迹方程; (2)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与该椭圆交于 M 、N 两点,与 y 轴交于点 R , ???? ? ???? ??? ? ? ???? 若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,试判断: ? ? ? 是否为定值?并说明理由.
解: (1)由已知 ? 所以椭圆方程为

?a ? c ? 3 ? 2 2 ?

? ?a ? 3 ?? ?c ? 2 2 ?a ? c ? 3 ? 2 2 ? ?
x2 ? y 2 ? 1.?????3 分 9

b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

依题意可设 A(t , y0 ), B(t, ? y0 ), K ( x, y) ,且有 又 CA : y ?

y0 ?y ( x ? 3), DB : y ? 0 ( x ? 3), t ?3 t ?3 2 2 ?y t 1 x2 y 2 ? 2 0 ( x 2 ? 9) ,将 ? y0 2 ? 1 代入即得 y 2 ? ( x 2 ? 9), ? y 2 ? 1 t ?9 9 9 9 2 x ? y 2 ? 1 (y≠0)????????8 分 所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 的轨迹方程是 9
8

t2 ? y0 2 ? 1 9

9 ,理由如下:??????9 分 4 依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
(2) ? ? ? 是定值, ? ? ? ? ? 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 9k 2 ? 9 ? 0 ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 2 ? 9 ? y ? 1. ?

9k 2 ? 9 x3 x4 ? , ② ????11 分 1 ? 9k 2 因为 RM ? ? MQ ,所以 ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? , 18k 2 所以 x3 ? x4 ? , ① 1 ? 9k 2

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , 所以 x3 ? ?(1 ? x3 ) ,又 l 与 x 轴不垂直,所以 x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ? ?y 3 . x3 x4 所以 ? ? ,同理 ? ? . ?????12 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x 所以 ? ? ? ? . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . ????13 分 4 1 22、 (满分 13 分)设函数 f n ( x) ? x n (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an (n ? 1,2,?) . 2 (1)求数列 ?a n ?的通项公式; 1 (2)证明:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ? 成立; (n ? 2) 2 7 (3)若数列 ?a n ?的前 n 之和为 Sn ,证明:对任意正整数 n 都有 S n ? 成立. 16 【解析】 (1)由 f n?( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2x n (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] 1 n 当 x ? [ ,1] 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2 n?2 n 1 1 1 1 ? ? [ ,1] , f1?(1) ? 0 ,则 a1 ? f1 ( ) ? 当 n ? 1 时, n?2 3 2 2 8 n 1 1 1 ? [ ,1] ,则 a2 ? f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, n?2 2 2 16 n 1 ? [ ,1] , 当 n ? 3 时, n?2 2 1 n n ) 时 f n?( x) ? 0 ,当 x ? ( ,1) 时 f n?( x) ? 0 , 而当 x ? [ , 2 n?2 n?2 n 故函数 f n (x ) 在 x ? 处取得最大值, n?2 n 4n n 即: an ? f n ( )? n ? 2 (n ? 2) n? 2 ?1 ? 8 (n ? 1) ? 综上: an ? ? 。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。 n ? 4n (n ? 2) ? (n ? 2) n ? 2 ?
即?
9

2 n 4n n 1 ,即证 (1 ? ) ? 4 , ? n? 2 2 n (n ? 2) (n ? 2) 2 n 2 1 2 2 n(n ? 1) 4 0 1 2 ? 2 ?4 而 (1 ? ) ? Cn ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? 1 ? 2 ? n n n 2 n
(2)当 n ? 2 时,要证 an ? 故不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。10 分 (3)当 n ? 1,2 时结论成立; 当 n ? 3 时,由(2)的证明可知:

1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 8 16 8 16 5 6 (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )? ? ? ? , 8 16 4 5 5 6 n ? 1 n ? 2 8 16 4 16 7 从而 S n ? 。。。。。。。。。。。。。。。。13 分 。。。。。。。。。。。。。。。 16

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