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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算应用能力提升 文

第四篇 第1节

平面向量(必修 4)

平面向量的概念及线性运算

【选题明细表】 知识点、方法 平面向量的概念 平面向量的线性运算 共线向量问题 三点共线问题 综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.给出下列命题: ①向量 与向量 的长度相等,方向相反; 题号 1,10 3,5,8,13 2,9 4,11 6,7,12,14



+

=0;

③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; ④ 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线.

其中不正确的命题的个数是( A ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)1 解析:①正确;②中 + =0,而不等于 0;③正确;④中 与 所在直线还可能平行,综上可

知②④不正确.故选 A. 2.“存在实数λ ,使得 a=λ b”,是“a 与 b 共线”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:当 a≠0,b=0,a=λ b 不成立. 3.(2015 福州期末)化简 + + + +

A )

的结果为( B )

(A)

(B)

(C)

(D)0

1

解析:

-

+

-

+

+

+

=(

+

+

+

+

)-(

+

)=

.

4.(2015 资阳模拟)已知向量 (A)A,B,C 三点共线 (C)A,C,D 三点共线 解析:因为 = +

=a+3b,

=5a+3b,

=-3a+3b,则(

B )

(B)A,B,D 三点共线 (D)B,C,D 三点共线 =2a+6b=2(a+3b)=2 ,

所以 A,B,D 三点共线. 5.(2015 济南校级期中)已知空间四边形 ABCD,M,G 分别是 BC,CD 的中点,连接 AM,AG,MG,则 + ( + )等于( A )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:因为 G 为 CD 的中点, 所以 + =2 ,

所以

+ (

+

)=

+

=

.

6.(2015 德阳期末)已知 P 为△ABC 所在平面内一点,且满足 △APC 的面积之比为( (A) (B)2 (C) (D)3 A )

=

+

,则△APB 的面积与

解析:令

=

,

=

,



=

+

,

所以四边形 ADPE 是平行四边形,S△PAD=S△PAE, 因为 = ,

2

所以 S△PAE= S△PAC,

因为

=

,

所以 S△PAD= S△PAB, 所以 S△PAB∶S△PAC=1∶2. 7.(2015 高台县校级期末)已知 A,B,C 三点不在同一条直线上,O 是平面 ABC 内一定点,P 是△ ABC 内的一动点,若 =λ ( + ),λ ∈[0,+∞),则直线 AP 一定过△ABC 的( A )

(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心 解析:

如图,取 BC 的中点 D 并连接 AD, 则 + = , = ,因为 =λ ( + ),λ ∈[0,+∞),

所以



,即 A,P,D 三点共线,

又因为 AD 为 BC 边上的中线, 所以直线 AP 一定过△ABC 的重心. 8.(2015 黄浦区一模)已知点 P,Q 是△ABC 所在平面上的两个定点,且满足 + =0,2 + + = ,若| |=λ | |,则正实数λ = .

解析:因为满足

+

=0,

所以点 P 是线段 AC 的中点, 因为 2 + + = ,

所以 2

=

-

-

-

=2

,

所以点 Q 是线段 AB 的中点,

3

因为|

|=λ |

|,所以λ = .

答案: 9.(2015 杨浦区二模)已知 e1,e2 是不平行的向量,设 a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a 与 b 共线的充要 条件是实数 k 等于 . 解析:a 与 b 共线的充要条件是存在实数λ 使得 a=λ b, 所以 e1+ke2=λ (ke1+e2)=λ ke1+λ e2, 因为 e1,e2 是不平行的向量, 所以 解得 k=±1.

答案:±1 10.给出下列命题: ①向量 的长度与向量 的长度相等;

②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④零向量与任意数的乘积都为零. 其中不正确命题的序号是 . 解析:① 与 是相反向量,模相等,正确;②由 0 方向是任意的且与任意向量平行,不正确;

③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零 向量,不正确. 答案:②④ 能力提升练(时间:15 分钟) 11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S200=100,A,B,C 为平面内三点,点 O 为平面外任意 一点,若 =a100 +a101 ,则 A,B,C 三点( A )

(A)共线 (B)不共线 (C)共线与否和点 O 的位置有关 (D)位置关系不能确定 解析:由题意知,S200= A,B,C 三点共线. = =100.所以 a100+a101=1,根据共线向量定理知

4

12.(2015 浙江镇海中学月考)已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点,动点 P 满足

=

+

λ (

+

)(λ ≥0),则动点 P 的轨迹一定过三角形 ABC 的( D

)

(A)内心 (B)外心 (C)垂心 (D)重心 解析:

如图,AD⊥BC,由于|

|sin B=

|

|sin C=|

|,

所以

=

+λ (

+

)=

+

(

+

),

所以

-

=

=

(

+

),

因此点 P 在三角形 ABC 的中线上,故动点 P 的轨迹一定过三角形 ABC 的重心. 13.(2015 北京海淀期中)如图所示,在△ABC 中,D 为 BC 边上的一点,且 BD=2DC.若 =m +n (m,n∈R),则 m-n= .

解析:因为 BD=2DC, 所以 =-3 ,

所以

=

-

,

=

-

,

所以

-

=-3(

-

),

所以

=-

+

,则 m=- ,n= ,

5

所以 m-n=- - =-2. 答案:-2 14.(2015 晋江市校级期中)如图,已知△OCB 中,B,C 关于点 A 对称,D 是将 OB 分成 2∶1 的一 个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设 =a, =b.

(1)用 a,b 表示向量

,

;

(2)若



,求实数λ 的值.

解:(1)由题意知 A 是 BC 的中点,且

=

,

由平行四边形法则得

+

=2

,



=2

-

=2a-b,



=

-

=2a-b- b=2a- b.

(2)由题图知



,

因为

=

-

=2a-b-λ a=(2-λ )a-b,

=2a- b,

所以

= ,

解得λ = .

6

精彩 5 分钟 1.(2014 北京丰台一模)已知平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, =m , =n (mn≠

0),若



,则 =

.

解题关键:方程思想的应用. 解析:

如图所示,因为 E 是 CD 的中点,

=

,且

=

+

,

所以

=

-

,



=

-

.

已知

=m

,

=n

,

所以

=n

-m

,

因为



,

所以一定存在实数λ ,使得



,

即n

-m

=λ (

-

),

所以(m- λ )

+(λ -n)

=0.

又因为



不共线,

7

所以

所以 m= n,

又 m≠0,所以 =2. 答案:2 2.(2015 河南实验中学期中)已知三个不同的点 A,B,C 在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点, 若p +q +r =0.其中 p,q,r∈R,则 p+q+r= .

解题关键:注意分类讨论解题. 解析:因为三个不同的点 A,B,C 在同一条直线 l 上, 所以存在实数λ (λ ≠0)使 =λ .

所以

-

=λ (

-

),

即(λ -1)

+



=0.

因为 p

+q

+r

=0,

所以当 r=0 时,由 此时 p+q+r=0;



不共线知 p=q=0,

当 r≠0 时,可知 p,q≠0,且 此时 p+q+r=0. 答案:0

= = .

8


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