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【解析】江苏省连云港市东海高中2015届高三下学期三模数学试卷 Word版含解析


2015 年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相印位置 上. 1.函数 的最小正周期是 .

2.已知函数 f(x)=x2+(m+2)x+3 是偶函数,则 m= 3.抛物线 x2=﹣4y 的焦点坐标为 4.lg22+lg2lg5+lg5= . .



5.已知复数 z 满足(1+2i)z=5(i 为虚数单位) ,则 z= 6.已知 . 7.已△ 知△ ABC 三边长分别为 a,b,c 且 a2+b2﹣c2=ab,则∠C= ,则 值为



8.已知 x,y 满足

,则 x2+y2 最大值为



9. 设等差数列{an}的公差 d 不为零, a1=9d. 若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 k=



10.与曲线

共焦点并且与曲线

共渐近线的双曲线方程为



11.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为 . 12.设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围 是 . 13.π 为圆周率,e=2.71828 为自然对数的底数.则 3π,πe,3e,π3,e3,eπ 这 6 个数中的最大 值是 .

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14.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x, y) .则|PA|?|PB|的最大值是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知函数 ,

(1)若 x∈[0,π],求函数 f(x)的最大值与最小值及此时 x 的值; (2)若 ,且 ,求 f(x)的值.

16. (14 分)已知圆 C:x2+y2=9,点 A(﹣5,0) ,直线 l:x﹣2y=0. (1)求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点) ,存在定点 B(不同于点 A) ,满足:对于圆 C 上任一点 P,都有 为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标.

17. (14 分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水 板 AB 长为 2m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线 应在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范围.

18. (16 分)在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,再取两个动点 N1(0, m) ,N2(0,n) ,且 mn=3.

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(1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t) (t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率 kAE 与直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜率是否是定值?若 是定值,求出这个定值,若不是,说明理由. 19. (16 分) 设 fk (n) 为关于 n 的 k (k∈N) 次多项式. 数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和为 Sn. 对 于任意的正整数 n,an+Sn=fk(n)都成立. (I)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (Ⅱ)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. 20. (16 分) 已知函数 ( f x) =alnx﹣bx2 图象上一点 P (2, ( f 2) ) 处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若方程 f(x)+m=0 在 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对

数的底数) ; (Ⅲ)令 g(x)=f(x)﹣kx,若 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (其中 x1 <x2) ,AB 的中点为 C(x0,0) ,求证:g(x)在 x0 处的导数 g′(x0)≠0.

三、附加题 21. (10 分)已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 A 1B.


22. (10 分)已知直线 l 的参数方程: .

(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程:

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 23. (10 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是棱 BC 的中点,Q 在棱 CD 上.且 DQ=λDC,若二面角 P﹣C1Q﹣C 的余弦值为 ,求实数 λ 的值.

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24. (10 分)已知抛物线 L 的方程为 x2=2py(p>0) ,直线 y=x 截抛物线 L 所得弦 . (1)求 p 的值; (2)抛物线 L 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在 点 C 处有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2015 年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相印位置 上. 1.函数 的最小正周期是 2 .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由函数解析式找出ω 的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期. 解答: 解:函数 ∵ω =π ,∴T= =2. ,

故答案为:2 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 2.已知函数 f(x)=x2+(m+2)x+3 是偶函数,则 m= ﹣2 . 考点: 偶函数. 专题: 计算题. 分析: 根据偶函数的定义可得 f(x)=f(﹣x)然后整理即可得解. 解答: 解:∵函数 f(x)=x2+(m+2)x+3 是偶函数 ∴f(x)=f(﹣x) ∴(﹣x)2+(m+2) (﹣x)+3=x2+(m+2)x+3 ∴2(m+2)x=0① 即①对任意 x∈R 均成立 ∴m+2=0 ∴m=﹣2 故答案为﹣2 点评: 本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值.事实上通过本题我们可得出一个常 用的结论:对于关于 x 的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则 x 的奇次项不存在即奇 次项的系数为 0,若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为 0! 3.抛物线 x2=﹣4y 的焦点坐标为 (0,﹣1) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 确定抛物线的焦点位置,根据方程即可求得焦点坐标. 解答: 解:抛物线的焦点在 y 轴上,且 2p=4 ∴ =1

∴抛物线 x2=﹣4y 的焦点坐标为(0,﹣1) 故答案为: (0,﹣1) 点评: 本题考查抛物线的几何性质,先定型,再定位是关键.

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4. lg22+lg2lg5+lg5= 1 . 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 lg2+lg5=1 即可求得答案. 解答: 解:∵lg2+lg5=lg10=1, ∴lg22+lg2lg5+lg5 =lg2(lg2+lg5)+lg5 =lg2+lg5 =lg10 =1. 故答案为:1. 点评: 本题考查对数的运算性质,注意 lg2+lg5=1 的应用,属于基础题. 5.已知复数 z 满足(1+2i)z=5(i 为虚数单位) ,则 z= 1﹣2i . 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 (1+2i)z=5,可得 z= 解答: 解:∵(1+2i)z=5,∴z= = = = = =1﹣2i. =1﹣2i,

故答案为 1﹣2i. 点评: 本题考查两个复数代数形式的除法,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共 轭复数.

6.已知

,则

值为

7 . 考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据α ∈(0, )和 sinα 的值,利用同角三角函数的基本关系求出 cosα 及 tanα , 然后把所求的式子利用两角和的正切函数的公式化简,代入即可求得值. 解答: 解:因为 α∈(0, )和 sinα= ,根据 sin2α+cos2α=1 得到:

cosα=

=

= ,所以 tanα=

= ;

而 tan(α+

)=

=

=

=7

故答案为 7

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点评: 考查学生会利用两角和与差的正切函数函数公式进行化简求值,以及灵活运用同角 三角函数间的基本关系解决数学问题. 7.已△ 知△ ABC 三边长分别为 a,b,c 且 a2+b2﹣c2=ab,则∠C= 60° 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用 a2+b2﹣c2=ab,代入到余弦定理中求得 cosC 的值,进而求得 C 解答: 解:∵a2+b2﹣c2=ab, ∴cosC= =

∴C=60° 故答案为 60° 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.属基础题.

8.已知 x,y 满足

,则 x2+y2 最大值为 25 .

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x2+y2 表示动点到原点的距 离的平方,只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可. 解答: 解:注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方, 作出可行域.如图. 易知当为 A 点时取得目标函数的最大值, 可知 A 点的坐标为(﹣3,﹣4) , 代入目标函数中,可得 zmax=32+42=25. 故答案为:25.

点评: 本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可 行域内的点与原点之间的距离问题

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9.设等差数列{an}的公差 d 不为零,a1=9d.若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k= 4 . 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 知 ak2=a1a2k, 由此可知 k2﹣2k﹣8=0, 从而得到 k=4 或 k=﹣2(舍) . 解答: 解:因为 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 ak2=a1a2k,[9d+(k﹣1)d]2=9d?[9d+(2k﹣1)d], 又 d≠0,则 k2﹣2k﹣8=0,k=4 或 k=﹣2(舍去) . 故答案为:4. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.属基础题.

10.与曲线

共焦点并且与曲线

共渐近线的双曲线方程为

. 考点: 双曲线的标准方程. 分析: 先求出椭圆 的焦点坐标,双曲线 的渐近线方程,然后设双曲

线的标准方程为

,则根据此时双曲线的渐近线方程为 y=±

x,且有 c2=a2+b2,

可解得 a、b,故双曲线方程得之. 解答: 解:由题意知椭圆 焦点在 y 轴上,且 c= =5,

双曲线

的渐近线方程为 y=± x,

设欲求双曲线方程为





,解得 a=4,b=3,

所以欲求双曲线方程为



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故答案为



点评: 本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程与性质,同时考查椭圆的标 准方程及简单性质. 11.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为 3 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 由于切点在直线与曲线上,将切点的坐标代入两个方程,得到关于 a,b,k 的方程, 再求出在点(1,3)处的切线的斜率的值,即利用导数求出在 x=1 处的导函数值,结合导数 的几何意义求出切线的斜率,再列出一个等式,最后解方程组即可得.从而问题解决. 解答: 解:∵直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) , ∴ ?①

又∵y=x3+ax+b, ∴y'=3x2+ax,当 x=1 时,y'=3+a 得切线的斜率为 3+a,所以 k=3+a;?② ∴由①②得:b=3. 故答案为:3. 点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 12.设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 [﹣1,1] . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆的位置关系,画出图形,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由题意画出图形如图:点 M(x0,1) , 要使圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则∠OMN 的最大值大于或等于 45°时一定存在点 N,使得∠OMN=45°, 而当 MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值, 此时 MN=1, 图中只有 M′到 M″之间的区域满足 MN=1, ∴x0 的取值范围是[﹣1,1].

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点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本 题的策略之一. 13.π 为圆周率,e=2.71828 为自然对数的底数.则 3π,πe,3e,π3,e3,eπ 这 6 个数中的最大 值是 3π . 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 f(x)= ,由导数性质得函数 f(x)的单调递增区间为(0,e) ,单调

递减区间为(e,+∞) .由 e<3<π ,得 ln3e<lnπ e,lneπ <ln3π .从而 3e<π e<π 3,e3 <eπ <3π ,由函数 f(x)= 的单调性质,得 f(π )<f(3)<f(e) ,由此能求出 3π ,

π e,3e,π 3,e3,eπ 这 6 个数中的最大值. 解答: 解:函数 f(x)= 的定义域为(0,+∞) ,

∵f(x)=

,∴f′(x)=



当 f′(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e) ,单调递减区间为(e,+∞) . ∵e<3<π , ∴eln3<elnπ ,π lne<π ln3,即 ln3e<lnπ e,lneπ <ln3π . 于是根据函数 y=lnx,y=ex,y=π x 在定义域上单调递增,可得 3e<π e<π 3,e3<eπ <3π , 故这六个数的最大数在π 3 与 3π 之中, 由 e<3<π 及函数 f(x)= 即 由 < < < , 的单调性质,得 f(π)<f(3)<f(e) ,

,得 lnπ 3<ln3π ,∴3π >π 3,

3π ,π e,3e,π 3,e3,eπ 这 6 个数中的最大值是 3π . 故答案为:3π .

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点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较,考查学生综合运 用知识分析解决问题的能力,难度较大.

14.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x, y) .则|PA|?|PB|的最大值是 5 . 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 先计算出两条动直线经过的定点,即 A 和 B,注意到两条动直线相互垂直的特点, 则有 PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值. 解答: 解:有题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 则有 PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|?|PB|≤ =5(当且仅当 时取“=” )

故答案为:5 点评: 本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解 答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2 是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等 式相结合,不容易想到,是个灵活的好题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知函数 ,

(1)若 x∈[0,π],求函数 f(x)的最大值与最小值及此时 x 的值; (2)若 ,且 ,求 f(x)的值.

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)通过诱导公式、两角差的正弦函数,通过 x∈[0,π ],直接求函数 f(x)的最 大值与最小值及此时 x 的值; (2)通过 ,判断正弦函数与余弦函数的大小,利用 ,求 f(x)

的平方的值,即可求出所求数值. 解答: 解: (1) ∵x∈[0,π], ,f(x)min=﹣1∴ 分别在 (2) 时取得.…(8 分) , …(6 分) ,…(2 分)

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∴sinx<cosx,f(x)<0,…(10 分) 又∵ ∴ ∴ .?(14 分) ,…(13 分)

点评: 本题是中档题,考查三角函数诱导公式的应用,两角差的三角函数的最值,考查计 算能力,转化思想. 16. (14 分)已知圆 C:x2+y2=9,点 A(﹣5,0) ,直线 l:x﹣2y=0. (1)求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点) ,存在定点 B(不同于点 A) ,满足:对于圆 C 上任一点 P,都有 为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标.

考点: 圆的切线方程;直线和圆的方程的应用. 分析: (1)先求与直线 l 垂直的直线的斜率,可得其方程,利用相切求出结果. (2)先设存在,利用都有 为一常数这一条件,以及 P 在圆上,列出关系,利用恒成立,

可以求得结果. 解答: 解: (1)设所求直线方程为 y=﹣2x+b,即 2x+y﹣b=0,∵直线与圆相切, ∴ ,得 ,

∴所求直线方程为 , (2)方法 1:假设存在这样的点 B(t,0) , 当 P 为圆 C 与 x 轴左交点(﹣3,0)时, 当 P 为圆 C 与 x 轴右交点(3,0)时, 依题意, 下面证明点 ; , . 为一常数.

,解得,t=﹣5(舍去) ,或 对于圆 C 上任一点 P,都有

设 P(x,y) ,则 y2=9﹣x2,





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从而

为常数. 为常数 λ,则 PB2=λ2PA2,

方法 2:假设存在这样的点 B(t,0) ,使得

∴(x﹣t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将 y2=9﹣x2 代入得, x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2(x2+10x+25+9﹣x2) , 2 2 2 即 2(5λ +t)x+34λ ﹣t ﹣9=0 对 x∈[﹣3,3]恒成立,



,解得



(舍去) ,

所以存在点

对于圆 C 上任一点 P,都有

为常数 .

点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,圆的切线方程,又是存在性和探究性问题,恒成 立问题,考查计算能力.是难题. 17. (14 分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水 板 AB 长为 2m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线 应在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范围.

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知最高点为(2+h,4) ,h≥1.设抛物线方程为 y=a[x﹣(2+h)]2+4, 当 h=1 时,最高点为(3,4) ,方程为 y=a(x﹣3)2+4,由此能求出结果. (2)将点 A(2,3)代入 y=a[x﹣(2+h)]2+4,得 ah2=﹣1,由题意,方程 a[x﹣(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解,由此入手能求出达到较好的训练效果时 h 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知最高点为(2+h,4) ,h≥1. 设抛物线方程为 y=a[x﹣(2+h)]2+4, 当 h=1 时,最高点为(3,4) ,方程为 y=a(x﹣3)2+4, 将 A(2,3)代入,得 3=a(2﹣3)2+4, 解得 a=﹣1, ∴当 h=1 时,跳水曲线所在的抛物线方程为 y=﹣(x﹣3)2+4. (2)将点 A(2,3)代入 y=a[x﹣(2+h)]2+4,

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得 ah2=﹣1,① 由题意,方程 a[x﹣(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解, 令 f(x)=a[x﹣(2+h)]2+4=﹣ 则 f(5)=﹣ 解得 1≤h≤ . 故达到较好的训练效果时 h 的取值范围是[1, ]. 故达到较好的训练效果时 h 的取值范围是[1, ]. 点评: 本题考查抛物线方程的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认 真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用. 18. (16 分)在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,再取两个动点 N1(0, m) ,N2(0,n) ,且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t) (t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率 kAE 与直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜率是否是定值?若 是定值,求出这个定值,若不是,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (1)先分别求直线 A1N1 与 A2N2 的方程,进而可得 ,利用 [x﹣(2+h)]2+4, (4﹣h)2+4≤0.

(3﹣h)2+4≥0,且 f(6)=﹣

mn=3,可以得 程; (2)先求点 A 的坐标

,又点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0)不在轨迹 M 上,故可求轨迹方

,将直线 AE 的方程代入

并整理,利用

kAE+kAF=0 得 kAF=﹣k,从而可表示直线 EF 的斜率,进而可判断直线 EF 的斜率为定值. 解答: 解: (1)依题意知直线 A1N1 的方程为: 直线 A2N2 的方程为: ①﹣﹣﹣(1 分)

②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

设 Q(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得

由 mn=3 整理得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

∵N1,N2 不与原点重合∴点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0)不在轨迹 M 上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

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∴轨迹 M 的方程为

(x≠±2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (2)∵点 A(1,t) (t>0)在轨迹 M 上∴ ﹣(8 分) 设 kAE=k,则直线 AE 方程为: ,代入 并整理得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 设 E(xE,yE) ,F(xF,yF) ,∵点 在轨迹 M 上, 解得 ,即点 A 的坐标为 ﹣



﹣﹣﹣﹣﹣﹣③,

④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣(11 分) 又 kAE+kAF=0 得 kAF=﹣k,将③、④式中的 k 代换成﹣k,

可得



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴直线 EF 的斜率





即直线 EF 的斜率为定值,其值为 ﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题主要考查交轨法求轨迹方程,应注意纯粹性, (2)的关键是求出直线 EF 的斜率 的表示,通过化简确定其伟定值,考查了学生的计算能力,有一定的综合性. 19. (16 分) 设 fk (n) 为关于 n 的 k (k∈N) 次多项式. 数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和为 Sn. 对 于任意的正整数 n,an+Sn=fk(n)都成立. (I)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列;

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(Ⅱ)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. 考点: 数列递推式;等差关系的确定;等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)若 k=0,不妨设 f0(n)=c(c 为常数) .即 an+Sn=c,结合数列中 an 与 Sn 关 系 求出数列{an}的通项公式后再证明.

(Ⅱ)由特殊到一般,实质上是由已知 an+Sn=fk(n) 考查数列通项公式求解,以及等差数 列的判定. 解答: (Ⅰ)证明:若 k=0,则 fk(n)即 f0(n)为常数, 不妨设 f0(n)=c(c 为常数) . 因为 an+Sn=fk(n)恒成立,所以 a1+S1=c,c=2a1=2. 而且当 n≥2 时, an+Sn=2,① an﹣1+Sn﹣1=2,② ①﹣②得 2an﹣an﹣1=0(n∈N,n≥2) . 若 an=0,则 an﹣1=0,?,a1=0,与已知矛盾,所以 an≠0(n∈N*) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列.

(Ⅱ)解: (1)若 k=0,由(Ⅰ)知,不符题意,舍去. (2)若 k=1,设 f1(n)=bn+c(b,c 为常数) , 当 n≥2 时,an+Sn=bn+c,③ an﹣1+Sn﹣1=b(n﹣1)+c,④ ③﹣④得 2an﹣an﹣1=b(n∈N,n≥2) . 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列, 必须有 an=b﹣d(常数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an=1(n∈N*) , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an=1(n∈N*) , 此时 f1(n)=n+1. (3)若 k=2,设 f2(n)=pn2+qn+t(a≠0,a,b,c 是常数) , 当 n≥2 时, an+Sn=pn2+qn+t,⑤ an﹣1+Sn﹣1=p(n﹣1)2+q(n﹣1)+t,⑥ ⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p(n∈N,n≥2) , 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列, 必须有 an=2pn+q﹣p﹣d,且 d=2p, 考虑到 a1=1,所以 an=1+(n﹣1) ?2p=2pn﹣2p+1(n∈N*) . 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列, 其通项公式为 an=2pn﹣2p+1(n∈N*) , 此时 f2(n)=an2+(a+1)n+1﹣2a(a 为非零常数) . (4)当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,根据等差数列通项公式可知 Sn 是关于 n 的二次 型函数, 则 an+Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2, 故数列{an}不能成等差数列.

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综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 点评: 本题考查数列通项公式的求解,等差数列的判定,考查阅读理解、计算论证等能力. 20. (16 分) 已知函数 ( f x) =alnx﹣bx2 图象上一点 P (2, ( f 2) ) 处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若方程 f(x)+m=0 在 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对

数的底数) ; (Ⅲ)令 g(x)=f(x)﹣kx,若 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (其中 x1 <x2) ,AB 的中点为 C(x0,0) ,求证:g(x)在 x0 处的导数 g′(x0)≠0. 考点: 函数与方程的综合运用;函数的零点与方程根的关系;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (Ⅰ)只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数; (Ⅱ)先要利用导数研究好函数 h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m,的单调性,结合单调性及在 内有两个不等实根通过数形结合易知 m 满足的关系从而问题获得解答; (Ⅲ)用反证法现将问题转化为有关方程根的形式,在通过研究函数的单调性进而通过最值 性找到矛盾即可获得解答. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)= = ﹣2bx, ∴ ,且 aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2. ,f(2)=aln2﹣4b.

解得 a=2,b=1. (Ⅱ)f(x)=2lnx﹣x2,令 h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m, 则 ,

令 h′(x)=0,得 x=1(x=﹣1 舍去) . 在 当 内, 时,h′(x)>0,

∴h(x)是增函数; 当 x∈[1,e]时,h′(x)<0, ∴h(x)是减函数, 则方程 h(x)=0 在 内有两个不等实根的充要条件是:

即 1<m



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(Ⅲ)g(x)=2lnx﹣x2﹣kx, 假设结论不成立,则有:



①﹣②,得



∴ 由④得 ,







,即

.⑤





(0<t<1) ,



>0.

∴u(t)在 0<t<1 上增函数, ∴u(t)<u(1)=0, ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴g'(x0)≠0. 点评: 本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题.在解答的过程当中充分体 现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法.值得同学们体会反 思. 三、附加题

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21. (10 分)已知矩阵 A= 考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 矩阵和变换. 分析: 设矩阵 A﹣1=

,B=

,求矩阵 A 1B.


,通过 AA﹣1 为单位矩阵可得 A﹣1,进而可得结论. , = ,

解答: 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 则 = ,即

故 a=﹣1,b=0,c=0,d= ,

从而 A 1=




∴A 1B=


=



点评: 本题考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力,属于基础题.

22. (10 分)已知直线 l 的参数方程: .

(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程:

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 分析: (Ⅰ)将直线 l 的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程,利用极坐标转化 成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程; (Ⅱ)欲判断直线 l 和圆 C 的位置关系,只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可,根据 点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较. 解答: 解: (Ⅰ)消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 y=2x+1, ,即ρ =2(sinθ +cosθ ) , 两边同乘以ρ 得ρ 2=2(ρ sinθ +ρ cosθ ) , 得⊙C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2; (Ⅱ)圆心 C 到直线 l 的距离 ,

所以直线 l 和⊙C 相交. 点评: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程,以及直线的参数方程和直线与圆的位置关 系的判定,属于基础题.

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23. (10 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是棱 BC 的中点,Q 在棱 CD 上.且 DQ=λDC,若二面角 P﹣C1Q﹣C 的余弦值为 ,求实数 λ 的值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题. 分析: 以 A 点为坐标原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 4,分别求出平面 C1PQ 法向量和面 C1PQ 的一个法向量,然后求出两法向 量的夹角,建立等量关系,即可求出参数λ 的值. 解答: 解:以 为正交基底,

建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, 设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0,0,0) ,B(4,0,0) ,C(4,4,0) ,D(0,4,0) ; A1(0,0,4) ,B1(4,0,4) ,C1(4,4,4) , D1(0,4,4) ,P(4,2,0) ,Q(4λ,4,0) . (2 分) 设平面 C1PQ 法向量为 而 所以 可得一个法向量 设面 C1PQ 的一个法向量为 则 , , =(1,﹣2(λ﹣1) , (λ﹣1) ) , (6 分) , , ,

, (8 分)

即:

,又因为点 Q 在棱 CD 上,所以

. (10 分)

- 20 -

点评: 本题主要考查了二面角的度量,准确的建系,确定点坐标,熟悉向量的坐标表示, 熟悉空间向量的计算在几何位置的证明,在有关线段,角的计算中的计算方法是解题的关键. 24. (10 分)已知抛物线 L 的方程为 x2=2py(p>0) ,直线 y=x 截抛物线 L 所得弦 . (1)求 p 的值; (2)抛物线 L 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在 点 C 处有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: (1) 把直线方程与抛物线方程联立, 求出 A 与 B 的坐标, 再代入弦长即可求 p 的值; (2)设出点 C 的坐标以及圆的圆心 N,利用 A、B、C 三点在圆上,得出圆心坐标 N 和点 C 的坐标之间的关系式;再利用抛物线 L 在点 C 处的切线与 NC 垂直,代入即可求点 C 的坐标. 解答: 解: (1)由 解得 A(0,0) ,B(2p,2p)





∴p=2 (2)由(1)得 x2=4y,A(0,0) ,B(4,4) 假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线 令圆的圆心为 N(a,b) , ,使得经过 A、B、C

则由





?

∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率

- 21 -

又该切线与 NC 垂直, ∴ ∴ ∵t≠0,t≠4, ∴t=﹣2 故存在点 C 且坐标为(﹣2,1) . 点评: 本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相切、垂径定理、抛物线与圆的几 何性质等知识,考查学生的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力.

- 22 -


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