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人教版高中数学知识点总结新


高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 ?1.1.1?集合的含义与表示
(1)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
?1.1.2?集合间的基本关系
(2)已知集合 它有 2
n

A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2n ? 1 个真子集,它有 2n ? 1 个非空子集,

? 2 非空真子集.

(3)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象
O

一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b 2 ? 4ac 2a
? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

(其中 x1

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2 }

?

?

〖1.3〗函数的基本性质 ?1.3.1?单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )<f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是增函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义

y y=f(X)
f(x1 )

( 2)利用已知函数的

f(x2)

单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图

o
函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是减函数 . ...

x1

x2

x

象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

( 2)利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图
x2

o

x1

x

象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g ( x)] , 令 u ? g ( x)

,若

y ? f (u )

为增,

u ? g ( x)

为增,则

y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为
增, u

? g ( x) 为 减 , 则 y ? f [ g ( x)] 为 减 ; 若 y ? f (u ) 为 减 , u ? g ( x) 为 增 , 则 y

y ? f [ g ( x)] 为减.
(2)打“√”函数

a f ( x) ? x ? (a ? 0) 的图象与性质 x
o
x

f ( x) 分别在 ( ??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在
[? a , 0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I
f ( x) ? M


,如果存在实数 M 满足: (1)

对于任意的 x ? I ,都有 ( 2 )存在

x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M


.那么,我们称 M 是函数

f ( x)

的最大值,记作

f max ( x) ? M

②一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 m 满足: ( 1)对于任意的 x ? I ,都有

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的最小值,记作 f ( x) ? m ;

f max ( x) ? m .
?1.3.2?奇偶性
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 f( - x)= - . . . . . . . f(x) , 那么函数 f(x) 叫做奇 . . . . . 函数 . .. 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任 意 一 个 x , 都 有 f( - . . . x)= f(x) ,那么函数 f(x)叫做 . . . . . . . 偶函数 . ... ( 1)利用定义(要先 判断定 义域是否关于 原点对称) ( 2)利用图象(图象 关于 y 轴对称) 图象 判定方法 ( 1)利用定义(要先 判断定 义域是否关于 原点对称) ( 2)利用图象(图象 关于原点对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或 奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x ) ???? ? y ? f (? x ) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f ( x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (? x)

直线y ? x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 ?2.1.1?指数与指数幂的运算
(1)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a 幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

m n

? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
m n

?

1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m ( a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R)
r

② (a

r s

) ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

③ (ab)

? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
?2.1.2?指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

过定点 奇偶性

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, 非奇非偶

y ? 1.

单调性

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 ?2.2.1?对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数,

N 叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x (2)几个重要的对数恒等式

? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: log a

N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) .
? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

如果 a ? 0, a ? 1, M

M ? log a N ? log a ( MN )
M ? log a M n (n ? R)

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n log a

?N

⑤ log

ab

Mn ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

?2.2.2?对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 图象 函数 对数函数

y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x ?1

y ? log a x

y

x ?1

y ? log a x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)
(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f ( x) 更方便.

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a

②当 a

? 0 时,抛物线开口向上,函数在 (??, ?

b b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a

时,

4ac ? b 2 f min ( x) ? 4a
递减,当 x

;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

b b ] 上递增,在 [? , ??) 上 2a 2a

??

b 2a

时,

f max ( x) ?

4ac ? b 2 4a



③二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点
? |a|


M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M 1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不 够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令
②对称轴位置:x

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , 从以下四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a
③判别式: ? ④端点函数值符号. ①k<x1≤x2

??

b 2a

?

y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a
x2
a?0

O

k

x1

x2

k

O
x1

x

x??
②x1≤x2<k

b 2a

f (k ) ? 0

?

x

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0 O
x1

x??
O

b 2a

x2

k x
x?? b 2a

x1

x2
?

k

x

a?0

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2
a?0

O
x1

k

x2

? f (k ) ? 0

x

x1

O

k

x

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
? f (k1 ) ? 0

y
?

y
k1

x??

f (k 2 ) ? 0
x1

b 2a
k2

O

k1

x1

x2 k2

x

O
?

x2
?

x

b x?? 2a

f (k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x(或 x2) 满足 k1<x(或 x2) <k2 1 1 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0, 并同时考虑 f(k1)=0

y
? f (k1 ) ? 0

a?0

y
f (k1 ) ? 0
?

O

k1

x1

k2
?

x2

x

O

x1
a?0

k1

x2
?

k2

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

?

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值
,最小值为 m ,令 x0

f ( x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为 M
(Ⅰ)当 a

?

? 0 时(开口向上)
②若

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 2a

m ? f (q )
a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

a?0

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) b 2M a ? f (q) ①若 ? ? x0 ,则

p
②?

x
b ) 2a

2a

a?0

yx ? ? b

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0 ??
x

f f (? (q)

f b x(q) p f ( p) ①若 ? ? p ,则 M 0 ? ? 2a q
O

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)

2a

f

2a

(p) q b x0 b b ②若 p ? ? ? q ,则 ?? q ,则 M ? f (? ) ③若 ? 2a 2a p O 2a x
x

M ? f (q)
b f ((p) ? ) 2a

f (q)
a?0

f f (? yb
2a

b ) 2a

a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

a?0
)

f f(?

yb
2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f(?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)
x0 ? p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?

O

q
x?? b 2a

f (p) 第三章 函数的应用

x

f

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的求法: 求函数 1 (代数法)求方程 ○

y ? f ( x) 的零点: f ( x) ? 0 的实数根;
y ? f ( x) 的图象联系起来,并利

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 ○ 用函数的性质找出零点. 2、二次函数的零点: 二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .
2

1)△>0,方程 ax 函数有两个零点.

? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次

2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

3)△<0,方程 ax

2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

高中数学 必修 2 知识点
第一章 1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 4 圆台的表面积 S

空间几何体

S ? 2?rl ? 2?r 2
? ?rl ? ?r 2 ? ?Rl ? ?R 2

3 圆锥的表面积 S

? ?rl ? ?r 2 ? 4?R 2

5 球的表面积 S

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h

2 锥体的体积

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

1 V ? S底 ? h 3 4 4 球体的体积 V ? ?R 3 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 => L α

D α A B

C

α ·

A

L

α ·

A

·

C

·

B

(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据

β
P

α

·

L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

共面直线

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );

=>a∥c

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

? 2

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b α β => a∥α

a ∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β∥α

a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 a∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直,记作 L⊥α,直 线 L 叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线 L 的垂面。 如图, 直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L

p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 β

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章 3.1 斜率 3.1 斜率
1、直线的斜率:

直线与方程

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那

么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即

如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒 数,那么它们互相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程

( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P 0
2、 、直线的 交 点 为

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

斜截式方程: 已知直线 l 的斜率为 k , 且与
2

y 轴的

(0, b)

y ? kx ? b

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直线的斜截式方程:已知直线 l 与

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

其中

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中

a ? 0, b ? 0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, 2、各种直线方程之间的互化。

y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 解:解方程组 L1:2x+y +2=0

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式
1 .点到直线距离公 点 式: 线

P( x 0 , y 0 ) 到 直
Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

l : Ax ? By ? C ? 0

的距离为:

d?

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
第四章 4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)
2

C1 ? C 2 A2 ? B 2
圆与方程

? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) (1) ( x0 (3) ( x0
2

? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
(2) ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b) 2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b) 2 < r 2 ,点在圆内

? a)2 ? ( y0 ? b) 2 = r 2 ,点在圆上

4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : 圆 C :x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆的半径为 r , 圆心 (? ax ? by ? c ? 0 , 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;
2 2

D E , ? ) 2 2

4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为

代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M

4.3.1 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、

y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、
x

O P

Q M'

y

z 轴上的坐标
2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中 的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, 点 M 的竖坐标。

y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做
z

4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2

2

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必修 3 知识点

第一章 算法初步

1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图
(二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何流程图不可少 起止框 的。 表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中任 输入、输出框 何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等 处理框 分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 “是” 判断框 或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。

第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值: x

统计

?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
? s2 ? ( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

2、 .样本标准差: s

3. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s ) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理

第三章 3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

概 率

(2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为 必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3) 若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1, 于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其 具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事 件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1) 事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

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必修 4 知识点
第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为

?? k ? 360

?

? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
?

? ?

?? k ? 360 ? 90
? ? ?

? k ? 360? ? 180? , k ? ?
?

?? k ? 360 ? 180

? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

? ?

?? k ? 360 ? 270

?

? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?
?

终边在 x 轴上的角的集合为

?? ? ? k ?180 , k ? ??

终边在

y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ?

?

?

终边在坐标轴上的角的集合为

?? ? ? k ? 90 , k ? ??
?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为

?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是

? ?

l r



? 180 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?

?

?

?

7、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,

1 1 C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点

? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y P T v O M A x

r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

?

,则 sin ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ?

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

11、角三角函数的基本关系:

?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

13、函数

y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:

①振幅: ? ;②周期: ?

?

2?

?

;③频率:

f ?

1 ? ? ? 2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

函数

y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin

;当 x

? x2 时,取得最大值为 ymax ,

则??

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质

数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 当 时

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
x ? 2 k? ?


? ?1,1?
?k ? ??
; 当 当x

R

?
2

? 2k? ? k ? ? ? 时,

最 值

ymax ? 1

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周 期 性 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数

2?

2?

?



? ?? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2? ?


单 调 性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 ? 2 k? , 2 k? ? ? ?

在 ? k?

是增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对 称 性 对称轴 x

? k? , 0 ?? k ? ? ?
? k? ?







心 对称中心 ? 无对称轴

?
2

? k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k? ? k ? ? ?

第二章
16、向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量.

平面向量

数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量.

平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b
? ? ? ? ?b ?a ;
?



⑷运算性质:①交换律: a ? b

②结合律:

? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ?a

?

?

?

C
? a
? b

⑸坐标运算:设 a

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a

?

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?
? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a .

?

?

20、向量共线定理:向量 a 设a

? ? ? a?0

?

? . ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0

?

?共
?

线. 21、 平面向量基本定理: 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a 组基底) 22 、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是

?? ?? ?

?

?? ?? ? ?? ?? ? ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当

??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? ?1? ? ? ?? 2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 (当 ? ? 1 , 时,就为中点公式。) ?. 1? ? ? ? 1? ?
23、平面向量的数量积: ⑴ a ?b

? ?

? ? ? ? ? ? ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
;当 a

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a 与 b 反向时, a ? b ⑶运算律:① a ? b

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b
.③

?

?

? ?

? ? ??a b

;a ?a

? ?

? ?2 ? ? ? ? a2 ? a 或 a ? a ? a

? ? ? ? a ?b ? a b ?



? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b

?

?

? ? ? ? ? ? b ??c ? a ?c ? b ?c . ? ? ;③ ? a

?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a 若

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
,或

? a ? ? x, y ?

,则

?2 a ? x2 ? y 2

? a ? x2 ? y2

. 设

? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a?b? x 0. 1 x 2 ? y 1 y 2 ?


? a



? b

都 是 非 零 向 量 ,

? a ? ? x1 , y1 ?

2 2



? b ? ? x2 , y2 ?



?



? a



? b

的 夹 角 , 则

? ? x1 x2? y1 y2 a ?b c o? s? ? ? ? 2 a b x12 ? y 12 x ? 2 y

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ⑶ sin

?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

⑸ tan

?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ?

? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan

?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ?

? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴

sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? ) 2
⑵ cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos? ? 2 cos2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? ? 降幂公式 cos2 ? ? 2 2
⑶ tan 2?

,1 ? cos? ? 2 sin 2

?


?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



万能公式 : α α 2 tan 1 ? tan 2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2

26、 半角公式 :

α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; s in ? ? 2 2 2 2

α 1 ? cos α s inα 1 ? cos α tan ? ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α s in α(后两个不用判断符号,更加好用)
27 、 合 一 变 形

? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
? . ?

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? 2

的二倍;

? 2



? 4

的二倍;

② 15

o

? 45 o ? 30 o ? 60 o ? 45 o ?

30 o 2

;问: sin

?
12

?

; cos

?
12

?



③?

? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

⑤ 2?

? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“ 1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90 o ? tan 45 o

; (4)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊 值与特殊角的三角函数互化。

高中数学
(一)解三角形:

必修 5 知识点
a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

1、 正弦定理: 在 ???C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、? 、C 的对边, , 则有 ( R 为 ???C 的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ;

② sin ? ?

a b c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; , sin ? ? , sin C ? 2R 2R 2R
???C

3、三角形面积公式: S

?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2
2 2 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a

2bc

(二)数列:
? S1 , ( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2) 5.等差数列与等比数列对比小结:
等差数列 一、定 义 1. an ? a1 ? ? n ? 1? d 二、公 式 2. S n ? 等比数列

an ? an?1 ? d (n ? 2)

an ? q ( n ? 2) an ?1
1. an

? a1q n ?1

an ? am ? ? n ? m ? d , ? n ? m ?
n ? a1 ? an ? 2

an ? am q n ? m , (n ? m)
2 d
2.

? na1 ?

n ? n ? 1?

?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
2

1. a, b, c成等差 ? 2b ? a ? c , 三、性 质 称 b 为 a 与 c 的等差中项 2. 若 m?n ? , p ? q( m 、n 、p 、q ? ? ) 则 am ? an ? a p ? aq 3. S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n 成等差数列
*

1. a, b, c成等比 ? b 2. 若 m?n ?

? ac ,

称 b 为 a 与 c 的等比中项 , p ? q( m 、n 、p 、q ? ?* ) 则 am ? an ? a p ? aq 3. S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n 成等比数列

(三)不等式
1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a

? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; n n ⑧ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ?, n ? 1? .
⑥a

? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; n ⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ? , n ? 1? ;
n

小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商) 、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z

? ax ? by -----直线的截距;② z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 -----两点的距离或圆的半径;
a?b ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab . 2
? a?b? ; ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ? 2 ?
2

4、均值定理: 若 a

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
⑴若 x ? ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 y ? s (和为定值)

s2 . 4

⑵若 xy ?

,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . p (积为定值)

注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

选修 1-1,1-2 知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 2、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ?p ,则 ?q ” 逆否命题: “若 ?q ,则 ?p ” 3、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 4、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 5、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ?p . 逆命题: “若 q ,则 p ”

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

6、⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹称为椭圆. 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

顶点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹 称为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 || ? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.

4、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

渐近线方程

y??

b x a

y??

a x b

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为 抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

p? ? F ? 0, ? 2? ?

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 9、焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?
2

第三部分 导数及其应用
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

2、导数定义: f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y ?

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 线的斜率. 4、常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' x ' x n ?1

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ? ?

处的切


x

③ (sin x) ? cos x ;④ (cos x) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x '

⑦ (log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x) ? x ln a x

5、导数运算法则:

?1? ? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x? ? f ? x? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? ? 3? ? g ? x ? ? ? ? ? ? .
6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值.

第四部分
1.概念:

复数

(1) (2) (3) (4)

z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1?z2 = (a + b)? (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)〃(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
(3) z1÷z2 =
(a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? ac 2 ? i 2 (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论:

(1) (1 ? i) 2 ? ?2i ;⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i

(2) i 性质:T=4; i 4 n ? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n ?1 ? i 4? 2 ? i 4n ?3 ? 0;
注:Z 的模等于根号下平方 a 平方加 b 平方

高中数学选修 4-4 知识点总结 一 知识归纳总结: 1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极 轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系。 2.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 3.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 4. 极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , tan? ? y ( x ? 0) x

高中数学第十章-排列组合二项定理 . 二、排列. 1 排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! (m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! = 1
m m ?1 An ? nAn ?1

m m m m ?1 m m ?1 An? 1 ? A n ? A m ?C n ? A n ? mA n

0 规定 C n ?C n n?1

三、组合. 1. ⑴组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: C m n?
m

Am n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n ? m m! Am
n?m n;

Cm n?

n! m!(n ? m)!

⑶两个公式:① C n ?C

②C

m ?1 m m n ?C n ?C n ?1

⑷排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排” ,后者是“并成一组” ,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

⑸①几个常用组合数公式

0 1 2 n Cn ?C n ?C n ? ?? n n ?2
0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1 m m m m ?1 Cm n ?C m ?1 ?C m ? 2 ?C m ? n ?C m ? n ?1 k ?1 kCk n ? nC n ?1

1 1 ?1 Ck Ck n? n ?1 k ?1 n ?1
五、二项式定理.
0 n 0 1 n ?1 r n?r r n 0 n 1. ⑴二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1 项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n;

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ?1 项为: T r ?1?C n a
r n?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第
n ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; 2 n ?1 n ?1 项和第 它们的二项式系数 C ? 1 项, 2 2
n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n n

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1


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