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高二数学(理)试卷解析及答案


青铜峡一中 2017~2018 学年高二第二次月考 高二年级数学(理科)试卷 (150 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) ) B.若 a2>b2,则 a>b D.若 a< b,则 a<b

m 又渐近线方程为 y=±2x,∴ =4.∴m=32. 8 答案:D x2 y2 1 5.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( 2 m 2 )

1.下列命题正确的是 ( A.若 ac>bc,则 a>b 1 1 C.若 > ,则 a<b

A. 3
2

B.

3 2
2

C.

8 3 b2 1- 2= a

D.

2 3 m 1 3 1- = ,∴m= . 2 2 2

ab

c 解析:∵a =2,b =m,e= = a 答案:B

[解析] 对于 A,若 c<0,其不成立;对于 B,若 a、b 均小于 0 或 a<0,其不成立;对于 C, 若 a>0,b<0,其不成立;对于 D,其中 a≥0,b>0,平方后显然有 a<b. 选择:D 2.已知命题 p:3≥3,q:3>4,则下列判断正确的是( A.p∨q 为真,p∧q 为真,﹁p 为假 C.p∨q 为假,p∧q 为假,﹁p 为假 )

6.若点 P(a,1)在椭圆 + =1 的外部,则 a 的取值范围为( 2 3 ? 2 3 2 3? ? A.?- , 3 ? ? 3 ?4 ? C.? ,+∞? ?3 ?

x2 y2

)

B.p∨q 为真,p∧q 为假,﹁p 为真 D.p∨q 为真,p∧q 为假,﹁p 为假


? ? 2 3? ?2 3 ?∪? B.?-∞,- ,+∞? 3 ? ? 3 ? ? 4? ? D.?-∞,- ? 3? ?

【解析】 ∵p 为真命题,q 为假命题,∴p∨q 为真,p∧q 为假, p 为假,应选 D. 3.有下列四个命题: ①“命题:?x0∈R,使得 x0-x0+1≤0 的否定是:对?x∈R,都有 x -x+1>0”;
2 2

2 3 2 3 【解析】 因为点 P 在椭圆 + =1 的外部,所以 + >1,解得 a> 或 a<- ,故选 B. 2 3 2 3 3 3 【答案】 B

x2 y2

a2 12

②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;
2

x2 y2 7.已知 m,n∈R,则“m·n<0”是“方程 + =1 表示双曲线”的( m n
) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; A. ①② 【答案】C B. ②③ C. ①③

其中真命题为( D. ③④

解析: 选 C 若方程 + =1 表示双曲线, 则必有 m·n<0; 当 m·n<0 时, 方程 + =1 表示双曲线. 所 以“m·n<0”是“方程 + =1 表示双曲线”的充要条件. 8、当 a 为任意实数时,直线 ? 2a ? 3? x ? y ? 4a ? 2 ? 0 恒过定点 P ,则过点 P 的抛物线的标准方程是 (
1 A. x 2 ? 32 y 或 y 2 ? ? x 2 1 C. y 2 ? 32 x 或 x 2 ? ? y 2 【答案】C 1 x 2 1 D. y 2 ? ?32 x 或 x 2 ? y 2

【解析】 “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积相等”,为假; “若 q ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题与原命题真假相同,因为 q ? 1 时,
? ? 4 ? 4q ? 0 ,所以 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根,即原命题为真,因此其逆否命题为真;

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x2 y2 m n



“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等三角形不等边”,为假;因此选 C. x y 4.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=±2x,则实数 m 等于( 8 m
2 2

B. x2 ? ?32 y 或 y 2 ?

)

A.4

B.8

C.16

D.32

解析:由题意,得双曲线焦点在 x 轴上, 且 a2=8,b2=m,∴a=2 2,b= m.
-1-

【解析】将直线方程化为? 2a ? 3? x ? y ?4a ? 2 ? 0 ,可得定点 P ? 2, ? 8? ,①设抛物线 y 2 ? ax 代入点 P 可

求得 a ? 32 ,故 y 2 ? 32 x ;②设抛物线 x2 ? by 代入点 P 可求得 b ? ?

1 1 ,故 x 2 ? ? y 故选 C 2 2 9.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离

【答案】c
1 ? 3 4 ? 【解析】椭圆左焦点坐标为 F ? ?c,0? ,它关于直线 y ? ? x 的对称点为 P ? ? c, c ? , 2 ? 5 5 ?

为 3,则|OM|等于( A.2 2

) B.2 3 C.4 D.2 5

【解析】 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),

? 3 ? ?4 ? ?? c? ? c? 5 5 据此可得: ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 ,整理可得: 9b2c2 ? 16a 2c2 ? 25a 2b2 , a b
结合: b2 ? a 2 ? c2 整理可得: 9c4 ? 50a2c2 ? 25a4 ? 0 ,

2

2

p ?p ? 则焦点坐标为? ,0?,准线方程为 x=- , 2 ?2 ?
∵M 在抛物线上,∴M 到焦点的距离等于到准线的距离,即 2+ =3,p=2,抛物线方程为 y =4x, 2 ∵M(2,y0)在抛物线上,∴y2 0=8,
2 ∴|OM|= 22+y2 0= 2 +8=2 3.

p

2

即: 9e 4 ? 50e 2 ? 25 ? 0, ? e 2 ? 5 ?? 9e 2 ? 5 ? ? 0 ,
5 5 椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,则: e2 ? , e ? . 9 3

12.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,若当

【答案】 B
? x ? y ?1 ? 0 ? 10、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是(
A.(-1,0) ) B.(2,+∞)

) D.不能确定

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析 由 f(1-x)=f(1+x)知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,即 =1,解得 a=2. 2 又因为 f(x)开口向下,

a

A. ?2 【答案】C

B. 2

C. 3

D. 4

所以当 x∈[-1,1]时,f(x)为增函数, 所以 f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,

f(x)>0 恒成立,即 b2-b-2>0 恒成立,
【解析】解:作出约束条件 对应的平面区域如图: 由 z=3x﹣2y 得 y= x﹣ , 平移直线 y= x,经过点 A 时,直线 y= x﹣ 的截距最小,此时 z 最大. 由 ,解得 A(1,0) , 13.若命题 p 的否定是“对所有正数 x, x>x+1”,则命题 p 是________. 【答案】 ?x0∈(0,+∞), x0≤x0+1 【解析】 因为 p 是綈 p 的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可. x2 y2 14.已知双曲线 C: - =1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔,则实数 m 的取值范围是________. 4 m
x2 y 2 1 ? 2 ? 1 的左焦点为 F ,若点 F 关于直线 y ? ? x 的对称点 P 在椭圆 C 内, 则椭 2 2 a b



解得 b<-1 或 b>2. 答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

此时 zmax=3×1﹣0=3, 故选:C 11、已知椭圆 C :

解析:∵等轴双曲线的离心率为 2,且双曲线 C 的开口比等轴双曲线更开阔, x2 y2 4+m ∴双曲线 C: - =1 的离心率 e> 2,即 >2. 4 m 4 ∴m>4.
-2-

圆 C 的离心率的取值范围为(



A,

B,

C,

D,

答案:(4,+∞) 15 设双曲线
x2 y2 ? ? 1 ( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到直线的距离 a2 b2

3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为 3x2+4y2=48. y y (2)设点 M 的坐标为(x,y).由 AM⊥BM,得 kAM·kBM=-1,即 · =-1, x+a x-a 化简得 x2+y2=a2. 因为 M、A、B 三点不共线,点 M 的纵坐标 y≠0,

3 为 c ,则双曲线的离心率为 4

3 解:由已知,直线 L 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,由点到直线的距离公式,得 ? c, 2 2 4 a ?b
又 c 2 ? a 2 ? b 2 , ∴ 4ab ? 3c 2 ,两边平方,得16a 2 c 2 ? a 2 ? 3c 4 ,整理得 3e 4 ? 16e 2 ? 16 ? 0 , 得e 2 ? 4 或e 2 ?
4 c2 a2 ? b2 b2 ? 1 ? ? 2 ,∴ e 2 ? 4 ,∴ e ? 2 ,故选 A ,又 0 ? a ? b ,∴ e 2 ? 2 ? 2 2 3 a a a
2

ab

从而 x≠±a,所以所求轨迹方程为 x2+y2=a2(x≠±a).

答案:x2+y2=a2(x≠±a)

18. (1)已知 x>0,y>0.若 lgx+lgy=2,求 5x+2y 的最小值. 1 3 (2)已知 x,y∈R+,且 x+y=4,求 + 的最小值.

?

?

x y

解(1)由已知,得 x·y=100, 5x+2y≥2 10xy=2 103=20 10. ∴当且仅当 5x=2y= 103,即当 x=2 10,

16.-2≤k<-1 是方程 2(k+1)x +4kx+3k-2=0 的两根同号的 2 A.k<-1 或 k≥ 3 B.-2<k<-1 2 C.-2≤k<-1 或 <k≤1 3

条件 D.-2≤k≤1

y=5 10时,等号成立.
所以 5x+2y 的最小值为 20 10. (2)法一:∵x,y∈R+, ?1 3? ?y 3x? ∴(x+y)? + ?=4+? + ?≥4+2 3. ?x y? ?x y ?

解析:方程 2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 的两根同号的充要条件是:

? ? 3k-2 ?x x =2?k+1?>0 ? ?k≠-1
1 2

Δ =?4k?2-4×2?k+1??3k-2?≥0

y 3x 当且仅当 = ,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. x y
-2≤k≤1 ? ? 2 ??k<-1或k> 3 ? ?k≠-1 2 ?-2≤k<-1 或 <k≤1. 3 1 3 3 又 x+y=4,∴ + ≥1+ , x y 2 1 3 3 故 + 的最小值为 1+ . x y 2 法二:∵x,y∈R+,且 x+y=4, 1 3 x+y 3?x+y? ? y 3x? ∴+= + =1+? + ?≥1+2 x y 4x 4y ?4x 4y?

k +k-2≤0 ? ?3k-2 >0 ?? k+1 ? ?k≠-1
2

答案:C 三、解答题(本大题共 6 小题, 17 题 10 分,其余各 12 分;解答应写出求解演算步骤) 17. (1)一个动点 P 到直线 x=8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍,求动点 P 的轨迹方程. (2)已知点 A(-a,0)、B(a,0),a>0,若动点 M 与两定点 A、B 构成直角三角形,求直角顶点 M 的轨迹方 程? 解析: (1)设动点 P 坐标为(x,y),则动点 P 到直线 x=8 的距离 d=|x-8|,到点 A 的距离 |PA|= (x-2)2+y2, 由已知 d=2|PA|得: |x-8|=2 (x-2)2+y2,化简得:
-3-

y 3x 3 · =1+ . 4x 4y 2

y 3x 当且仅当 = ,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号, 4x 4y
1 3 3 故 + 的最小值为 1+ . x y 2 19.某玩具厂每天计划生产佩奇、乔治、小羊苏西这三种玩具共 100 个,生产一个佩奇需 5 分钟,生产一个乔 治需 7 分钟,生产一个小羊苏西需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个佩奇可获利润 5 元,生 产一个乔治可获利润 6 元,生产一个小羊苏西可获利润 3 元.

(1)试用每天生产的佩奇个数 x 与乔治个数 y 表示每天的利润 ω (元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 ω =5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)约束条件为 由 得(9﹣16k2)x2+96k2x﹣144(k2+1)=0, ∴双曲线 C 的标准方程为 (2)直线方程为 y=k(x﹣3)

?5x+7y+4(100-x-y)≤600, ?100-x-y≥0, ?x≥0,y≥0,x、y∈N. ?x+3y≤200, 整理得?x+y≤100, ?x≥0,y≥0,x、y∈N.
目标函数为 ω =2x+3y+300,作出可行域,如图所示,

①9﹣16k2=0,即 或 时,直线与双曲线有且仅有一个公共点, 2 ②9﹣16k ≠0, ∴△=(96k2)2+4×144(9﹣16k2)(k2+1)=0, 2 ∴7k ﹣9=0, ∴ 或 (

综上所述,







. 2 ,直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两 2

考点:双曲线标准方程的求解和直线与曲线的位置关系 21.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值及直线方程. 3

x2 y2 a b

【解】
e? 5 4

?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ?a =b +c ,
a=2,
2 2 2

20、已知双曲线 C 的顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是 8,离心率

(1)求双曲线 C 的标准方程; (2)过点 P(3,0)且斜率为 k 的直线与双曲线 C 有且仅有一个公共点,求 k 的值 【答案】 (1)
x y 3 3 3 7 3 7 ? ? 1 (2) k ? 或 k ? ? 或 k ? 或k ? ? . 4 4 16 9 7 7
2 2

解得 b= 2, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

试题解析:(1)设双曲线 C 的标准方程为 ∴2a=8, 所以 a=4,c=5,b=3,
-4-

?y=k?x-1?, (2)由?x y ? 4 +2 =1,
2 2

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0, 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

4k2 2k2-4 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = , 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离

所以 C 的方程为 y2=4x.

依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0).

代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 1 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3.

m

d=

|k| , 1+k2

4 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.

m

1 |k| 4+6k2 所以△AMN 的面积为 S= |MN|·d= , 2 1+2k2 |k| 4+6k2 10 由 = , 2 1+2k 3 化简得 7k -2k -5=0,解得 k=±1.所以直线方程为??
4 2

4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,

m

y3y4=-4(2m2+3).
2? ?2 2 故 MN 的中点为 E? 2+2m +3,- ?, m? ?m |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1+ 2|y3-y4|= . 2 1

N 两点, 22. (1) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) , 过其焦点作斜率为1 的直线l 交抛物线 C 于 M 、 且 MN ? 16 .
2

m

m

求抛物线 C 的方程; 5 (2)抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一 圆上,求 l 的方程.
P ? P? 解: (1)设抛物线的焦点为 F ? 0, ? ,则直线 l : y ? x ? , 2 ? 2?

1 由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4 2?2 ? 2 ?2 ? 4(m2+1)2+?2m+ ? +? 2+2? m? ?m ? ? 4(m2+1)2(2m2+1) = . 4

m

化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.

P 2 2 由{ ? y1 ? y 2 ? 3p , 2 ,得 x ? 2 py ? p ? 0 ? x1 ? x2 ? 2p , 2 x ? 2 py y ? x?

所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

? MN ? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16,? p ? 4 ? 抛物线 C 时,方程 x2 ? 8 y
8 (2)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= .

p

8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p

p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p
-5-


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