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面对高考初高中数学衔接教材


初高中数学衔接教材
乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

第一讲

因式分解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应 了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成- 1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项, 所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) .

x y

-1 1

图 1.1-5


一、填空题: 1、把下列各式分解因式:
2 2

题 一

(1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。 (2) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2

(4) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。
2

(8) 4m ? 12m ? 9 ? __________________________________________________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? __________________________________________________。
2

(10) 12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? __________________________________________________。

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x 2 ? 4 x ?
2
2 2

?

,b ? 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2 2



1、在多项式(1) x ? 7 x ? 6 (2) x ? 4 x ? 3 (3) x ? 6 x ? 8 (4) x ? 7 x ? 10 (5) x ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2)(3)和(4)(3)和(5) ; ;
2

2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A 、 ?a ? 11??a ? 3? B 、 ?a ? 11b??a ? 3b?
2 2

?a ? 11b??a ? 3b? 2 3、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得( ) A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10? D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5? 2 4、若多项式 x ? 3x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是(
A、 a ? 10 , b ? 2

C 、 ?a ? 11b??a ? 3b?

D、

) D、 a ? ?10 , )

5、若 x ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为(
2

b?2

B、 a ? 10 , b ? ?2

C、 a ? ?10 , b ? ?2

A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 三、把下列各式分解因式 1、 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2

D、 ? 3 或 ? 9 2、 a ? 5a b ? 6ab
3 2 2

3、 2 y ? 4 y ? 6
2

4、 b ? 2b ? 8
4 2

第二讲

一元二次方程

若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ? x2 ?
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1·2= .这一 x a a

关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦 达定理可知 x1+x2=-p,x1·2=q, x 即 p=-(x1+x2),q=x1·2, x 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x 2 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·2=0.因此有 x 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0. x 例 1 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出 另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由两 根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 2+k× 2 2-6=0, ∴k=-7.
2

所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k 的值为-7. 5 6 3 ,∴x1=- . 5 5

解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=-

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5
由 (- 例2 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根 的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的 方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根, 因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得

x1+x2=-2(m-2),x1·2=m2+4. x 2 2 ∵x1 +x2 -x1·2=21, x ∴(x1+x2)2-3 x1·2=21, x 即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 293<0,不合题意,舍去. 1× 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的 范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的 值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是 否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例 3 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4, ① xy=-12. ② 由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ∴?

? x1 ? ?2, ? y1 ? 6,

或?

? x2 ? 6, ? y2 ? ?2.

因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法 一简捷.








A 组 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 3. 试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实 数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B 组 1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1) x + k + 1 = 0 的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 k 的 值 为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2 +2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2 -mn 的值等 于 . (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值 是 . 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直 角三角形的斜边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9 ( (D) )

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
3 2

(C)3

(3)如果关于 x 的方程 x2-2(1-m)x+m2=0 有两实数根 α,β,则 α+β 的取值范围为 ( ) (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

(4)已知 a,b,c 是 ΔABC 的三边长,那么方程 cx2+(a+b)x+

c =0 的根的情况是 4
( )

(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 2 3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- 在,说明理由;

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x (3)若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值. x2
(2)求使

第三讲

三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的 内部,恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 证明 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G,

1 B E AE 则 且 E Q D、 分别为 BC、 的中点, DE//AB, D = A , 2
\ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,

\ AG = 2GD, BG = 2GE .
设 AD 、 CF 交 于 点 G' , 同 理 可 得 ,

AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F.
则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相 等.

例 2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,且 I

在 V ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF = 证明 作 V ABC 的内切圆, D、E、F 分别为内切圆在 则 三边上的切点,

b+ c- a . 2

Q AE , AF 为 圆 的 从 同 一 点 作 的 两 条 切 线 ,
\ A E= A F ,
同理,BD=BF,CD=CE.

\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE
即 AE = AF =

b+ c- a . 2

例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.

已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图,连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC ,

\

AB BD = (角平分线性质定理) AC DC

D 即 Q O 为三角形的重心, 为 BC 的中点, BD=DC. AB \ = 1 ,即 AB = AC . AC 同理可得,AB=BC. \ V ABC 为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定 在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.



题 三

1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.

2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆的半 径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的 半径是___________. 并请说明理由.

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