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面对高考初高中数学衔接教材


初高中数学衔接教材
乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

第一讲

因式分解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应 了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成- 1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项, 所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) .

x y

-1 1

图 1.1-5


一、填空题: 1、把下列各式分解因式:
2 2

题 一

(1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。 (2) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2

(4) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。
2

(8) 4m ? 12m ? 9 ? __________________________________________________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? __________________________________________________。
2

(10) 12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? __________________________________________________。

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x 2 ? 4 x ?
2
2 2

?

,b ? 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2 2



1、在多项式(1) x ? 7 x ? 6 (2) x ? 4 x ? 3 (3) x ? 6 x ? 8 (4) x ? 7 x ? 10 (5) x ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2)(3)和(4)(3)和(5) ; ;
2

2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A 、 ?a ? 11??a ? 3? B 、 ?a ? 11b??a ? 3b?
2 2

?a ? 11b??a ? 3b? 2 3、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得( ) A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10? D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5? 2 4、若多项式 x ? 3x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是(
A、 a ? 10 , b ? 2

C 、 ?a ? 11b??a ? 3b?

D、

) D、 a ? ?10 , )

5、若 x ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为(
2

b?2

B、 a ? 10 , b ? ?2

C、 a ? ?10 , b ? ?2

A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 三、把下列各式分解因式 1、 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2

D、 ? 3 或 ? 9 2、 a ? 5a b ? 6ab
3 2 2

3、 2 y ? 4 y ? 6
2

4、 b ? 2b ? 8
4 2

第二讲

一元二次方程

若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ? x2 ?
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1·2= .这一 x a a

关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦 达定理可知 x1+x2=-p,x1·2=q, x 即 p=-(x1+x2),q=x1·2, x 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x 2 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·2=0.因此有 x 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0. x 例 1 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出 另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由两 根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 2+k× 2 2-6=0, ∴k=-7.
2

所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k 的值为-7. 5 6 3 ,∴x1=- . 5 5

解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=-

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5
由 (- 例2 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根 的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的 方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根, 因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得

x1+x2=-2(m-2),x1·2=m2+4. x 2 2 ∵x1 +x2 -x1·2=21, x ∴(x1+x2)2-3 x1·2=21, x 即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 293<0,不合题意,舍去. 1× 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的 范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的 值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是 否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例 3 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4, ① xy=-12. ② 由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ∴?

? x1 ? ?2, ? y1 ? 6,

或?

? x2 ? 6, ? y2 ? ?2.

因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法 一简捷.








A 组 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 3. 试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实 数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B 组 1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1) x + k + 1 = 0 的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 k 的 值 为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2 +2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2 -mn 的值等 于 . (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值 是 . 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直 角三角形的斜边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9 ( (D) )

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
3 2

(C)3

(3)如果关于 x 的方程 x2-2(1-m)x+m2=0 有两实数根 α,β,则 α+β 的取值范围为 ( ) (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

(4)已知 a,b,c 是 ΔABC 的三边长,那么方程 cx2+(a+b)x+

c =0 的根的情况是 4
( )

(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 2 3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- 在,说明理由;

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x (3)若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值. x2
(2)求使

第三讲

三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的 内部,恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 证明 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G,

1 B E AE 则 且 E Q D、 分别为 BC、 的中点, DE//AB, D = A , 2
\ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,

\ AG = 2GD, BG = 2GE .
设 AD 、 CF 交 于 点 G' , 同 理 可 得 ,

AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F.
则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相 等.

例 2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,且 I

在 V ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF = 证明 作 V ABC 的内切圆, D、E、F 分别为内切圆在 则 三边上的切点,

b+ c- a . 2

Q AE , AF 为 圆 的 从 同 一 点 作 的 两 条 切 线 ,
\ A E= A F ,
同理,BD=BF,CD=CE.

\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE
即 AE = AF =

b+ c- a . 2

例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.

已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图,连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC ,

\

AB BD = (角平分线性质定理) AC DC

D 即 Q O 为三角形的重心, 为 BC 的中点, BD=DC. AB \ = 1 ,即 AB = AC . AC 同理可得,AB=BC. \ V ABC 为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定 在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.



题 三

1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.

2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆的半 径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的 半径是___________. 并请说明理由.

In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel


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