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高中函数奇偶性经典习题


评卷人

得分 一、选择题(每题 5 分,共 40 分)

1.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当

5? ? ?? x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? cos x ,则 f ( ) 的值为 3 ? 2?
A. ?
3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2
x

2.偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1),且当 x∈[-1,0]时,f(x)=3 + 则 f( log 1 5 )的值等于(
3

4 , 9

) C.

A.-1

B.

29 50

101 45

D.1 )

2 3.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是 (

?

?

4 . 设 f ?x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ?x ? ? x . 若 对 任 意 的
2

x ? ?a, a ? 2? ,
不等式 f ? x ? a ? ? f A. a ? 0 5.函数 f(x)=

? 2 x ?恒成立,则实数 a 的取值范围是(
2
C. a ?

)

B. a ?

2


D. a ? 0

1 的最大值是( 1 ? x (1 ? x )
B.

A.

4 5

5 4

C.

4 3

D.

3 4

6. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数,当 x ? (0, ) 时,

3 2

f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ,则函数 f ( x) 在区间 [0, 6] 上的零点个数是(
A.3 B.5 C.7 D.9



5 f ( x) x f ( x) ? 2x ?1 ? x ? f ( ? ) 2 1 1 1 1 ? ? 2 4 4 2
试卷第 1 页,总 3 页

lg(1 ? x 2 ) 8..若函数 f ( x) ? 是偶函数,则常数 a 的取值范围是( | a ? x | ?x
A. a ? 1或a ? ?1 B. a ? 1
2

) D. 0 ? a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1

9.已知 a 为参数,函数 f ( x) ? ( x ? a)3x?2?a ? ( x ? a)38? x?3a 是偶函数,则 a 可取值的 集合是 A.{0,5} ( B.{-2,5} ) C.{-5,2}

D.{1,2009}

10.已知 y ? f ( x) 是偶函数,而 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,且对任意 0 ? x ? 1 ,都有

5 1 ) f ( x) ? 0 ,则 a ? f (2010), b ? f ( ), c ? ? f ( ) 的大小关系是( 4 2 A. b ? c ? a B. c ? b ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c

评卷人

得分 二、填空题(每题 6 分,共 36 分)

x ( x ? ?1) ,使得 f ( x0 ) =0,则 a 的 11.已知 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在[-1,1]上存在 0 0
取值范围是__________________;
2 12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2x ? x ,则 f (1) ?

.

13. 函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, f (?1) ? 0 , 且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f (0) ? f ( ) ? f (1) ? ? ? f ( 14.若 f ( x ) ?

1 2

2011 ) 的值是 2

1 ? a 是奇函数,则实数 a ? 3 ?1
x

15.若函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2

16.若 f ( x) ? lg(

2x ? a)( a ? R) 是奇函数,则 a= 1? x
2

. ;

17. 对于偶函数 f ( x) ? mx ? (m ? 1) x ? 2

x ?[?2,2] ,其值域为

评卷人

得分 三、解答题(15-18 题每题 11 分;19、20 各 15 分;共 74 分)

18.已知 f ( x) ? lg

1? x . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性;

试卷第 2 页,总 3 页

(3)若 ?

1 1 ? a ? ,试比较 f (a) ? f (?a) 与 f (2a) ? f (?2a) 的大小. 2 2

19. (本小题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? ⑴求函数 f ( x ) 的解析式; ⑵判断并证明函数 f ( x ) 的单调性;

?2 x ? b 是奇函数 2 x ?1 ? a

⑶若对于任意的 t ? R ,不等式 f (mt 2 ? 2t ) ? f (1 ? t 2 ) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围. 20. (本小题 12 分)

f ( x) ?
已知函数

b 5 ?1 f (2) ? (a ? 0, a ? 1, b ? R) 是奇函数,且 a ?1 3
x

(1)求 a , b 的值; (2)用定义证明 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是减函数. 21 . 已 知 :

f ? x ? 是 定 义 在 区 间 ??1,1? 上 的 奇 函 数 , 且 f ?1? ? 1 . 若 对 于 任 意 的
f ? m ? ? f ?n ? ? 0. m?n

m, n ???1,1? , m ? n ? 0 时,都有
(1)解不等式 f ? x ?
2

? ?

1? ? ? f ?1 ? x ? . 2?

(2)若 f ? x ? ? t ? 2at ?1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,求实数 t 的取值范围 22.(本小题满分 14 分) 已知奇函数

f ( x) ?

qx ? r px 2 ?1

有最大值 2 , 且

1

2 f (1) ? 5 , 其中实数 a ? 0, b 是正整数.

求 f ( x ) 的解析式; 令

an ?

1 f ( n)

, 证明

an?1 ? an ( n 是正整数).

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析: 根据题意, 由于定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数又是周期函数, 且可知 f ( x) 的 最 小 正 周 期 是 , 那 么 可 知

f(

2? 2? 2? 2? ? ? 1 5? ) f( ) f(- ) (? - ) =-f =-f( ) =- cos ? ? ,故可知答 = =) f(? + 3 = 3 3 3 3 3 3 2

案为 C 考点:函数的奇偶性以及周期性 点评:主要是考查了函数的性质的运用,属于基础题。 2.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1), ,说明函数的周期 为 2 , f(-x)=f(x) 当 x ∈ [ - 1,0] 时 , f(x) = 3 +
x

4 , 则 对 于 log 1 5=-log 3 5 , 9 3

f( log 1 5 )=f(2+ log 1 5 )=f(2- log3 5 )=3
3 3

log 3 5



4 =1 故可知答案为 D. 9

考点:函数的奇偶性 点评:主要是考查了函数的奇偶性以及函数解析式的运用,属于基础题。 3.A 【解析】由于函数为偶函数又过(0,0)所以直接选 A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题. 4.B 【解析】 试题分析:利用“排除法” 。a=0 时, f ( x ? a) ? f ( x) ? x2 , f ( 2x) ? 2 x2 , x ? [0, 2] 不等 式 f ?x ? a ? ? f a=1 时 ,

? 2 x ?不恒成立;排除 A,D。
f ( x ? a) ? f ( x ?1) ? ( x ?1)2 , f ( 2x) ? 2x2 , , x ? [ 1 , 3 ]不 等 式

f ?x ? a ? ? f

? 2 x ?不恒成立,排除 C,故选 B。

考点:函数的奇偶性,二次函数的图象和性质。 点评:中档题,本题综合考查函数的奇偶性,二次函数的图象和性质,利用“排除法” ,简 化了解题过程。 5.C 【解析】因为函数 f(x)=

1 1 ? 2 ,利用二次函数的性质可知,分母的最 1 ? x(1 ? x) x ? x ? 1

小值为

3 4 ,那么所求的最大值是 ,选 C 4 3
答案第 1 页,总 7 页

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6. D 2 2 【 解 析 】 ∵当 x∈(0,1.5)时 f(x)=ln(x -x+1) ,令 f(x)=0,则 x -x+1=1, 解得 x=1,又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴在区间∈[-1.5,1.5]上,f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0. ∴f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5) , ∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0 又∵函数 f(x)是周期为 3 的周期函数, 则方程 f(x)=0 在区间[0,6]上的解有 0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6, 共 9 个. 7. (A) 【解析】 ? f ( x) 是周期为 2 的奇函数,? f (? ) ? ? f ( ) ? ? f (2 ? ) ? ? f ( ) 又,当 0≤ x ≤1 时, f ( x) ? 2x ?1 ? x ? ,

5 2

5 2

1 2

1 2

5 1 1 1 1 ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2
故选(A) 8.B 【解析】 9.C 【解析】 10.A 【解析】 11. (

1 ,+∞)U(-∞,1) 5

【解析】

x ( x ? ?1) ,使得 试题分析:根据题意,由于 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在[-1,1]上存在 0 0
2a-1 2a-1 f ( x0 ) =0, ? ?1,a 那么可知 3ax+1-2a=0,x= ,在区间[-1, 1]上, 则根据题意, 1 ? 3 3 1 的取值范围是( ,+∞)U(-∞,1) 。 5
考点:函数的零点 点评:主要是考查了函数零点的运用,属于基础题。 12.3 【解析】 试题分析:因为, f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 所以, f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3
2

考点:函数的奇偶性

f 点评:简单题,奇函数应满足:定义域关于原点对称, (-x)=-f(x)。
13.0
答案第 2 页,总 7 页

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【解析】 试题分析:根据题意,函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数从 xf(x+1)=

1 5 3 )=0, 再由 f( )=f( +1) 2 2 2 1 1 1 1 依此求解. 即又 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) , x=- ,可知 f( 令 )=0, ∵f( )= f( ), 2 2 2 2 5 3 依 次 可 知 赋 值 得 到 f( )=f( +1)=0 , 由 于 f(1)=0-f(-1), 那 么 可 知 2 2 1 2011 f ( 0 ? f ( ? f) ? ? ?) f ) (1 ( ) 的值为 0. 2 2
(1+x) f (x) 结构来看, 要用递推的方法, 先用赋值法求得 f( 考点:函数奇偶性和递推关系式 点评: 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值, 这类问题关键是将条件和结 论有机地结合起来,作适当变形,把握递推的规律. 14. ?

1 2

【解析】 试题分析: 因为 f(x)=0 且定义域为 R, 所以 f(0)=0, 所以 f(0)= 考点:本题考查奇函数的性质。 点评:若 f (x) 是奇函数,且在 x=0 时有定义,则 f (0) 一定为 0.做题时一定要灵活应用此 性质。 15.0 【解析】因为函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,那么利用定义可知 a=0.
2

1 1 ? a ? 0, 所以 a ? - 。 2 3 ?1
0

16.-1 【解析】本题考查了函数的奇偶性。 解:? f (x) 为奇函数

? f (? x) ? ? f ( x) 即: lg(

? 2x 2x ? a) ? ? lg( ? a) 1? x 1? x a ? (a ? 2) x a ? (a ? 2) x ?1 ? lg( ) ? lg[ ] 1? x 1? x

?

a ? (a ? 2) x 1? x ? 即 (1 ? x) ? (1 ? x) ? [a ? (a ? 2) x] ? [a ? (a ? 2) x] 1? x a ? (a ? 2) x

?1 ? x 2 ? a 2 ? (a ? 2) 2 x 2
? 2 ?a ? ?1 ?a ? 1 ?? 解得: ? 2 ?(a ? 2) ? 1 ?a ? ?1或a ? ?3 ?

? a ? ?1

答案第 3 页,总 7 页

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17. [?2,2] 【解析】 18. (-1,1) (1) (2)奇函数(3)当 0 ? a ?

1 时, f (2a) ? f (?2a) > f (a) ? f (?a) ; 2

当 a ? 0 时, f (2a) ? f (?2a) = f (a) ? f (?a) ; 当?

1 ? a ? 0 时, f (2a) ? f (?2a) < f (a) ? f (?a) 2

【解析】 试题分析:解(1)函数 f ( x ) 的定义域为(-1,1) . (2)∵ f (? x) ? lg ∴ f ( x ) 是奇函数. (3)设 1 ? x2 ? x1 ? ?1 ,则

1? x 1? x ? ? lg ? ? f ( x) , 1? x 1? x

1 ? x2 1 ? x1 x1 ? x2 2 2 ? ? (?1 ? ) ? (?1 ? )?2 ? 0, 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
∴0 ?

1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? ? lg ,∴ lg ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1

∴函数 f ( x ) 在(-1,1)上是减函数. 由(2)知函数 f ( x ) 在(-1,1)上是奇函数, ∴ f (a) ? f (?a) = 2 f (a) , f (2a) ? f (?2a) ? 2 f (2a) , ∴当 0 ? a ?

1 时, 2a ? a ,则 f (2a) > f ( a ) ,∴ f (2a) ? f (?2a) > f (a) ? f (?a) ; 2

当 a ? 0 时, f (2a) ? f (?2a) = f (a) ? f (?a) ; 当?

1 ? a ? 0 时, f (2a) ? f (?2a) < f (a) ? f (?a) . 2

考点:对数函数 点评:函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助。

?2 x ? 1 19. (1) f ( x) ? x ?1 (2)减函数,证明见解析(3) m ? 2 2 ?2
【解析】 试题分析:⑴∵ f ( x ) 为奇函数,? f (0) ? 0, f (?1) ? ? f (1)

答案第 4 页,总 7 页

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1 ? ?b ?1 ? b ?2 ? b ? 0, 2 ?? 即 a ? 2, b ? 1. 2?a 1? a 4 ? a , 解得
所以 f ( x) ? 分 ⑵ f ( x) ? ?

?2 x ? 1 ,检验得 f (? x) ? ? f ( x) ,满足条件. 2 x ?1 ? 2

?4

2x ? 1 1 1 ? x ? 为 R 上的减函数 x 2(2 ? 1) 2 ? 1 2

证明:设 x1 ? x2



1 1 2x2 ? 2 x1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? 2 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
? x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , (2x ? 1) ? 0
1

∵ x1

(2x2 ? 1) ? 0

?

2 x2 ? 2 x1 ?0 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)



f ( x1 ) ? f ( x2 )
?8 分

? f ( x) 为减函数
⑶∵ f (mt 2 ? 2t ) ? f (1 ? t 2 ) ? 0 , ? f (mt 2 ? 2t ) ? ? f (1 ? t 2 ) ∵ f ( x ) 为奇函数,?? f (1 ? t 则 f (mt ? 2t ) ? f (t ?1) .
2 2

2

) ? f (t 2 ?1) ,

又 f ( x ) 为减函数 ? mt

2

? 2t ? t 2 ? 1

即 ? m ?1? t ? 2t ?1 ? 0 恒成立,
2

m ? 1 时显然不恒成立,
所以 ?

m ?1 ? 0 ?4 ? 4(m ? 1) ? 0 ?

?m ? 2

?14 分

考点:本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,利用函数的单 调性求解抽象不等式以及恒成立问题. 点评:如果奇函数在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0, 这一性质在解题时可以简化运算,特别 好用, 另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简, 尽量不要用已知函数的单调性来 判断未知函数的单调性.解抽象不等式,关键是利用单调性“脱去”外层符号,得出具体的 不等式,这一过程中要注意定义域是否有影响. 20. (1) a ? 2, b ? 2. ; (2)见解析。

答案第 5 页,总 7 页

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【解析】

b 5 b 2 ? 1 ? ,所以 2 ? ① ?? 2分 a ?1 3 a ?1 3 b 5 b ? 1 是奇函数,所以 f (?2) ? ?2 ? 1 ? ? f (2) ? ? , 因为函数 f ( x) ? x a ?1 3 a ?1
试题分析: (1)由题意知, f (2) ?
2

所以

ba 2 8 ?? 2 1? a 3

② ?? 4分

由①②可得 a ? ?2 ( a ? ?2 舍去) ,所以 a ? 2, b ? 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得

?? 6分

f ( x) ?

2 ? 1 , 设 0 ? x1 ? x2 ? ?? , 则 2 ?1
x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (
??9分

2 2 ? 1) ? ( x2 ? 1) x1 2 ?1 2 ?1

?

1 2(2 x2 ? 1) ? 2(2 x ? 1) 2 x ?1 ?2 2 x ?1 ? x 1 x 2 (2 x1 ? 1)(2 x ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1)

1 2

因为 0 ? x1 ? x2 ? ?? ,且 y ? 2 在 (0, ??) 为增函数,
x

所以 2 1 ? 1 ? 0, 2 2 ? 1 ? 0 , 2
x x

x2 ?1

? 2x1 ?1 ,所以

2 x2 ?1 ? 2 x1 ?1 ? 0, (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
??12分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x ) 在区间 ? 0,??? 上是减函数

考点:本题主要考查利用函数的奇偶性求参数值及利用定义证明函数的单调性. 点评:已知一个函数为奇函数,如果 f (0) 有意义,则 f (0) ? 0 ,这个条件非常好用,常常 能使运算变得非常简单;用定义法证明函数单调性时,要严格按照函数单调性的定义,遵循 设变量、作差、变形、判断符号、下结论等步骤进行证明,另外需要注意的是变形时要化到 最简单的形式,不要用已知函数的单调性来证明未知函数的单调性.用定义法证明函数的单 调性是一个非常重要的考点,学生应该注意牢固掌握,灵活应用. 21.(1)令 m ? x1 , n ? ? x2 则有

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 ? 0. x1 ? x2 x1 ? x2

当 x1 ? x2 时,必有 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是增函数

1? ? ? f ? x ? ? ? f ?1 ? x ? 2? ?

1 ? ??1 ? x ? 2 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? x ? ? 1? x 2 ?

解之 0 ? x ?

1 4

所求解集为 ?0, ?
答案第 6 页,总 7 页

? 1? ? 4?

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(2) ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是增函数, ? f ? x ?max ? f ?1? ? 1 又对于所有 x ???1,1? , a ???1,1? , f ? x ? ? t ? 2at ?1 恒成立
2

? t 2 ? 2at ? 1 ? 1 ,即 t 2 ? 2at ? 0 在 a???1,1? 时恒成立
记 g ? a ? ? ?2at ? t ,则有 ?
2

? g ? ?1? ? 0 ?t 2 ? 2t ? 0 ? 即? 2 ? g ?1? ? 0 ?t ? 2t ? 0 ?

解之得, t ? ?2 或 t ? 0 或 t ? 2

?t 的取值范围是 ? ??, ?2? ??0? ? ?2, ???
【解析】略 22. (1)

f ( x) ? x2x?1

(2)证明略 【解析】(1) 由奇函数 f (? x) ? ? f ( x) 可得 r ? 0 , x > 0 时,由
2

--- 2 分

f ( x) ?

qx px 2 ?1

?
1 2

q px ? 1 x

?

q 2 p

?

1 2

① 以及

f (1) ?

q p ?1

2 ?5



--- 4 分

可得到 2q ? 5q ? 2 ? 0 , (2) 则由

x ? q ? 2 , 只有 q ? 1 ? p , ∴ f ( x) ? x2 ?1 ; --- 2 分

an ?

1 f ( n)

? n n?1 ? n ? 1 n
2

,

--- 2 分

1 an?1 ? an ? (n ? 1 ? n1 1 ) ? (n ? 1 ) ? 1 ? n( n?1) ? 0 n ? n ( 是正整数),

可得所求证结论.

--- 4 分

答案第 7 页,总 7 页


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