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1.1集合的概念与运算


澄海中学 2012-2013 学年度第二学期高二文数期末复习

1.1 集合的概念与运算
第一部分:基本知识 1.对于一个给定的集合,它的元素应具有确定性、互异性、无序性 2.集合的分类:①按元素个数分:有限集,无限集;②按元素特征分:数集,点集。 特别地,数集{x|y=f (x)}表示函数 y=f (x)的定义域,数集{y|y=f (x)}表示函数 y=f (x)的值域, 点集{(x,y)| y=f (x)}表示函数 y=f (x)的图像; 3.集合的表示法:①列举法; ②描述法;③图示法;④区间法。 常用集合符号: 自然数集 N、正整数集 N *或N? 、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、复数集 C 4.元素与集合的关系: 若 a 是集合 A 中的元素,则记为 a ? A ,若 b 不是集合 A 中的元素,则记为 b ? A 5.集合与集合的关系:若 A、B 是两个集合,则 A 是 B 的子集记为 A ? B,A 是 B 的真子集记为 A ? B,A、B 相等记为 A=B。 ? 注意:①任何一个集合都是它本身的子集,记为 A ? A; ②空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集; ③如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B;如果 A ? B , B ? C ,则 A ? C . ④n 个元素的集合有子集 2n 个,真子集 2n-1 个,非空真子集 2n-2 个. 6.集合的运算:若设 U 为全集,A、B 是 U 的子集,则 A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},CUA={x|x∈U,且 x ? A} 第二部分:典型例题:

2 例 1、设 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,已知 A ? B ? ?9? ,求实数 a 的值。

?

?

解:∵ A ? B ? ?9?

∴ 2a ?1 ? 9或a2 ? 9 ,解得 a ? 5或a ? ?3

又∵当 a ? 5 时, 1 ? a ? ?4 ,此时 A ? B ? ?9? ,故不合题意,应舍去 当 a ? 3 时, a ? 5 ? 1 ? a ? ?2 ,也不合题意,应舍去 当 a ? ?3 时, A ? ??4, ?7,9? , B ? ?9, ?8,4? 满足题意 ∴实数 a 的值是 ?3

1 x } ,则 M ? N ? (0, ??) ; x 2 (2)若集合 M ? {( x, y) | y ? 2 x ? 3}, N ? {( x, y) | y ? x }, M ? N ? {(3,9), (?1,1)} ;
例 2、 (1)若集合 M ? {x | y ? }, N ? { y | y ?

m?4 x?3 ? Z },B={x| ? Z } ,则 A∩B=____ ? ___。 2 2 ? ?2x-2 ? ? ? <1 ?. 例 3、已知集合 A={x||x-2|<a,a>0},集合 B=?x? x+3 ? ? ? ? ?
(3)已知 A={ m | (1)若 a=1,求 A∩B; (2)若 A ? B,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,|x-2|<1,解得 1<x<3.则 A={x|1<x<3}. 2x-2 由 <1,得-3<x<5, 则 B={x|-3<x<5}. x+3 所以 A∩B={x|1<x<3}. (2)由|x-2|<a(a>0),得 2-a<x<2+a.
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?2-a≥-3, ? 若 A ? B,则?2+a≤5, ?a>0, ?

解得 0<a≤3.

所以实数 a 的取值范围是{a|0<a≤3}. 第三部分:强化训练: 1.下列关系式中正确的是( A ) (A) ? ? ??? (B) 0????

(C)0 ? ???

(D)0 ? ???

2.已知集合 A ? ?1, 2, m? , B ? ?3, 4? , A ? B ? ?1, 2,3, 4? ,则 m ? ( D ) A.0 B.3 3.下列命题正确的是( D ) A、任何一个集合都至少有两个子集 C、空集是任何集合的真子集 C.4 D.3 或 4

B、任何一个集合都是它本身的真子集

D、集合 A ? x x ? 2 x ? 1 ? 0 有且仅有两个子集
2

4.定义集合运算: A ? B ? z z ? xy , x ? A, y ? B .设 A ?

?

?

?

?

?1, 2? , B ? ?0, 2? ,则集合
D.6

A ? B 的所有元素之和为
A.0

( D B.2

) C.3

2 5.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|1- <0},Q= x {x||x-2|<1},那么 P-Q 等于( B ) A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 6.已知集合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 2 , N ? x a ? x ? 6 则 a ? b ? (D) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

?

?

?

?

,且 M ? N ? ? 2, b ? ,

7.设全集 U = Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5,6},则下图中阴影部分表示 的集合是 __ ; ?2,4,6?
2 8.已知集合 A ? x | x ? x ? 6 ? 0 ,

?

?

B ? ?x | mx ?1 ? 0? ,且 A ? B ? A ,
1 1 , 0, } 2 3 9.已知集合 A ? {x | 2 ? x ? 9} ,集合 B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 3} ,若 B 是非空集合, 且 B ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围。 解:∵B ? ( A ? B) ∴ B ? A
则实数 m 的值可能是____________ ; {? 又∵B 是非空集合

? 2a ? 3 ? a ? 1 ? ∴ ? 2a ? 3 ? 9 ?a ? 1 ? 2 ?

解得 4 ? a ? 6

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∴实数 a 的取值范围是 (4, 6] 10.已知函数 f ( x) ?

2 ? x2 的定义域是集合 A,函数 g ( x) ? lg[ x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ] x 2 ?1

的定义域是集合 B,其中常数 a ? R . (1)求集合 A,B(用区间形式表示); (2)若 A 解:(1) A ? {x |

?B ? A ,求 a 的取值范围.

2 ? x2 x2 ? 2 ? 0} ? {x | 2 ? 0} ? {x | 1 ? x 2 ? 2} , x2 ? 1 x ?1

所以 A ? [? 2 ,?1) ? (1, 2 ]

B ? {x | x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ? 0} ? {x | ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0}
所以 C ? (??, a ) ? (a ? 1,??) (2) A

?B ? A ? A ? B

?a ? ?1 ? a ? 2 ,或 a ? 1 ? ? 2 ,或 ? ?a ? 1 ? 1

? a ? 2 ,或 a ? ? 2 ? 1 ,或 ? 1 ? a ? 0
所以 a 的取值范围是 (??,? 2 ? 1) ? [?1,0] ? ( 2 ,??)

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