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高一数学竞赛辅导(五)

高一数学竞赛辅导(五)
例 1: 求函数 f(x)=2x+2-3·4x 在区间[-1,0]内的最大值和最小值.

例 2:已知函数 f(x)=log2(x+1),并且当点(x,y)在 f(x)的图象上运动时,点
x y ( , )在 y=g(x)的图象上运动,求函数 p(x)=g(x) -f(x)的最大值. 3 2

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例 3: 设 x+y+z=1 , 求 F(x,y,z)=2x2+3y2+z2 的最小值,并求 F(x,y,z)取最 小值时 x,y,z 的值.

例 4: 求函数 y ?

2 x2 ? 2 x 的最大值和最小值. x2 ? x ? 1

2

例 5: 求函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 的值域.

例 6: 设 x,y∈R, 且 x2-2xy+y2- 2x ? 2 y ? 6 =0, 求函数 u=x+y 的最 小值.

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例 7: 已知 a,b,c,d 为实数, 且满足条件 a+b+c+d+e=8, 2+b2+c2+d2+e2=16. a 试确定 e 的最大值.

例 8: 对于每个实数 x,设 f(x)是 4x+1,x+2, -2x+4 这三个函数中的最 小的,求 f(x)的最大值.

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9 : 已 知

0<a<1 , 0<b<1 , 求 y ?

2 2 a ? b ? 1 (

? a2 )

2 ?+ b

a 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 的最小值.

练习: 一、选择题 1. 若 x+y+z=30, 3x+y-z=50,x,y,z 皆为非负实数,则 m=5x+4y+2z 的取 值范围是( ) B. 110≤m≤120 C. 120≤m≤130 ). C. y≠1 ). D. y≠1,y≠-3 D. 130≤m≤140

A. 100≤m≤110 2. 函数 y ?

x2 ? x ? 2 的值域是( x 2 ? 3x ? 2

A. -3<y<1

B. y≥1 或 y≤-3

3. 实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x, 则 x2+y2 的最大值是( A.

9 7 B. 5 C. 4 D. 2 2 3 3 4. 已知 x,y∈N, x>y,且 x +19y=y +19x, a= log 1 (x+y), 则 a 的取值范围是
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(

). A. (-3, -2) B. [-2, -1] C. (-1,1)
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D. [1,2]

二、填空题 1. 设 f(x)= |x-p| + |x-15| + |x-p-15|,其中 0<p<15,在区间 p≤x ≤15 上 f(x)的最小值为__________. 2. 已 知 函 数
y ? ( x 2 ? 6 x ? 9)(? x 2 ? 6 x ? 5) , 那 么 它 的 值 域 是

_____________. 3. 已知 x 2 ? 2 xy ? x ? y ? 1 ? 0,
y 的最大值和最小值为_____________。 x

4. 对于已知的 x、y,把 2? x,2 x?y,2 y ? 1 的最小值记作 F(x,y), 当 0<x<1, 0<y<1 时,F(x,y)的最大值等于_________. 5. 函数 f(x)= x 2?lg x 在区间 5≤x≤100 上的最大值是_______,最小值 是__________. 6. 已知 A={x|1≤x≤10, x∈N}, B={y|0<y<10, y∈N},再记 A 中的 x 除以 3 的余数为 f(x),B 中的 y 除以 4 的余数为 g(y),则当 f(x)+2g(y)=0 时,x+2y 的最大值是_________. 三、 解答题

1. 设 a,b,c 为正数,求函数 f ( x) ? x 2 ? a 2 ? (c ? x) 2 ? b 2 的最小值及相 应的自变量的值.

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2. 已知 f(x)=max{x-1, |x2-4x+3|}表示二个函数 x-1,|x2-4x+3|中取 值最大的一个函数,当 0≤x≤5 时,求 g(x)=f(x)-x 的取值范围.

3. 求出并证明 f(x)=x3-3x 的最大值,其中实数 x 满足 x4+36≤13x2.

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4. 试证:如果对所有 x∈[-1,1],有不等式|ax2+bx+c|≤1 成立,那么对 这些 x 值,有不等式|cx2-bx+a|≤2 成立.

5. 对 x∈R,求函数 y ? x2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域.

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