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江西鹰潭市2012届高三第一次模拟考试(理数)


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鹰潭市 2012 届高三第一次模拟考试 数学试题(理科) 数学试题(理科)
命题人:鹰潭一中 黄鹤飞 审题人:贵溪一中 何卫中

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 选择题:
一项是符合题目要求的。 1.设集合 U = {1,2,3, 4} , M = x ∈ U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = {2,3} ,则实数 p 的值为 ( ) A. 4 B. ?4 C. ?6 D. 6 )

{

}

2.在等差数列 {a n } 中, a2 + a12 = 32 ,则 2a 3 + a15 的值是( A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定

3.如右图所示,点 P 是函数 y = 2 sin(ωx + ? ) ( x ∈ R , ω > 0) 的图象的最高 点, M , N 是该图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN = 0 ,则 ω 的值为( A. )

π 8

B. 8

C.

π D. 4 4

4.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 9 6 5 3 7 8 1 2 1 8 0 0 0 1 2 3 4 ) 乙 7 2 0 7 5 2 9 6 3 9 7 9 9

根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是( ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值

? x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 ≥ 0, uuu uuu r r ? 5. O 为坐标原点, A 设 点 (1, , 1) 若点 B ( x, y )满足 ?1 ≤ x ≤ 2, 则 OA ? OB ?1 ≤ y ≤ 2, ?
取得最小值时,点 B 的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.无数 )

6.已知函数 f ( x) = cos 2 x + sin x ,那么下列命题中假命题是 ( ... A. f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 C. f ( x) 是周期函数
n

π 5π B. f ( x) 在 ( , ) 上是增函数 2 6
D. f ( x) 在 [? π ,0] 上恰有一个零点

? 1 ? 7.如果 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,在展开式中任取一项,设所取项为 3 2 x ? ?
有理项的概率为 p,则

∫0 x

1

p

dx = (
8 11
D.



A.

3 8

B.

8 3

C.

7 10

8.已知正三棱锥 V ? ABC 的主视图、俯视图如 右图所示, 其中 VA = 4, AC = 2 3 ,则该三棱 锥的左视图的面积为( A. 6 C. 3 3 ) B. D.

39
9

9.定义方程 f ( x ) = f ′( x ) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点”,如果函数 g ( x ) = x ,

π h( x) = ln( x + 1) ,? ( x) = cos x ( x ∈ ( , ) )的“新驻点”分别为 α , β ,γ ,那么 π 2

α , β , γ 的大小关系是(
A. α < β < γ

) C. γ < α < β D. β < α < γ

B. α < γ < β

10.如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上, a2 b2
y P

线段 PF2 与圆 x 2 + y 2 = b 2 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点, 则椭圆 C 的离心率为( )

Q

A.

3 2

B.

5 3

C.

6 3

D.

2 5 5

F1

O

F2

x

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 填空题:
11.已知复数 z1 = 3 ? bi, z 2 = 1 ? 2i, 若 值为 12.某程序的框图如右图所示,则运行该程序后输出的 S 的值 是 13.对数列 {a n } n ∈ N , a n ∈ N , 令 bk 为 a1 , a 2 , a3 , L , a k 中的最大
* *

z1 是实数,则实数 b 的 z2

(

)

值,称数列 {bn } 为 {a n } “峰值数列”;例如数列 2,1,3,7,5 的 峰值数为 2,2,3,7,7;由以上定义可计算出峰值数列为 2,3,3, 4,5,5 的所有数列 {an } 的个数是 (用数字回答)

14.线段 AB 的中点 O 也是线段 AB 的重心, O 具有以下性质:① O 平分线段 AB 的长度 ;② OA + OB = 0 ③ O 是直线 AB 上所有点中到线段 AB 两个端点的距离的平方和最 小的点。由此推广到三角形,设△ABC 的重心为 G,我们得到如下猜想: A. G 平分△ABC 的面积(即△GAB、△GBC、△GAC 面积相等) ; B. GA + GB + GC = 0 C. G 是平面 ABC 内所有点中到△ABC 三边的距离的平方和最小的点; D. G 是平面 ABC 内所有点中到△ABC 三个顶点的距离的平方和最小的点; 你认为正确的猜想有___ ____(填上所有你认为正确的猜想的序号) 。 15. (考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选讲选做题)对于任意实数 a ( a ≠ 0) 和 b ,不等式

? 1 3? a + b + a ? b ≥ a ? x ? + x ? ? 恒成立,试求实数 x 的取值范围是 ? 2 2? ? ?



B.(坐标系与参数方程选做题)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与

x 轴的正半轴重合,曲线 C 的参数方程为 ?
坐标方程为 ρ cos? ? ? 小值为

? x = cos ? ? y = 3 sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的极

? ?

π?

? = 6 .点 P 在曲线 C 上,则点 P 到直线 l 的距离的最 6?



三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题;
16. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x ) = sin 3 x cos x + cos 3 x sin x + 3 sin 2 x. (1)求函数 f (x ) 的单调递减区间; (2)已知△ABC 的三边 a、b、c 对应角为 A、B、C,且三角形的面积为 S,若

3 AB ? BC = S , 求f ( A) 的取值范围。 2

17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的质量(单位:克) 质量的分组区间为 ,

( 490, 495] , ( 495,500],…,510,515] ,由此得到样本的频率分 (
布直方图,如图所示。 (I)根据频率分布直方图,求质量超过 505 克的产品数量; (Ⅱ)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列; (Ⅲ)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的质量超 过 505 克的概率。

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,△ABC 为正三角形,AE 和 CD 都垂直 于平面 ABC,且 AE=AB=2,CD=1,F 为 BE 的中点。 (I)求证:平面 DBE⊥平面 ABE;

C

D

E A F B

(II)求直线 BD 和平面 ACDE 所成角的余弦值。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = e ? ln ( x + m) ? 1 在 x = 0 处取得极值。
x

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)已知 0 ≤ b < a, 证明: e
a ?b

? 1>ln

a +1 . b +1

20. (本小题满分 l3 分) 数列 {an } 满足 a1 = 2 , ? n + (Ⅰ)设 bn = (Ⅱ)设 cn =

? ?

1? n n +1 ?a n a n +1 + 2 a n +1 ? 2 a n = 0 ( n ∈ N + ). 2?

2n ,求数列 {bn } 的通项公式 bn ; an 1 5 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: ≤ Sn < . n(n + 1)an +1 16 2

21. (本小题满分 14 分)

已知椭圆

x2 y2 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F (? 2, 0) ,离心率 e = , M,N 是 2 a b 2

椭圆上的动点。 (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP = OM + 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

uuu r

uuuu r

uuur

1 ,问:是否 2

存在定点 F1 , F2 ,使得 PF1 + PF2 为定值?,若存在,求出 F1 , F2 的坐标,若不存在,说明 理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连 接 NA 并延长交椭圆于点 B , 设直线 MN 、MB 的斜率分别为 k MN 、k MB , k MN ? k MB 的 求 值;


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