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江西省南昌市第二中学2014届高三数学上学期第三次考试试题 文 新人教A版


江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高三上学期第三次考试数学 (文)试卷
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知 A={-1,0,1},B={y|y=sinx,x∈A},则 A∩B=( A. {0} B. {1} C. {0,1} 2. 已知 ? ∈( ? , A. 7 ) D. {0,-1} ) D. -7

3? 4 ? ) ,cos ? =- ,则 tan( - ? )=( 2 5 4 1 1 B. C. - 7 7
a6 9 S ? ,则 11 =( a5 11 S9
C. 2

3. 已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若

)

1 2 a 3 4. 已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 =( b 1 2 2 1 A. B. C. - D. - 3 3 3 3
A. 1 B. -1 D. 5. 已知数列{an}中,a1=0,an+1=

)

an ? 3 3an ? 1

,则 a2013=(

)

A. 0

B.

3

C. - 3

D.

3 2

6. 函数 f(x)=2sin(2x- A. x=

? 12

? )的图象的一条对称轴方程是( ) 3 5? ? B. x= C. x= 12 6
??? ? ??? ? ????

D. x= )三角形. D. 等边

? 3

7. 在△ABC 中,若 asinA+bsinB<csinC,则△ABC 的形状是( A. 锐角 B. 直角 C. 钝角

8. 等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 OB ? a2 OA ? a2012 OC ,且 A,B,C 三点共线(O 为 该直线外一点) ,则 S2013=( A. ) C. 2
2013

2013 2

B. 2013

D. 2

-2013

9. 已知 O 在△ABC 的内部,满足: OA ? 4OB ? OC ? 0 , ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积 之比为( A. 3:2 ) B. 2:3 C. 5:4 D. 4:5

??? ?

??? ??? ? ?

?

? ? 1 3 1 ? 2 ? ? 10. 已知 | a |? 2 | b | ? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值, 3 2 ? ? 则 a 与 b 的夹角 ? 范围是( )
1

A. (0,

? ) 6
? ?

B. (

? ,? ] 6
? ? ?

C. [

? ,? ] 3

D. (

? 2? , ] 3 3

二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 份) 11. 已知: a ? (1, ?2), b ? (4, 2) ,且 2a与a ? b 的夹角为 ? ,则 cos ? =___________. 12. 在△ABC 中,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=______________. 13. 已知 ? ∈(0,

1 ? 2 )且 sin ? +cos2 ? = ,则 tan ? =___________. 4 2

14. 数列{an}中,前 n 项和为 Sn 且 Sn=n-5an-85,则 an=__________. 15. 有限数列 A=(a1,a2,a3??an) n 为其前 n 项和,定义: ,S

s1 ? s 2 ? s3 ?? sn 为A的 n

“四维光军和”。若有 99 项的数列(a1,a2,a3??a99)的“四维光军和”和 1000,则有 100 项的数列(1,a1,a2,??a99)的“四维光军和”是__________. 三、解答题(本大题有 6 小题,75 分,附加题 10 分,共 85 分) 16. (12 分)已知 f (x)=2cos x-cos(2x+ (1)求 f (
2

? )的值; 8

? ). 2

(2)求函数 f (x)的最小正周期和单调递减区间。

17. (12 分)在△ABC 中,已知 m ? (sin A, ) , n ? (3,sin A ? 3 cos A) ,若 m与n 共线. (1)求角 A 的大小; (2)若边 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取最大值时△ABC 的形状. 18. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 a2=2,S4=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在平面直角坐标系中,若 m ? (4, s 2 ), n ? (4k , ? s3) ,且 m ∥ n ,求实数 k 的值. 19.(12 分)定义:函数 f(x)与实数 m 的一种符号运算为:m ? f(x)=f(x)[f(x+m)-f(x)], 已知:f(x)=

??

1 2

?

?? ?

??

?

??

?

1 2 3 7 2 x -3x- ,g(x)=4*f(x)+ x. 2 4 2

(1)求 g(x)的单调区间; (2)若在 x∈[0,2]上,g(x)>2a-3 恒成立,试求实数 a 的范围. 20.(13 分)数列{an}满足:an=3an-1+3 -1(n ≥2),且 a3=95. (1)求 a1 和 a2 的值; (2)是否存在一个实数 t,使得 bn ? 的值,并给出证明,否则,请说明理由.
n

1 (an ? t ) , {bn } 为等差数列?若存在,求出 t 3n

2

(3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

21. ( 14 分 ) 已 知 A 、 B 、 C 是 直 线 l 上 的 三 点 , 且 OA , OB, OC 满 足 :

??? ?

??? ???? ?

??? ? ??? 1 ? x ???? ? ? OA ? ( y ? 1 ? ln x)OB ? OC ? 0(O ? l且a ? 0). ax
(1)求 y=f(x)的解析式; (2)若 f(x)在[1,+∞)单调递增,求实数 a 的范围; (3)当 a=1 时,求证: l n n ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? .(n ? 2且n ? N * ) 2 3 4 n

22. ( 附 加 题 10 分 ) 已 知 一 非 零 向 量 列 { an } 满 足 : a1 ? ( 1 , 1 ),

?? ?

??

?? ? 1 an ? ( xn , yn ) ? ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ) (n≥2 且 n∈N*). 2 ?? ? (1)求证:{| an |}是等比数列;
(2)设 ? n 是 an ?1 与 an 的夹角(n≥2 且 n∈N ),bn=2n ? n-1,Sn=b1+b2+b3+??+bn,
*

????

?? ?

求 Sn. (3)设 Cn=| an |﹒tog2| an |,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小值, 否则请说明理由.

?? ?

?? ?

南昌二中 2013-2014 学年度上学期第三次考试 高三数学(文)试卷参考答案 (一)ABADB CCAAC (二)11.

5 5

12. 120°

13.

3

14. a=1-15×(

5 n-1 ) 15. 991 6

16.(1) f ( ) ?

?

8

2 ?1

(2) T ? ? , f ( x)的单调递减区间是[k? ?

?
8

, k? ?

5? ], (k ? Z ) 8

3

17.(1) m与n共线 ? SinA(sin A ? 3 cos A) ?

?? ?

1 ?3 ? 0 2

? sin 2 A ? 3 sin A cos A ?
? 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 2 2

3 ?0 2

? ? ? sin(2 A ? ) ? 1 ? ? ? ? 6 ? ? 2 A- = ? A= 6 2 3 ? A为?ABC的内角? ?
(2)? BC=2 ? a=2 2 2 2 2 由 余弦定理得:4=b +c -2bccosA=b +c -bc≥2bc-bc=bc 当且仅当 b=c 时 bc 最大=4 ∴S△最大=

1 1 3 bc最大 ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

此时由 A ?

?
3

且b ? c知?ABC为等边? .
a2 ? 2 s4 ? 4

18.

由 (1)
??

?
?

? ? ?4 ? ? a1 ? d 1 2 ? ? a1??2 ? an ? ?2n ? 6 d ? 4 a1 ? 2 ?4?3d ? 4

(2)? m ∥ n ? ?4s3 ? 4ks2 ? 0

?k ??

s3 ? ?1 s2
3

19. 解: (1)? g ( x) ? 2 x ?

21 2 x ? 9 x ? 3 ? g ?( x) ? 3( x ? 3)(2 x ? 1) 2 1 1 令g?(x)>0 ? x ? 3或x ? ? g ( x)的单调弟增区间是(-?,),(3,+?) 2 2 1 1 令g ?( x) ? 0 ? ? x ? 3 ? g ( x)的单调弟减区间( ,3) 2 2

(2) 由 g(x)>2a-3 对 x∈[0,2]上恒成立得 g(x)最小值>2a-3 又由条件可求得 g(x)最小=-5 ∴ ?5 ? 2a ? 3 ? a ? ?1即a ? (??, ?1)

20. 解: (1) a1 ? 5, a2 ? 23 (2) t ? ? ? b n ?bn ?1 ?

1 2

1 1 (an ? t ) ? n?1 (an ?1 ? t ) n 3 3

4

1 1 1 1 (3an ?1 ? 3n ? 1) ? n t ? n ?1 an ?1 ? n ?1 t n 3 3 3 3 1 ?2t 2t ? 1 ? 1? n ? n ? 1? n 3 3 3 ?
若 {bn }等差,则2t ? 1 ? 0 ? t ? ? (3)由(2)知bn ?

1 2

1 1 1 1 3 (an ? ), 且{bn }为等差数列,b1 ? (5 ? ) ? n 3 2 3 2 2 3 1 ? bn ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 n ? n ? ? n (an ? ) ? an ? ? ?3 2 3 2 2 2
再利用错位相减法,可求得:

sn ?

n n ?1 (3 ? 1) 2 ??? ? ??? ? x ? 1 ???? OC ax

21. 解: (1)由已知得: OA ? ( y ? 1 ? ln x)OB ? 又? A B,C 三点共线 ,

? y ? 1 ? ln x ?

x ?1 1? x ? 1 ? y ? ln x ? ax ax 1? x ? f ( x) ? ln x ? ( x ? 0) ax 1 1 (2)? f ( x) ? ln x ? ? 且f ( x)在[1, ?)单调递增 ? ax a 1 1 ? f ?( x) ? ? 2 ? 0对x ? [1, ??)恒成立 x ax 1 1 1 ? 2 ? 即a ? 对x ? [1, ??)恒成立 ax x x 1 ? a ? ( ) max ? 1 x
? a ?[1, ??)
(3) 当 a=1 时, f ( x) ? ln x ?

1 ?1 x

1 由(2)知,当x ?[1, ??)时f ( x) ? ln x ? ? 1 ? f (1) ? 0 x 1 ? ln x ? 1 ? (当且仅当x ? 1时取等号) x n n n ?1 1 用 换x得: ln ? 1? ? n ?1 n ?1 n n 2 3 4 5 n 1 1 1 1 ? ln ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? ? ? ??? 1 2 3 4 n ?1 2 3 4 n
5

即 ln( ? ? ???

2 3 4 n 1 1 1 1 ) ? ? ? ??? 1 2 3 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ? ln n ? ? ? ? ? ? 2 3 4 n

22.解:(1) | an |?

?? ?

1 ( xn?1 ? yn?1 )2 ? ( xn?1 ? yn?1 ) 2 2
2 2 xn ?1 ? yn ?1

?

2 2

2 ???? | an ?1 | (n ? 2, n ? N * ) 2 ?? ? ?? ? ?? | an | 2 2 ? ? ???? ? ? 数列{| an |}是以 | a1 |? 2 为首项,公比为 的等比数列. 2 2 | a n ?1 | ?
(2)? an ?1 ? an ? ( xn ?1, yn ?1 ) ?

???? ?? ?

1 2 1 ???? 2 ? ( xn ?1 ? yn ?1 ) ? | an ?1 |2 2 2 1 ???? 2 ???? ?? ? | an ?1 | an ?1 ? an 2 ? 2 ? ? cos ? n ? ???? ?? ? ? ? ?n ? ???? ???? 2 4 | an ?1 | ? | an | 2 | an ?1 | ? | an ?1 | 2 ? n? ? bn ? 2n ? ? 1 ? ?1 4 2 ? 2? n? ? sn ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ?( ? 1) 2 2 2
?

1 ( xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ) 2

?

4

( n 2 ? n) ? n

(3)假设存在最小项,设为 Cn
2?n ?? ? 2 ?| an |? 2( ) n ?1 ? 2 2 2
2? n 2? n ?? ? ?? ? 2 ? n 2?n 2 2 2 ? cn ?| an | log 2 | an |? 2 log 2 ? ?2 2 2

由 cn ? cn ?1知,当n ? 5时,c5 ? c6 ? c7 ? ?, 由 cn ? cn ?1知,当n ? 5时,c5 ? c4 ? ? ? c1 故存在最小项,其值为 c5 ? ? ? 2

3 2

?

3 2

6


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