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高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)


第一章

集合与简易逻辑
集合的概念

第 1 课时
一.课题:集合的概念

二.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规 处理方法. 三.教学重点:集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法; 3.若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 ,非空子集有 2 ? 1 个,非空真
n n n

子集有 2 ? 2 个. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)例题分析: 例 1.已知集合 P ? { y ? x2 ? 1} , Q ? { y | y ? x2 ? 1} , E ? {x | y ? x2 ? 1} , F ? {( x, y) | y ? x2 ? 1} ,
n

G ? {x | x ? 1} ,则 ( A) P ? F

(B) Q ? E

(C ) E ? F

D ) ( D) Q ? G


解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简.
2 2 2 2 例 2.设集合 P ? ?x ? y, x ? y, xy? ,Q ? x ? y , x ? y , 0 ,若 P ? Q ,求 x, y 的值及集合 P 、Q .

?

?

解:∵ P ? Q 且 0 ? Q ,∴ 0 ? P . 矛盾,∴ x ? y ? 0 且 x ? y ? 0 ; (2)若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 .

2 2 (1)若 x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 ,从而 Q ? x ? y , 0, 0 ,与集合中元素的互异性

?

?

当 y ? 0 时, P ? ?x, x,0? ,与集合中元素的互异性矛盾,∴ y ? 0 ; 当 x ? 0 时, P ? {? y, y,0} , Q ? { y 2 , ? y 2 ,0},

? y ? ? y2 ? y ? y2 ? ? ? y ? ? y2 ? y ? y2 由 P ?Q得? ① 或? ② y ? 0 y ? 0 ? ? ? ? 由①得 y ? ?1 ,由②得 y ? 1 , ∴ x ? 0 或 x ? 0 ,此时 P ? Q ? {1, ?1,0} . y ? ?1 y ?1

?

?

例 3.设集合 M ? {x | x ?

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则 2 4 4 2



B



( A) M ? N
解法一:通分; 解法二:从

(B) M ? ?N

(C ) M ? N

( D) M

N ??

1 开始,在数轴上表示. 4 2 例 4.若集合 A ? ? x | x ? ax ? 1 ? 0, x ? R? ,集合 B ? ?1,2? ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围.
解: (1)若 A ? ? ,则 ? ? a ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ;
2

(2)若 1 ? A ,则 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?2 ,此时 A ? {1} ,适合题意;
2

(3)若 2 ? A ,则 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?
2

综上所述,实数 m 的取值范围为 [?2, 2) .

5 5 ,此时 A ? {2, } ,不合题意; 2 2

例 5.设 f ( x) ? x2 ? px ? q , A ? {x | x ? f ( x)} , B ? {x | f [ f ( x)] ? x} , (1)求证: A ? B ; (2)如果 A ? {?1,3} ,求 B . 解答见《高考 A 计划(教师用书) 》第 5 页. (四)巩固练习: 1.已知 M ? {x | 2x2 ? 5x ? 3 ? 0} , N ? {x | mx ? 1} ,若 N ? M ,则适合条件的实数 m 的集合 P 为 {0, ?2, } ; P 的子集有

1 3

8

个; P 的非空真子集有 6

个.

2.已知: f ( x) ? x2 ? ax ? b , A ? ?x | f ( x) ? 2x? ? ?2? ,则实数 a 、 b 的值分别为 ?2, 4 . 3.调查 100 名携带药品出国的旅游者,其中 75 人带有感冒药,80 人带有胃药,那么既带感冒药又 带胃药的人数的最大值为 75 ,最小值为 55 . 4.设数集 M ? {x | m ? x ? m ? } , N ? {x | n ?

1 ? x ? n} ,且 M 、 N 都是集合 {x | 0 ? x ? 1} 的 3 1 子集,如果把 b ? a 叫做集合 ?x | a ? x ? b? 的“长度” ,那么集合 M N 的长度的最小值是 . 12

3 4

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 4,5,6,7,8,9,11,12.

第 2 课时
一.课题:集合的运算

集合的运算

二.教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴或文氏图 进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 三.教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念;

B ? A? A? B, A B ? A? A? B; 3. CU A CU B ? CU ( A B) , CU A CU B ? CU ( A B) .
2. A (二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. (三)例题分析:

? 例 1. 设全集 U ? x | 0 ? x ? 10, x ? N , 若A

?

?

B ? ?3? ,A CU B ? ?1,5,7? ,CU A CU B ? ?9? ,

则 A ? ?1,3,5,7? , B ? ?2,3, 4,6,8? . 解法要点:利用文氏图.
3 2 2 例 2.已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 x ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,若 A B ? ?x |0 ? x ? 2 ? ,

?

?

?

?

A B ? ?x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值.
3 2 解:由 x ? 3x ? 2 x ? 0 得 x( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 ,

∴ A ? (?2, ?1)

(0, ??) ,又∵ A B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,且 A B ? ?x | x ? ?2? ,
2

∴ B ? [?1, 2] ,∴ ?1 和 2 是方程 x ? ax ? b ? 0 的根, 由韦达定理得:

1 ? 2 ? ?a ,∴ a ? ?1 . ?? ?b ? ?2 ?1? 2 ? b

说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用. 例 3.已知集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 0} , B ? {( x, y ) |

A B ? {( x, y) | ( x ? 2 y)( y ? 1) ? 0}; (参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6 题) .
解法要点:作图. 注意:化简 B ? {( x, y) | y ? 1, x ? 2} , (2,1) ? A . 例 4. ( 《高考 A 计划》 考点 2 “智能训练” 第 15 题) 已知集合 A ? { y | y ? (a ? a ? 1) y ? a(a ? 1) ? 0} ,
2 2 2

y ?1 ? 0} ,则 A B ? ? ; x?2

B ? {y | y ?

1 2 5 x ? x ? , 0 ? x ? 3} ,若 A B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 2 2

解答见教师用书第 9 页.

2 例 5. ( 《高考 A 计划》 考点 2 “智能训练” 第 16 题) 已知集合 A ? ( x, y ) | x ? mx ? y ? 2 ? 0, x ? R ,

?

?

B ? ?( x, y) | x ? y ?1 ? 0,0 ? x ? 2? ,若 A B ? ? ,求实数 m 的取值范围.
分析:本题的几何背景是:抛物线 y ? x ? mx ? 2 与线段 y ? x ? 1(0 ? x ? 2) 有公共点,求实数 m 的取值范围.
2

x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 2 得 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ① x ? y ?1 ? 0 ∵ A B ? ? ,∴方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解,
解法一:由

?

首先,由 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0 ,解得: m ? 3 或 m ? ?1 . 设方程①的两个根为 x1 、 x2 , (1)当 m ? 3 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ?1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1知 x1 、 x2 都是负数,不合题意; (2)当 m ? ?1 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ?1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 ? 0 知 x1 、 x2 是互为倒数的两个正数, 故 x1 、 x2 必有一个在区间 [0,1] 内,从而知方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 综上所述,实数 m 的取值范围为 (??, ?1] . 解法二:问题等价于方程组

?

y ? x 2 ? mx ? 2 在 [0, 2] 上有解, y ? x ?1

即 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在 [0, 2] 上有解, 令 f ( x) ? x2 ? (m ?1) x ? 1 ,则由 f (0) ? 1 知抛物线 y ? f ( x) 过点 (0,1) , ∴抛物线 y ? f ( x) 在 [0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) ? 22 ? 2(m ? 1) ? 1 ? 0 ①

?? ? (m ? 1) ? 4 ? 0 ? 1? m ?2 或 ?0 ? ② 2 2 ? ? f (2) ? 2 ? 2( m ? 1) ? 1 ? 0 3 3 由①得 m ? ? ,由②得 ? ? m ? 1 , 2 2 ∴实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .
2

(四)巩固练习: 1.设全集为 U ,在下列条件中,是 B ? A 的充要条件的有 ① A B ? A ,② CU A B ? ? ,③ CU A ? CU B ,④ A CU B ? U ,

( D )

( A) 1 个

(B) 2 个

(C ) 3 个

( D) 4 个
B 为单元素集,实数 a 的取值范

2.集合 A ? {( x, y) | y ? a | x |} , B ? {( x, y) | y ? x ? a} ,若 A 围为 [?1,1] .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 2,智能训练 3,7, 10,11,12,13.

第 3 课时

含绝对值的不等式的解法

一.课题:含绝对值的不等式的解法 二.教学目标:掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法. 三.教学重点:解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组) ,难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中,集合间 的交、并等各种运算. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.绝对值的几何意义:| x | 是指数轴上点 x 到原点的距离;| x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离

2.当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ; 当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ?? . (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式 (组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) 4 ?| 2 x ? 3 |? 7 ; (2) | x ? 2 |?| x ? 1| ; (3) | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . 解: (1)原不等式可化为 4 ? 2 x ? 3 ? 7 或 ?7 ? 2 x ? 3 ? ?4 ,∴原不等式解集为 [?2, ? ) (2)原不等式可化为 ( x ? 2)2 ? ( x ? 1)2 ,即 x ? (3)当 x ? ? 当?

1 2

7 ( ,5] . 2

1 1 ,∴原不等式解集为 [ , ??) . 2 2

1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? ?1 ,此时 x ? ?1 ; 2

1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? 1 ,此时1 ? x ? 2 ; 2 5 当 x ? 2 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,∴ x ? ,此时 x ? 2 . 3 综上可得:原不等式的解集为 (??, ?1) (1, ??) .
例 2. (1)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (??,3) ; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, ??) . 解: ( 1 ) 可 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的 图 象 或 者 绝 对 值 不 等 式 的 性 质

| x ? 1 | ? |x ? 2 ? | x | ? 1? | |2 ? x ?|x | ? ? 1 2 ? x 得 ?| | x3 ? 1| ? | x ? 2 |? 3 ,∴ a ? 3 ; (2)与(1)同理可得 | x ? 1| ? | x ? 3|? 4 ,∴ a ? 4 .
| ax ? 2 |? bx . 例 3. ( 《高考 A 计划》 考点 3 “智能训练第 13 题” ) 设 a ? 0, b ? 0 , 解关于 x 的不等式: x ? 2 ①或 (a ? b) x ? 2 ? x ? 解: 原不等式可化为 ax ? 2 ? bx 或 ax ? 2 ? ?bx , 即 (a ?b)
2 2 2 ,∴此时,原不等式解为: x ? 或x? ; a ?b a ?b a?b 2 当 a ? b ? 0 时,由①得 x ? ? ,∴此时,原不等式解为: x ? ; a?b 2 2 当 0 ? a ? b 时,由①得 x ? ,∴此时,原不等式解为: x ? . a ?b a?b 2 2 ] [ , ??) , 综上可得,当 a ? b ? 0 时,原不等式解集为 ( ??, a?b a ?b
当 a ? b ? 0 时,由①得 x ?

2 ②, a?b

2 ]. a?b 例 4.已知 A ? {x || 2 x ? 3 |? a} , B ? {x || x |? 10} ,且 A ? ? B ,求实数 a 的取值范围. 解:当 a ? 0 时, A ? ? ,此时满足题意; 3? a 3? a ?x? 当 a ? 0 时, | 2 x ? 3 |? a ? ,∵ A ? ?B, 2 2 ?3 ? a ? ?10 ? ? 2 ? a ? 17 , ∴? ? 3 ? a ? 10 ? ? 2 综上可得, a 的取值范围为 (??,17] .
当 0 ? a ? b 时,原不等式解集为 (??, 例 5. ( 《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 15 题” )在一条公路上,每隔 100km 有个仓库(如下图) , 共有 5 个仓库. 一号仓库存有 10t 货物, 二号仓库存 20t , 五号仓库存 40t , 其余两个仓库是空的. 现 在想把所有的货物放在一个仓库里,如果每吨货物运输 1km 需要 0.5 元运输费,那么最少要多少运 费才行? 一 三 四 五 二 解:以一号仓库为原点建立坐标轴, 则五个点坐标分别为 A 1 : 0, A 2 :100, A 3 : 200, A 4 : 300, A 5 : 400 , 设货物集中于点 B : x ,则所花的运费 y ? 5 | x | ?10 | x ? 100 | ?20 | x ? 200 | , 当 0 ? x ? 100 时, y ? ?25x ? 9000 ,此时,当 x ? 100 时, ymin ? 6500 ; 当 100 ? x ? 400 时, y ? ?5x ? 7000 ,此时, 5000 ? y ? 6500 ; 当 x ? 400 时, y ? 35x ? 9000 ,此时,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 . 综上可得,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 ,即将货物都运到五号仓库时,花费最少,为 5000 元. (四)巩固练习:

x x 3 |? 的解集是 (?1, 0) ; | 2 x ? 3 |? 3x 的解集是 (??, ) ; 1? x 1? x 5 |a?b| ? 1 成立的充要条件是 | a |?| b | ; 2.不等式 |a|?|b| 3.若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a ? (7, ??) ;
1. | 4.不等式 | 2 x ? log 2 x |? 2 x? | log 2 x | 成立,则 x ? (1, ??) . 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 3,智能训练 4,5,6,8,12,14.

第 4 课时

一元二次不等式的解法

一.课题:一元二次不等式的解法 二.教学目标:掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的 关系解决综合问题,会解简单的分式不等式及高次不等式. 三.教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法. 四.教学过程:

(一)主要知识: 1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系; 2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中,分母要不为零; 3.高次不等式要注重对重因式的处理. (二)主要方法: 1. 解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式, 然后
2

求出对应方程的根(若有根的话) ,再写出不等式的解:大于 0 时两根之外,小于 0 时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) x ? x ? 6 ? 0 ; (2) ? x ? 3x ? 10 ? 0 ; (3)
2 2

x( x ? 1)( x ? 2) ?0. ( x ? 2)( x ? 1)

解: (1) ?2 ? x ? 3 ; (2) x ? 5 or x ? ?2 ; (3)原不等式可化为 ?

? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ?2 ? x ? ?1 or 0 ? x ? 1 or x ? 2 . ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0

例 2.已知 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , (1)若 A ? ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围. 解: A ? {x |1 ? x ? 2} , 当 a ? 1 时, B ? {x |1 ? x ? a} ;当 a ? 1 时, B ? {1} ;当 a ? 1 时, B ? {x | a ? x ? 1} . (1)若 A ? ? B ,则 ?

(2)若 B ? A , 当 a ? 1 时,满足题意;当 a ? 1 时, a ? 2 ,此时 1 ? a ? 2 ;当 a ? 1 时,不合题意. 所以, a 的取值范围为 [1, 2) . 例 3.已知 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) ? ? 4(a ? 2) ?16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;
2

?a ? 1 ?a ?2; ?a ? 2

??(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0 1 1 解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 (? , 4) . 2 2 2 2 例 4. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} , 则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 . 1 1 2 or x ? } , 解法一:∵ ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 即 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | x ? 2 4 1 1 x2? b x ? a ? 0 即为 ?8x2 ? 6 x ? 1 ? 0 , ∴不妨假设 a ? ?1, b ? 6, c ? ?8 , 则c 解得 { x | ? x ? } . 4 2
(2) ?

? ? ?a ? 0 ?c ? 0 ? ? ? b ? b 3 解法二:由题意: ?? ? 6 ? ?? ? , ? a ? c 4 ?c ?a 1 ?8 ? ? ? ?a ?c 8 b a 3 1 1 1 2 2 2 or x ? } . ∴ cx ? bx ? a ? 0 可化为 x ? x ? ? 0 即 x ? x ? ? 0 ,解得 {x | x ? c c 4 8 2 4
例 5. ( 《高考 A 计划》考点 4“智能训练第 16 题” )已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点

(?1, 0) ,问是否存在常数 a, b, c ,使不等式 x ? f ( x) ?
解:假设存在常数 a, b, c 满足题意, ∵ f ( x ) 的图象过点 (?1, 0) ,∴ f (?1) ? a ? b ? c ? 0 又∵不等式 x ? f ( x) ?

1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2


1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立, 2 1 2 ∴当 x ? 1 时, 1 ? f (1) ? (1 ? 1 ) ,即 1 ? a ? b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 1 ② 2 1 1 1 1 2 由①②可得: a ? c ? , b ? ,∴ f ( x) ? ax ? x ? ( ? a ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 由 x ? f ( x) ? (1 ? x ) 对一切 x ? R 都成立得: x ? ax ? x ? ( ? a ) ? (1 ? x ) 恒成立, 2 2 2 2 1 ? 2 1 ?ax ? x ? ( ? a) ? 0 ∴? 的解集为 R , 2 2 ?(2a ? 1) x 2 ? x ? 2a ? 0 ?

1 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?2a ? 1 ? 0 ? ?a ? ∴ ?1 且? ,即 ? 且? , 2 1 2 ? 4a( ? a) ? 0 ?1 ? 8a(2a ? 1) ? 0 ?(1 ? 4a ) ? 0 ?(1 ? 4a) 2 ? 0 ? ?4 2 ? 1 1 ∴ a ? ,∴ c ? , 4 4 1 1 1 1 2 ∴存在常数 a ? , b ? , c ? 使不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x ) 对一切 x ? R 都成立. 4 2 4 2
(四)巩固练习: 2 1.若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 (?2, 2] . 2.若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a ? (?1,1) .
2 2

2 3. 关于 x 的方程 m( x ? 3) ? 3 ? m x 的解为不大于 2 的实数, 则 m 的取值范围为 (??, ? ] (0,1) (1, ??) .

3 2

4.不等式

( x ? 1) 2 (2 ? x) ? 0 的解集为 (??, ?4) (0, 2] or x ? ?1. x(4 ? x)

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 4,智能训练 3,4,5,9,13,14,15.

第 5 课时
一.课题:简易逻辑

简易逻辑

二.教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义;理解四 种命题及其互相关系;反证法在证明过程中的应用. 三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.理解由“或” “且” “非”将简单命题构成的复合命题; 2.由真值表判断复合命题的真假; 3.四种命题间的关系. (二)主要方法: 1.逻辑联结词“或” “且” “非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系,解题时注意类比; 2.通常复合命题“ p 或 q ”的否定为“ ? p 且 ? q ” 、 “ p 且 q ”的否定为“ ? p 或 ? q ” 、 “全为” 的否定是“不全为” 、 “都是”的否定为“不都是”等等; 3.有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该写成“若 p ,则 q ”的形式; 4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、 公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾. (三)例题分析: 例 1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2) “2 ? 3” 解:(1)这个命题是“ p 且 q ”形式, p : 菱形的对角线相互垂直; q : 菱形的对角线相互平分, ∵ p 为真命题, q 也是真命题 ∴ p 且 q 为真命题. (2)这个命题是“ p 或 q ”形式, p : 2 ? 3 ; q : 2 ? 3 , ∵ p 为真命题, q 是假命题 ∴ p 或 q 为真命题. 注:判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成它的简单命题的真假, 再由真值表判断复合命题的真假. 例 2.分别写出命题“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题.
2 2

解:否命题为:若 x ? y ? 0 ,则 x, y 不全为零
2 2

逆命题:若 x, y 全为零,则 x ? y ? 0
2 2

逆否命题:若 x, y 不全为零,则 x ? y ? 0 注:写四种命题时应先分清题设和结论.
2 2

例 3.命题“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论. 解:方法一:原命题是真命题, ∵ m ? 0 ,∴ ? ? 1 ? 4m ? 0 ,
2

因而方程 x ? x ? m ? 0 有实根,故原命题“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实根”是真命题;
2 2

又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是 真命题.
2

方法二:原命题“若 m ? 0 ,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是“若 x ? x ? m ? 0 无实根,
2 2

则m? 0” .∵ x ? x ? m ? 0 无实根
2

1 ? 0 ,故原命题的逆否命题是真命题. 4 2 例 4. (考点 6 智能训练 14 题)已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实负根,命题 q :
∴ ? ? 1 ? 4m ? 0 即 m ? ? 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 分析:先分别求满足条件 p 和 q 的 m 的取值范围,再利用复合命题的真假进行转化与讨论.

?? ? m 2 ? 4 ? 0 解:由命题 p 可以得到: ? ∴m ? 2 ?m ? 0 由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ∴ ?2 ? m ? 6 ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 ∴ p, q 有且仅有一个为真 ?m ? 2 当 p 为真, q 为假时, ? ?m?6 ?m ? ?2, orm ? 6 ?m ? 2 当 p 为假, q 为真时, ? ? ?2 ? m ? 2 ??2 ? m ? 6 所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .
例 5. ( 《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 14 题)已知函数 f ( x ) 对其定义域内的任意两个数 a , b , 当 a ? b 时,都有 f (a) ? f (b) ,证明: f ( x) ? 0 至多有一个实根. 解:假设 f ( x) ? 0 至少有两个不同的实数根 x1 , x2 ,不妨假设 x1 ? x2 , 由方程的定义可知: f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ① 由已知 x1 ? x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立. 注:反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题. 例 6. ( 《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 5 题)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程:

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a, b, c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a, b, c 都是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数
(四)巩固练习: 1.命题“若 p 不正确,则 q 不正确”的逆命题的等价命题是 A.若 q 不正确,则 p 不正确 B. 若 q 不正确,则 p 正确 C. 若 p 正确,则 q 不正确 D. 若 p 正确,则 q 正确 2. “若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根” ,其否命题是
2 2
2








2 2



A. 若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根 B. 若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 有实根
2 2 2
2 C. 若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 有实根

D. 若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根
2

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 5,智能训练 3,4,8,13,15,16.

第 6 课时
一.课题:充要条件

充要条件

二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系. 三.教学重点:充要条件关系的判定. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.充要条件的概念及关系的判定; 2.充要条件关系的证明. (二)主要方法: 1.判断充要关系的关键是分清条件和结论; 2.判断 p ? q 是否正确的本质是判断命题“若 p ,则 q ”的真假; 3.判断充要条件关系的三种方法: ①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法) . 4.说明不充分或不必要时,常构造反例. (三)例题分析: 例 1.指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既 不充分也不必要”中选一种作答) (1)在 ?ABC 中, p : A ? B , q : sin A ? sin B (2)对于实数 x, y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6 (3)在 ?ABC 中, p : sin A ? sin B , q : tan A ? tan B (4)已知 x, y ? R , p : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 , q : ( x ? 1)( y ? 2) ? 0

a b ? sin A sin B ∴ sin A ? sin B ? a ? b 又由 a ? b ? A ? B 所以, sin A ? sin B ? A ? B 即 p 是 q 的的充要条件. (2)因为命题“若 x ? 2 且 y ? 6 ,则 x ? y ? 8 ”是真命题,故 p ? q , 命题“若 x ? y ? 8 ,则 x ? 2 且 y ? 6 ”是假命题,故 q 不能推出 p , 所以 p 是 q 的充分不必要条件.
解: (1)在 ?ABC 中,有正弦定理知道: (3)取 A ? 120 , B ? 30 , p 不能推导出 q ;取 A ? 30 , B ? 120 , q 不能推导出 p 所以, p 是 q 的既不充分也不必要条件. (4)因为 P ? {(1, 2)} , Q ? {( x, y) | x ? 1 或 y ? 2} , P ? Q ,

?

所以, p 是 q 的充分非必要条件. 例 2.设 x, y ? R ,则 x ? y ? 2 是 | x | ? | y |? 2 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 解:由图形可以知道选择 B,D. (图略)
2 2

) 、是 | x | ? | y |? 2 的( ) D.既不充分也不必要条件

例 3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙 的充要条件,则命题丁是命题甲的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲, 因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙,

因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁, 由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选 B. 例 4.设 x, y ? R ,求证: | x ? y |?| x | ? | y | 成立的充要条件是 xy ? 0 . 证明: 充分性: 如果 xy ? 0 , 那么, ① x ? 0, y ? 0 ② x ? 0, y ? 0 ③ x ? 0, y ? 0 于是 | x ? y |?| x | ? | y | 如果 xy ? 0 即 x ? 0, y ? 0 或 x ? 0, y ? 0 , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? x ? y ?| x | ? | y | , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? ? x ? y ? (? x) ? (? y) ?| x | ? | y | , 总之,当 xy ? 0 时, | x ? y |?| x | ? | y | . 必要性:由 | x ? y |?| x | ? | y | 及 x, y ? R 得 ( x ? y)2 ? (| x | ? | y |)2 即 x2 ? 2xy ? y 2 ? x2 ? 2 | xy | ? y 2 得 | xy |? xy 所以 xy ? 0 故必要性成立, 综上,原命题成立. 例 5. 已知数列 {an } 的通项 an ?
*

1 1 ? ? n?3 n?4

?

1 11 2 2 log (t ?1) t , 为了使不等式 an ? log t (t ? 1) ? 2n ? 3 20

对任意 n ? N 恒成立的充要条件.

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? )?0, 2n ? 4 2n ? 5 n ? 3 2n ? 4 2 n ? 6 2n ? 5 2n ? 6 则 an ? an?1 ? an?2 ? ? a2 ? a1 ,
解:∵ an ?1 ? an ? 欲使得题设中的不等式对任意 n ? N 恒成立,
*

只须 {an } 的最小项 a1 ? log t (t ? 1) ?
2

11 log (2t ?1) t 即可, 20

又因为 a1 ?

1 1 9 ? ? , 4 5 20
2

即只须 t ? 1 ? 1 且 log t (t ? 1) ?

9 11 log t2 (t ? 1) ? ? 0, 20 20

解得 ?1 ? logt (t ?1) ? t (t ? 1) , 即0 ?

1 ? t ? 1 ? t (t ? 2) , t

解得实数 t 应满足的关系为 t ?

1? 5 且t ? 2 . 2
2 2

例 6. (1)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件? (2)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件? 解:欲使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件,则只要 {x | x ? ?
2

m } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} , 2

m ? ?1 即 m ? 2 , 2 2 故存在实数 m ? 2 时,使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件.
则只要 ? (2)欲使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件,则只要 {x | x ? ?
2

m } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} , 2

则这是不可能的,

故不存在实数 m 时,使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件. (四)巩固练习: 1.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M N ”的
2

? 2. 0 ? x ? 5 是 | x ? 2 |? 3 的 条件. 3.直线 a , b 和平面 ? , ? , a // b 的一个充分条件是( ) A. a // ? , b // ? B. a // ? , b // ? ,? // ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b ? ? , ? ? ?

条件.

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 6,智能训练 2,7,8,15,16.


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