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博兴二中高二下学期第一次阶段测试数学题(选修2-2)


一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y ? x? x ? sin x 的导数为 cos (A) x cos x (B) ? x sin x (C) x sin x 2.下列四条曲线 (直线) 所围成的区域的面积是 (1) y ? sin x ;(2) y ? co s x ; (3) x ? ? ( ) (D) ?x cos x ( )

g ( x) ? x ln x2 ( x ? 0) 的极值点是 ? ,则有(
A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ?

) D. ? 与 ? 的大小不确定

8.若函数 f ( x) ? x 3 ? 12x 在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值 范围是[ ] B. ? 3 ? k ? ?1 或 1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

?
4

;(4) x ?

?
4
(D)

A. k ? ?3 或 ? 1 ? k ? 1 或 k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2

(A) 2

(B) 2 2

(C)0

2 2
]

9. 已知函数 f (x) = x 3 +a x 2 +b 的图象在点 P (1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行. 则 a、b 的值分别为( ). A -3, 2 B -3, 0 C 3, 0 D 3, -4 10.用反证法证明命题“ a,b ? N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a , b 至少有 1 个能 被 5 整除. ”则假设的内容是( ) A. a , b 都能被 5 整除 B. a , b 都不能被 5 整除 C. a 不能被 5 整除 D. a , b 有 1 个不能被 5 整除 ) 11.用数学归纳法证明不等式“
1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中,由 n ?1 n ? 2 2n 24

3. f (x) 和 g (x) 是 R 上的两个可导函数,若 f ( x) = g ( x) ,则有[ A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0
2 3

'

'

B. f ( x) ? g ( x) 是常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 是常数函数

4.已知两条曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在点 x 0 处的切线平行,则 x 0 的值为( A.0 5.若函数 y ? B. ?
2 3

C.0或 ? ]

2 3

n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边(


1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

D.0 或 1

6x ,则其[ x ?1 A.有极小值 ? 3 ,极大值 3
2

1 A.增加了一项 2( k ? 1)

B.增加了两项

C.增加了两项 B.有极小值 ? 6 ,极大值 6 D.无极值 D.增加了一项

1 1 1 ? ,又减少了一项 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1 1 1 ,又减少了一项 2( k ? 1) k ?1

C.仅有极大值 6

6. 已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为 3,则 的最大值 是( 3 A. 2 7. 若 函 ) 3 B. 3 数 1 C. 2

y x

12.如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则
2 x12 ? x2 等于(


4 3

D. 3

f ( x) ? x2 ln x( x ? 0) 的 极 值 点 是 ? , 函 数

8 12 D. 3 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

A.

2 3

B.

C.

0] 13.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [ ?3, 上的最大值与最小值分别为



21.如图,在曲线 y ? x 2 ( x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的 面积为
1 ,试求: 12

14.设 f ( x) ? e x ,则

?

4

?2

f ( x )dx ?



15.方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4 ? 0 与 x 轴的交点个数为————————. 16. 已 知 : △ ABC 中 , AD ? BC 于 D , 三 边 分 别 是 a,b,c , 则 有 a ? c cos B ? b cos C ; · · 类比上述结论, 写出下列条件下的结论: 四面体 P ? ABC 中, △ △ △ ABC , △PAB, PBC, PCA 的 面 积 分 别 是 S,S1,S2,S3 , 二 面 角 P ? AB ? C,P ? BC ? A,P ? AC ? B 的度数分别是 ?,?,? ,则 S ? . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤

(1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程.

1 1 1 17.求证:当 a、b、c 为正数时, (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9. a b c
18.下列三角形数表 1 2 3 4 4 2 3 -----------第一行 -----------第二行 -----------第三行 -----------第四行

22.已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? mx 在区间 (0,1) 上是增函数. (1)求实数 m 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1), an?1 ? ln(2 ? an ) ? an (n ? N ? ) , 证明: 0 ? an ? an?1 ? 1 .

7 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 假设第 n 行的第二个数为 an (n ? 2, n ? N * ) (1)依次写出第六行的所有数字;

(2)归纳出 an?1与an 的关系式并猜想 an 的通项公式. 19.用总长 14.8 的钢条做一个长方体容器的框架, 如果所做容器的底面的一边长比 另一边长多 0.5m,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
x 20.当 a ? 0时,函数 f ( x) ? a ? x 用反证法证明方程 a ?

x?2 在(-1,+∞)是增函数, x ?1

x?2 ? 0 没有负根. x ?1

答案 一、选择题:BADCA
? 二、 填空题: 13 3, 17

BABBB

CC 15 2 16. S1 cos ? ? S2 cos ? ? S3 cos ?

故 x0 ? (??,?1) 又 x0 ? ?1,? x0 ? 0或x0 ? ?1 时,f ( x0 ) 与假设矛盾
x ∴方程 f ( x) ? a ?

14 e2 ? e4 -2

x?2 ? 0 没有负根 x ?1

三、解答题 17、原式 ? (a ? b ? c)(

21、解:设切点 A( x0,y0 ) ,由 y ? ? 2 x ,过 A 点的切线方程为 y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ) ? (a ? b)( ? ) ? (a ? b) ? c( ? ) ? c ? a b c a b c a b c

?
? 5?

(a ? b) 2 1 c 1 c ? (a ? b)( ? ) ? 1 ? 4 ? (a ? b) ? 2 ? ?1 ab c ab c ab
? 5?4 ? 9 n2 n ? ?1 (2) an?1 ? an ? n(n ? 2) a n ? 2 2

x0 ?x ? 0 ,即 C ? 0 ,? . 2 ? 2 ? 设由曲线过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S ,
2 即 y ? 2x0 x ? x0 .令 y ? 0 ,得 x ?

S ? S曲边△ AOB ? S△ ABC,S曲边△ AOB ? ? x 2 dx ?
0

x0

1 3 x0 1 3 x |0 ? x0 , 3 3

2(a ? b) ab

x ? 2 1 3 1 1? 1 3 1 3 1 3 1 BC· AB ? ? x0 ? 0 ? x0 ? x0 .即 S ? x0 ? x0 ? x0 ? . · 2 2? 2? 4 3 4 12 12 , 所以 x0 ? 1 ,从而切点 A(11) ,切线方程为 y ? 2 x ? 1 . S△ ABC ?
' 22.解析: (1) f ( x) ? ?

18.(1)6,16,25,25,16,6

19、解:设该容器底面矩形的短边长为 x cm,则另一边长为 ( x ? 0.5) m,此容器的高 为y?
14.8 ? x ? ( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2 x , 4

1 ? m ,由于 f (x) 在区间 (0,1) 上是增函数,所以 2? x 1 1 ? m ? 0 在 (0,1) 上 恒 成 立 , 所 以 m ? ,而 f ' ( x) ? 0 , 即 ? 2? x 2? x 1 1 ? ? 1 ,所以 m ? 1 . 2 2? x

于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2x3 ? 2.2 x2 ? 1.6 x ,其中
4 (舍去) , 15 1.6) 1) 因为, V ?( x) 在 (0, 内只有一个极值点,且 x ? (0, 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递 , 增; x ? (11.6) 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递减;
0 ? x ? 1.6 ,即 V ?( x) ? ?6x2 ? 4.4x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ?

(2)由题意知,当 n=1 时, a1 ? (0,1) .假设当 n=k 时有 ak ? (0,1) ,则当 n=k+1 时, ak ?1 ? ln(2 ? ak ) ? ak ? ln 2 ? 0 ,且 ak ?1 ? ln(2 ? ak ) ? ak ? ln 2 ? 1 (由 (1)问知 f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在区间 (0,1) 上是增函数).所以当 n=k+1 时命题成 立 , 故 0 ? an ? 1, n ? N ? . 又 因 为 an?1 ? an ? ln(2 ? an ) ? 0 , 所 以

所以,当 x ? 1 时,函数 V ( x) 有最大值 V (1) ? 1? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ?1) ? 1.8m3 , 即当高为 1.2m 时,长方体容器的空积最大,最大容积为 1.8m 3 . 20、解:假设 f ( x) ? 0有负数根 0 ( x0 ? ?1),则f ( x0 ) ? 0 x

0 ? an ? an?1 ? 1 .

若 ? 1 ? x0 ? 0由题意得f ( x0 ) ? f (0) ? ?1, 故x0 ? (?1,0) 若x0 ? ?1, a x0 ? 0, x0 ? 2 ? 0, x0 ? 1 ? 0,? f ( x0 ) ? 0


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