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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:综合素质测试]


选修 2-3 综合素质测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1. (2014· 四川理, 6)六个人从左至右排成一行, 最左端只能排甲或乙, 最右端不能排甲, 则不同的排法共有( A.192 种 C.240 种 [答案] B [解析] 分两类:最左端排甲有 A5 5=20 种不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在
4 最右端,所以有 C1 4A4=96 种不同的排法,由加法原理可得满足条件的排法共有 216 种.

) B.216 种 D.288 种

2.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下: X P 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2

X P

100 0.1

115 0.2

125 0.1

130 0.4

145 0.2 )

现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标( A.期望与方差 C.卡方 χ2 [答案] A B.正态分布 D.概率

[解析] 检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较没动情况.故选 A. 3.(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是(


)

A.-20 C.15 [答案] C

B.-15 D.20

x 6 r r (12 [解析] 本小题考查二项展开式的指定项的求法.Tr+1=Cr · (-2 x)r=Cr 6(4 ) 6(-1) 2
- - -3r)x

,令 12-3r=0,∴r=4,∴T5=C4 6=15. ?D?X??2 4.设随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),则 等于( ?E?X??2 A.p2 C.1-p [答案] B B.(1-p)2 D.以上都不对 )

?D?X??2 [np?1-p?] [解析] 因为 X~B(n, p), (D(X))2=[np(1-p)]2, (E(X))2=(np)2, 所以 = ?E?X??2 ?np?2 =(1-p)2.故选 B.

2

5.(2014· 新课标Ⅱ理,5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率 是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质 量为优良的概率是( A.0.8 C.0.6 [答案] A [解析] 本题考查条件概率的求法. 设 A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则 P(B|A)= P?A∩B? 0.6 = =0.8,故选 A. 0.75 P?A? ) B.0.75 D.0.45

6.某小组有 8 名学生,从中选出 2 名男生,1 名女生,分别参加数、理、化单科竞赛, 每人参加一科,共有 90 种不同的参赛方案,则男女生的人数应是( A.男生 6 名,女生 2 名 B.男生 5 名,女生 3 名 C.男生 3 名,女生 5 名 D.男生 2 名,女生 5 名 [答案] C
1 3 [解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,所以 C2 nC8-nA3=90,得 n(n-1)(8-n)=30.

)

所以 n=3.故选 C. 7.某校高三年级举行一次演讲比赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位, 其他班有 5 位, 若采用抽签方式确定他们的演讲顺序, 则一班 3 位同学恰好被排在一起, 而二班 2 位同学没有被排在一起的概率为( 1 A. 10 1 C. 40 [答案] B
10 [解析] 基本事件总数为 A10 ,而事件 A 包括的基本事件可按“捆绑法”与“插空法”

) 1 B. 20 D. 1 120

求解.
10 10 个人的演讲顺序有 A10 种可能,即基本事件总数为 A10 10,一班同学被排在一起,二班

的同学没有被排在一起这样来考虑: 先将一班的 3 位同学当作一个元素与其他班的 5 位同学
2 一起排列有 A6 6种,二班的 2 位同学插入到上述 6 个元素所留 7 个空当中,有 A7种方法.依

3 2 A6 A3 · A7 1 6· 分步计数原理得不同的排法有 A6 A3 A2 = .故选 B. 10 6· 3· 7种.∴所求概率为 A10 20

8.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点随机抽取了 100 位居 民进行调查,经过计算 χ2 的观测值 χ2=99,根据这一数据分析,下列说法正确的是( A.有 99%的人认为该栏目优秀 B.有 99%的人认为栏目是否优秀与改革有关 C.有 99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D.以上说法都不对 [答案] C [解析] 当 χ2>6.635 时有 99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系.故选 C. 9.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 1 A. 2 [答案] D [解析] 考查互斥事件的概率加法公式. 甲获得冠军包括两种情况: 在接下来的比赛中, 第一局甲赢和第一局甲没赢,第二局甲赢. 1 1 1 3 ∴P= + ×(1- )= ,选 D. 2 2 2 4 10.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且各引擎是否有故障是 独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 p 的取 值范围是( 2 ? A.? ?3,1? 2 0, ? C.? ? 3? [答案] B
3 4, 2 [解析] 4 引擎飞机成功飞行的概率为 C3 4p (1-p)+p 2 引擎飞机成功飞行的概率为 p ,

)

)

3 B. 5

2 C. 3

3 D. 4

) 1 ? B.? ?3,1? 1 0, ? D.? ? 3?

1 4 2 要使 C3 4(1-p)+p >p ,必有 <p<1.故选 B. 3 11.如图,已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别为 D、E、F,从 A,B,C, D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线时,规定 X= 0),则 E(x)=( )

11 A. 40 7 C. 20 [答案] B

13 B. 40 D. 9 20

1 1 3 3 [解析] 由题意知 X 可取 0, , ,1,P(X=0)= 3= , 4 2 C6 20 1 10 1 P(X= )= = , 4 20 2 1 6 3 1 P(X= )= = ,P(X=1)= . 2 20 10 20 1 1 1 3 1 13 则 E(X)= × + × + = . 4 2 2 10 20 40 12.已知(1-2x)n 的展开式中,奇数项的二项式系数之和是 64,则(1-2x)n(1+x)的展开 式中,x4 的系数为( A.-672 [答案] D [解析] 由 2n 1=64,所以 n-1=6,n=7.则(1-2x)7(1+x)的展开式中含 x4 的项为:C4 7


) B.672 C.-280 D.280

3 3 3 4 4 4 (-2x)4+C7 (-2x)3x=(24C4 7-2 C7)x =280x ,所以 x 的系数为 280.故选 D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率 16 为 ,则该队员每次罚球的命中率为________. 25 [答案] 3 5

16 [解析] 设“每次罚球命中”为事件 A,由题意 P( A )· P( A )+2P(A)· P( A )= 即[1- 25 16 3 P(A)]2+2P(A)· [1-P(A)]= ,即得 P(A)= . 25 5 14.如下图,A、B、C、D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来, 则不同的建桥方案共有______种.

[答案] 16 [解析] 一类:从一个岛出发向其它三岛各建一桥.共有 C1 4=4 种; 二类:一个岛最多建两座桥如 A—B—C—D 与 D—C—B—A 这样两个排列对应一种建 A4 4 桥方法,因此共有 =12 种,据分类计数原理共有 16 种. 2 15.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2、- 3、- 5 5 、0、 、 2 2

3、2 2,用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=____________. [答案] 4 7

[解析] 求数学期望,关键是求出其分布列.根据题意,先确定 ξ 的所有可能的取值, 再计算概率,从而列出分布列. 1 1 当 l 的斜率 k 为± 2 2时,直线方程为± 2 2x-y+1=0,此时 d1= ;k=± 3时,d2= ; 3 2 5 2 k=± 时,d3= ;k=0 时,d4=1.由等可能事件的概率可得分布列如下: 2 3 ξ P 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 2 7 1 1 7

1 2 1 2 2 2 1 4 ∴E(ξ)= × + × + × +1× = . 3 7 2 7 3 7 7 7 a?9 3 16.若? ?x-x? 的展开式中 x 的系数是-84,则 a=________. [答案] 1 a?r 9-r? r r 9-2r 3 3 3 [解析] 由 Tr+1=Cr 9x ?-x? =(-a) C9x 得 9-2r=3,得 r=3,x 的系数为(-a) C9 =-84,解得 a=1. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)若在二项式? 求展开式中的有理项. [解析] ?

? x+ 1 ?n 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列, 2 x? ?

? x+ 1 ?n 1 - 0 1 ( x)n,T2=Cn ( x)n 1· ,T3=C2 n 4 ? 的展开式中前三项是:T1=Cn· 4 2 x? ? 2 x

? 1 ? 1 1 1 2 1 1 1 2 - 0 ( x)n 2? 4 ?2,其系数分别是:C0 n, Cn, Cn,且 2× Cn=Cn+ Cn,解之得 n=1 或 n=8, 2 4 2 4 ?2 x ?
n=1 不符合题意应舍去,故 n=8.当 n=8 时,Tr+1=Cr ( 8· 3r ? 1 ?r r 1 16- 4 x) · · x ,Tr ? 4 ? =C8· 2r ?2 x?
8-r

+1

16-3r 为有理项的充要条件是 ∈Z,所以 r 应是 4 的倍数,故 r 可为 0,4,8,故所有有理项 4

35 1 为 T1=x4,T5= x,T9= . 8 256x2 [说明]
r r n 求展开式中特定项或特定项的系数,利用二项展开式的通项公式 Tr+1=Cr na


b. 18. (本题满分 12 分)在一次合唱中有 6 个女生(其中有 1 个领唱)和 2 个男生分成两排表

演. (1)每排 4 人,问共有多少种不同的排法? (2)领唱站在前排,男生站在后排,还是每排 4 人,问有多少种不同的排法? [解析] (1)要完成这件事,必须分三步:第一步,先从 8 人中选 4 人站在前面,另 4 人
4 4 站在后面,共有 C4 C4 8· 4=C8种不同的排法;第二步,前面 4 人进行排列,有 A4种排法;第三

步,后面 4 人也进行排列,有 A4 4种排法.三步依次完成,才算这件事完成,故由分步乘法
4 4 计数原理有 N=C4 8A4A4=403 20 种不同的排法. 4 4 (2)同理有 N=C3 5A4A4=5 760 种不同的排法.

19.(本题满分 12 分)一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品,用户先 对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不 放回箱子);若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就 立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 ξ,求 ξ 的分布列. [解析] (1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A, 8×7×6 7 则 P(A)= = . 10×9×8 15 7 即这箱产品被用户接收的概率为 . 15 (2)ξ 的可能取值为 1,2,3. 2 1 P(ξ=1)= = . 10 5 8 2 8 P(ξ=2)= × = . 10 9 45 8 7 28 P(ξ=3)= × = . 10 9 45

∴ξ 的分布列为: ξ P 1 1 5 2 8 45 3 28 45

20.(本小题共 12 分)(2014· 山东理,18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分,如图,甲 上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D.某次测试要求队员接到 落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其 1 它情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概 2 1 1 3 率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设 3 5 5 共有两次来球且落在 A、B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

[解析] (1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 1 则 P(A3)= ,P(A1)= , 2 3 1 1 1 P(A0)=1- - = ; 2 3 6 记 Bi 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 3 则 P(B3)= ,P(B1)= , 5 5 1 3 1 P(B0)=1- - = . 5 5 5 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性, P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 1 1 1 1 1 3 1 1 3 = × + × + × + × = , 2 5 3 5 6 5 6 5 10 3 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 . 10 (2)由题意,随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性,得 1 1 1 P(ξ=0)=P(A0B0)= × = , 6 5 30 P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1) 1 1 1 3 1 = × + × = , 3 5 6 5 6 1 3 1 P(ξ=2)=P(A1B1)= × = , 3 5 5 P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3) 1 1 1 1 2 = × + × = , 2 5 5 6 15 P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3) 1 3 1 1 11 = × + × = , 2 5 3 5 30 1 1 1 P(ξ=6)=P(A3B3)= × = . 2 5 10 可得随机变量 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 30 1 1 6 2 1 5 3 2 15 4 11 30 6 1 10

1 1 1 2 11 1 91 所以,数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . 30 6 5 15 30 10 30 21.(本题满分 12 分)某城市一个交通路口原来只设有红绿灯,平均每年发生交通事故 80 起,案件的破获率为 70%,为了加强该路口的管理,第二年在该路口设置了电子摄像头, 该年发生交通事故 70 起,共破获 56 起,第三年白天安排了交警执勤,该年发生交通事故 60 起,共破获了 54 起. (1)根据以上材料分析,加强管理后的两年该路口的交通状况发生了怎样的变化? (2)试采用独立性检验进行分析,设置电子摄像头对该路口交通肇事案件的破获产生了 什么样的影响?设置电子摄像头和交警白天执勤的共同作用对该路口交通肇事案件的破获 产生了什么样的影响? [解析] (1)由统计数据可知,没有采取措施之前,案件的发生较多,并且破获率只有

70%,安装电子摄像头之后,案件的发生次数有所减少,并且破获率提高到了 80%,白天安 排交警执勤后,案件的发生次数进一步减少,并且破获率提高到了 90%.由此可知,电子摄 像头对遏制交通案件的发生起到了一定作用, 并且给破案带了一定的帮助, 而安排交警执勤 对这些的影响更大. (2)根据所提供的数据可以绘制对应的 2×2 列联表如下: 破获的案件 未破获的案件 合计

未采取措施 安装摄像头 合计

56 56 112

24 14 38

80 70 150

破获的案件 未采取措施 安装摄像头及交警执勤 合计 56 54 110

未破获的案件 24 6 30

合计 80 60 140

从如图所示的条形图容易看出,安装电子摄像头后,破案率有了提高,实行交警执勤后 案件的破获率有了明显提高,这说明两种措施对案件的破获都起到了一定的积极作用.

先分析电子摄像头对破案的影响可信度, 令 a=56,b=24,c=56,d=14, n?ad-bc?2 构造随机变量 χ2= = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 150×?56×14-24×56?2 ≈1.974. 80×70×112×38 其中 n=a+b+c+d.而查表可知, P(χ2≥1.323)=0.25.且 1-0.25=0.75=75%,因此约有 75%的把握认为,安装电子摄像 头对案件的破获起到了作用.

再分析安装电子摄像头及交警执勤的情况, 同样令 a=56,b=24,c=54,d=6,则 n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 140×?56×6-24×54?2 ≈8.145, 80×60×110×30

其中 n=a+b+c+d.

而查表可知,P(χ2≥6.635)=0.01,且 1-0.01=0.99=99%,因此约有 99%的把握认为 安装电子摄像头及交警执勤对案件的破获起到了作用. 22.(本题满分 14 分)袋中装有标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球, 按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望; (3)取球一次计分介于 20 分到 40 分之间的概率. [解析] (1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A, 则 P(A)= 2 = . 3
1 2 1 2 C2 C1 C2 1 C2 C1 C2 2· 2+C2· 4· 2+C4· (2)由题意, ξ 的可能取值为: 2,3,4,5, P(ξ=2)= = , P(ξ=3)= 3 3 C10 30 C10 1 2 1 2 C2 C1 C2 3 C2 C1 C2 8 2 6· 2+C6· 8· 2+C8· = ,P(ξ=4)= = ,P(ξ=5)= = , 3 3 15 C10 10 C10 15 3 C3 ?C1 5· 2? 3 C10

所以 ξ 的分布列如下表: ξ P 因此 ξ 的数学期望为 1 2 3 8 13 E(ξ)=2× +3× +4× +5× = . 30 15 10 15 3 (3)“取球一次计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C,则 P(C)=P(ξ=3 或 ξ=4) 2 3 13 =P(ξ=3)+P(ξ=4)= + = . 15 10 30 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15


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