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重庆市巴蜀中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题

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重庆市巴蜀中学 2016-2017 学年高一上学期期末考试数学试 题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.sin(?690°) =( A.
1 2

) C.
3 2

B. ?

1 2

D. ?

3 2

2.设集合 = {| A. [? 2 ,1)
1

2+1

?2

≤ 0}, = {| < 1},则 ∪ =( C. (?1,2)

) D. [? 2 ,2) )
1

B. (?1,1) ∪ (1,2)

3. 已知向量 = (3,1), = (, ? 2), = (0,2), 若 ⊥ ( ? ), 则实数的值为 ( A.
4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3 1

4.已知 = sin153°, = cos62°, = log1 3,则(
2

) D. > > )

A. > >
1 2

B. > >
1

C. > >
1 3

5.在△ 中,点满足 = 3,且 = + ,则? =( A. B. ? 2 C. ? 3
1

D.

6.已知函数() = sin( + ),( > 0, > 0,0 < < ),其部分图象如下图,则 函数()的解析式为( )

A. () = 2sin(2 + 4) C. () = 2sin( + )
4 4 2 1 3

1



B. () = 2sin(2 + 4 ) D. () = 2sin(2 + )
4

1

3



7.函数() = (1 ? 1+2)tan的图象(



试卷第 1 页,总 4 页

A. 关于轴对称

B. 关于轴对称

6

C. 关于 = 轴对称

D. 关于原点轴对称 )

8.为了得到函数 = sin(2 ? )的图象,可以将函数 = cos2的图象( A. 向右平移6个单位长度 C. 向左平移6个单位长度


B. 向右平移3个单位长度 D. 向左平移3个单位长度 )




9. 不等式| ? 3| ? | + 1| ≤ 2 ? 3对任意实数恒成立, 则实数的取值范围是 ( A. (?∞,1] ∪ [4, + ∞) B. [?1,4] C. [?4,1] D. (?∞, ? 4] ∪ [1, + ∞)

10.将函数 = ?2的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到函数(),则函 数()的图象与函数 = 2sin(?2 ≤ ≤ 4)的图象的所有交点的横坐标之和等于 ( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11.设函数() = ? |ln(?)|的两个零点为1 ,2 ,则( ) A. 1 2 < 0 B. 1 2 = 1 C. 1 2 > 1 D. 0 < 1 2 < 1 12 . 已 知 定 义 在 上 的 偶 函 数 () 满 足 ( + 1) = ?() , 且 当 ∈ [?1,0] 时 , )

?3

() = 4 + 8, 函数() = log1 | + 1| ? 8, 则关于的不等式() < ()的解集为 (
2

3

1



A. (?2, ? 1) ∪ (?1,0) C. (? , ? 1) ∪ (?1, ? )
4 4 5 3

B. (? 4 , ? 1) ∪ (?1, ? 4) D. (? , ? 1) ∪ (?1, ? )
2 2 3 1

7

1

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
1

13.8?3 + log3 tan210° =__________. 14.已知向量|| = 1,|| = 2, ⊥ ( + ),则向量与的夹角为__________. 15.某教室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)变化近似地满足函数关系:

( ) = 20 ? 2sin(24 ? 6), ∈ [0,24],则该天教室的最大温差为__________℃.
16 . 若 函 数 () = { __________. 评卷人 得分 三、解答题 17.已知0 < < ,sin( ? ) + cos( + ) = . (1)当= 1时,求; (2)当=
5 5





3 ? , < 1

2 ? 3 + 22 , ≥ 1

恰 有 两 个 零 点 , 则 实 数 的 取 值 范 围 为

时,求tan的值.
2? 3+

18.已知函数() = (1)求 ;

+ ln(3 ? )的定义域为 .
1 3

(2)当 ∈ 时,求() = 4+2 ? 2+2 + 1的值域. 19. 已知函数() = 2sin( + ), ( > 0,|| < 2)的最小正周期为, 且图象关于 = 3对 称. (1)求 和的值; (2)将函数()的图象上所有横坐标伸长到原来的 4 倍,再向右平移3个单位得到函数


1

()的图象,求()的单调递增区间以及() ≥ 1的取值范围. 20.已知() = | ? |( ∈ ). (1)若 = 1,解不等式() < 2; (2)若对任意的 ∈ [1,4],都有() < 4 + 成立,求实数的取值范围. 21.已知函数()为上的偶函数,()为上的奇函数,且() + () = log4 (4 + 1). (1)求(),()的解析式;
(2)若函数() = () ? 2 log2 ( ? 2 + 2 2)( > 0)在上只有一个零点,求实数的
1

取值范围. 22.已知() = 2 ? 2( + 1) + 3( ∈ ). (1)若函数()在[2 ,3]单调递减,求实数的取值范围;
3

试卷第 3 页,总 4 页

(2)令() = 取值范围.

() ,若存在1 ,2 ?1

∈ [ ,3],使得|(1 ) ? (2 )| ≥
2

3

+1
2

成立,求实数的

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.A 【解析】 sin(?690°) = sin(720° ? 690°) = sin30° = 2,故选 A. 2.C 【解析】 因为 = {| ? ≤ < 2}, = {| ? 1 < < 1},所以 ∪ = {| ? 1 < < 2},故选 C.
2 1 1

3.A 【解析】 因为 ? = (, ?4), ⊥ ( ? ),所以3 ? 4 = 0,故 = ,故选 A.
3 4

4.D 【解析】 因 = sin27°, = sin28° ? < < 1, = 5.B 【解析】 因 = 3, 故 ? = 3( ? ), 则 = 4 + 4 , 又 = + , 所以= 4 , = 4, 即? = ? = ? ,故选 B.
4 2 2 1 1 3 1 3 lg3 lg2

> 1,故选 D.

6.B 【解析】 结合图象可以看出A = 2, T = 4π,故ω = 2,又sin 7.B 【解析】 因(?) = (1 ? 1+2?)tan(?) = ?(1 ? 1+2)tan = ?(1+2)tan = (), 故 = ()是偶函数, 故选 B. 8.B 【解析】 因 = cos2 = sin(2 + ) = sin2( + ),故向右平移 个单位长度即可得到函数 = sin(2 ?
2 4 3 2 2?2 1?2 1


4

+ = 0,则φ = 4 ,故选 B.

3








6

)的图象,故选 B.

9.A 【解析】 因| ? 3| ? | + 1| ≤ 4,故2 ? 3 ≥ 4,解之得 ≤ ?1或 ≥ 4,故选 A. 10.D 【解析】 因 = 1 ?
1

?2

,故左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到函数() = ?
答案第 1 页,总 6 页

1

?1

,由于该函数

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与函数 = 2sin的图像都关于点(1,0)成中心对称,则1 + 2 = 2,又因为两个函数的图像 有四个交点,所以其交点的横坐标之和为2 × 4 = 8,故选 D. 11.D 【解析】 由 题 设 可 得 = |ln(?)| , 画 出两 函数 = , = |ln(?)| 的 图 象 如图 , 结合 图象 可 设 1 < ?1, ?1 < 2 < 0 , 因 1 < 2 , 故 1 ? 2 = ln(?1 ) + ln(?2 ) = ln(1 2 ) < 0 , 则 0 < 1 2 < 1,故选 D.

12.D 【解析】 解 析 : 因 ( + 2) = ?( + 1) = () , 故 函 数 () 是 周 期 为 2 的 偶 函 数 , 如 图 , 当

= ? 2 , = ? 2时,两函数的图像相交,故当 ∈ (? 2 , ?1) ∪ (?1, ? 2)时,() < (),应
选答案 D。

1

3

3

1

13.0 【解析】 因 8?3 = 2?1 = , tan210° = tan30° =
1 2
1

1 3

= 3?2 ,故 8?3 + tan210° = + log3
1 2

1

1

1 3

= ? = 0 ,应
2 2

1

1

答案第 2 页,总 6 页

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填答案0. 14.120° 【解析】 因|| = 1, || = 2,且2 + ? = 0,故2cos < , >= ?1,即两向量与的夹角为120°,应 填答案120°. 15.3 【解析】 因 0 ≤ <24 , 故 ? ≤
6




24

? <
6



5 6

,故当


24

? = ? 时 , ( ) 取 最 大 值 max( ) = 20 ?
6 6





2sin(? 6) = 21 ;当 24 ? 6 = 2 时, ( ) 取最小值 min ( ) = 20 ? 2sin 2 = 18 ;故最大温差是 21 ? 18 = 3,应填答案3. 16.[ ,1) ∪ [3, + ∞)
2 1











【解析】 由() = 0可得当 < 1时, 0 < = 3 < 3, 则函数() = ( ? )( ? 2)的两个零点分居在

= 1的两侧,即2 ≥ 1且 < 1时,即2 ≤ < 1,若 ≥ 3, = 3 < 3无解,所以函数()的
1

两个零点 ≥ 1,2 ≥ 1符合题设,故 ≥ 3;综上所求实数的取值范围是2 ≤ < 1或 ≥ 3, 应填答案[2 ,1) ∪ [3, + ∞). 17. (1) = 2;(2)tan = 2. 【解析】 (1)由已知得:sin ? cos = 1,所以1 ? 2sincos = 1,∴sincos = 0, 又0 < < ,∴cos = 0,∴ = .
2 1

1





(2)当=

5 5

时,sin ? cos =
1 5

5 5

.①
2 5

法 1:1 ? 2sincos = ,∴sincos = > 0,∴0 < < ,
2



∵(sin + cos)2 = 1 + 2sincos = ,∴sin + cos =
5

9

3 5 5

.②

由①②可得sin =

2 5 5

,cos =

5 5

,∴tan = 2.
1 1

法 2:sin2 ? 2sincos + cos2 = 5 = 5 (sin2 + cos2 ) ∴2sin2 ? 5sincos + 2cos2 = 0,∴2tan2 ? 5tan + 2 = 0, ∴tan = 2,tan = 2,又1 > sin ? cos = ∴tan = 2. 18. (1)= (?1,2];(2)[?1,17]. 【解析】
答案第 3 页,总 6 页
1 5 5

> 0,∴4 < < 2,∴tan > 1,





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2?

≥0 ?3 < ≤ 2 3+ (1)由已知可得{ ?{ ,∴?1 < ≤ 2,所以= (?1,2]. 1 > ?1 3 ? >0
3

(2) = 4+2 ? 2+2 + 1 = 2 ? 22 ? 4 ? 2 + 1 = 2(2 ? 1)2 ? 1, ∵?1 < ≤ 2, ∴2 < 2 ≤ 4, 所以当2 = 1, 即 = 0时, ()min = ?1, 当2 = 4, 即 = 2时,
1

1

()max = 17,所以()的值域为[?1,17].
19. (1) = ? 6; (2) 单调增区间为[4 ? 3 , 4 + 3 ], ∈ ,所求取值范围为[4 + , 4 +
7 3





5

], ∈ .

【解析】 (1)由已知可得 = ,∴ = 2, 又()的图象关于 = 对称,
3 2



∴2 ? 3 + = + 2,∴ = ? 6,∵? 2 < < 2,∴ = ? 6. (2)由(1)可得() = 2sin(2 ? 6),∴() = 2sin(2 ? 3), 由2 ? ≤ ? ≤ 2 + ,得4 ? ≤ ≤ 4 + ,
2 2 3 2 3 3















1





1







5

()的单调递增区间为[4 ? 3 ,4 + 3 ], ∈ .
∵sin( ? ) ≥ ,∴2 + ≤ ? ≤ 2 + ,
2 3 2 6 2 3 6 1



5



1



1



5

∴4 + ≤ ≤ 4 + , ∈ .
3

7

20. (1) 0,3 ∪ (?∞, ? 1);(2) 2,5 . 【解析】

> 0 > 0 (1)由已知得:| ? 1| < 2,∴{ ?{ ? 0 < < 3, | ? 1| < 2 ?1 < < 3 < 0 < 0 或{ ?{ ? < ?1, | ? 1| > 2 < ?1 或 > 3
所以不等式的解集为 0,3 ∪ (?∞, ? 1). (2)因为1 ≤ ≤ 4,所以| ? | < + 1,∴ ? ? 1 < < + + 1, 令() = ? ? 1,显然()在 ∈ [1,4]上是增函数,()max = (4) = 2, 令() = + + 1,则()在[1,2]单减,在[2,4]单增,所以()min = (2) = 5, ∴2 = ()max < < ()min = 5,∴2 < < 5. 21. (1)() = log4 (4 + 1) ? ,() = ;(2) = 或 ≥ 1.
2 2 2 4 4 4 4 4





1

答案第 4 页,总 6 页

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【解析】 (1)因为() + () = log4 (4 + 1)……①, ∴(?) + (?) = log4 (4? + 1),∴() ? () = log4 (4 + 1) ? ……② 由①②得,() = log4 (4 + 1) ? 2,() = 2. (2)由() = () ? 2 log2 ( ? 2 + 2 2) = log4 (4 + 1) ? 2 ? 2 log2 ( ? 2 + 2 2)
1 1







= log2 (22 + 1) ? ? log2 ( ? 2 + 2 2) = 0.
1 2 1 2 2



得:log2

22+1 2

= log2 ( ? 2 + 2 2) ? ( ? 1)22 + 2 2 ? 2 ? 1 = 0,

令 = 2,则 > 0,即方程( ? 1) 2 + 2 2 ? 1 = 0……(*)只有一个大于 0 的根, ①当 = 1时, =
2 4

> 0,满足条件;
?1

②当方程(*)有一正一负两根时,满足条件,则?1 < 0,∴ > 1, ③当方程 ( *) 有两个相等的且为正的实根时, 则 = 82 + 4( ? 1) = 0, ∴ = , = ?1 (舍
2 1

去) ,

= 2时, = 2 > 0,综上: = 2或 ≥ 1.
22. (1) ≤ ;(2) ∈ (?∞,
2 1 5? 7 8

1

1

] ∪ [ , + ∞).
5

4

【解析】 (1)①当 = 0时,() = ?2 + 3,显然满足, > 0 < 0 1 1 ②{+1 ≥ 3 ? 0 < ≤ 2,③{+1 ≤ 3 ? < 0,综上: ≤ 2.

2

(2)存在1 ,2 ∈ [ ,3],使得|(1 ) ? (2 )| ≥
2

3

+1
2

成立即:

在 ∈ [2 ,3]上,()max ? ()min ≥
()
1?

3

+1
2


1

因为() = ?1 = ( ? 1) + ?1 ? 2,令 = ? 1 ∈ [2 ,2], 则( ) = ? +
1?



? 2, ∈ [ ,2].
2 1

1

(i)当 ≤ 0时,( )在 ∈ [2 ,2]单调递减,所以( )max ? ( )min ≥ 等价于(2) ? (2) ≥
1

+1
2



+1
2

? ≤ 7,所以 ≤ 0.
1?

2

(ii)当0 < < 1时,( ) = ( +





) ? 2,

( )在(0,

1?



]上单调递减,在[

1?



, + ∞)上单调递增.

答案第 5 页,总 6 页

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①当

1?



≤ 时,即 ≤ < 1,( )在 ∈ [ ,2]单调递增.
2 5 2

1

4

1

由( )max ? ( )min ≥ ②当
1?

+1
2

得到(2) ? ( ) ≥
2 1

1

+1
2 1

? ≥ ,所以 ≤ < 1.
5 5

4

4



≥ 2时,0 < ≤ 5时,( )在 ∈ [2 ,2]单调递减,
+1
2 1

由( )max ? ( )min ≥ ③当2 <
1 1?

得到( ) ? (2) ≥
2 4

1

+1
2

? ≤ ,所以0 < ≤ .
7 5 1?

2

1



< 2,即5 < < 5时,( )min = (
1 3



),最大值则在(2)与(2)中取较大者,

1

作差比较(2) ? (2) = 3 ? 2,得到分类讨论标准: a. 当 < < 时,(2) ? ( ) = 3 ? < 0,此时( )max = ( ),
5 2 2 2 2 1 1 1 3 1

由( )max ? ( )min ≥ 得到( ) ? (
2 1 1?

+1
2

, ? 322 ? 40 + 9 ≥ 0 ? ≥
5+ 7 8



)≥

+1
2

或 ≤

5? 7 8



所以5 < ≤
1

1

5? 7 8 4

.
1 3

b. 当2 ≤ < 5时,(2) ? (2) = 3 ? 2 > 0,此时( )max = (2), 由( )max ? ( )min ≥
+1
2

,得到(2) ? (

1?



)≥

+1
2

? ≥ 2 (1 ? ) ? ≥ ,所以此时
5

4

∈ ?,
在此类讨论中, ∈ (0,
5? 7 8

] ∪ [ ,1).
5

4

c. 当 ≥ 1时,( )在 ∈ [ ,2]单调递增,由( )max ? ( )min ≥
2

1

+1
2



得到(2) ? (2) ≥

1

+1
2

? ≥ 5,所以 ≥ 1,
5? 7 8

4

综合以上三大类情况, ∈ (?∞,

] ∪ [5 , + ∞).

4

答案第 6 页,总 6 页