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【优化指导】高考数学总复习 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例课件 新人教A版_图文

第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例 考纲要求 考情分析 1.从考查内容看,应用正(余)弦定理解 能够运用正弦 实际问题在高考中经常出现,借以考 定理、余弦定理等 查正(余)弦定理及三角知识的运用. 知识和方法解决一 2.从考查形式上看,三种题型都可出 些与测量和几何计 现;若以选择题、填空题形式出现, 算有关的实际问题. 难度较小;若以解答题形式出现,难 度中等. 一、有关概念 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 上方 的 角 叫 仰角,在水平线 下方 的角叫俯角(如图①). 2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,叫方位 角.如B点的方位角为α(如图②). 仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示: 三者的参照不同,仰角与俯角是相对于水平线而言 的,而方位角是相对于正北方向而言的. 3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针 旋转α°到达目标方向. (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡 角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比). 二、解三角形在实际中的应用及解题步骤 解三角形在实际中的应用非常广泛,如测量、航海、几 何、物理等方面都要用到解三角形的知识.解题的一般步骤 是: 1.分析题意,准确理解题意.分清已知与所求,尤其要理 解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、视角、方位角 等. 2.根据题意画出示意图. 3.将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解.演算过程中, 要算法简练,计算正确. 4.检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍,并 作出答案. 1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α, β之间的关系是( A.α>β C.α+β=90° 答案:B ) B.α=β D.α+β=180° 2. 如图所示,为了测量某障碍物两侧 A 、 B 间的距离,给定 下列四组数据,不能确定A、B间距离的是( A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b ) 解析:选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB. 选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似. 答案:A 3 .如图所示, D , C , B 三点在地面的同一直线上, DC = a ,从 C , D 两点测得 A点的仰角分别为 60°, 30°,则 A 点离地 面的高度AB等于( ) 1 A. a 2 C. 3a 3a B. 2 3 D. 3 a 解析:∵∠DAC=∠ACB-∠D=60° -30° =30° , ∴AC=CD=a,在 Rt△ABC 中, 3 AB=AC· sin 60° = a. 2 答案:B 4 .在相距 2 千米的 A , B 两点处测量目标 C ,若∠ CAB = 75°,∠ CBA = 60°,则 A 、 C 两点之间的距离是 ________ 千 米. 解析:如图所示,在△ABC 中, ∠ACB=180° -(75° +60° )=45° . 根据正弦定理,得 ABsin B 2sin 60° AC= sin C = sin 45° = 6(千米). 答案: 6 5.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得A灯塔在海轮的北 偏东 15°方向,与海轮相距 20 海里的 B 处,随后海轮按北偏西 60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏 东75°的方向,则海轮的速度为________海里/分. 解析:由已知得∠ACB=45° ,∠B=60° , AC AB 由正弦定理得sin B= , sin∠ACB AB· sin B 20×sin 60° 所以 AC= = sin 45° =10 6, sin∠ACB 10 6 6 所以海轮航行的速度为 = (海里/分). 30 3 6 答案: 3 测量距离问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的距离问题. 【典例剖析】 在某港口 O 某人要将一件重要物品用小艇送到一艘 正在航行的轮船上, 在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 B 处, 并以 30 海里/小时的航行速度 4 沿正东方向匀速行驶, 若小艇用3小时将物品送到, 求小艇航行 的距离. 画出图形 → 在△OBC中,OB、BC及∠B已知 → 用余弦定理求OC → 结论 解:根据题意,画出图形如图所示,小艇 4 4 将物品送到时用了 3 小时,这时轮船航行了 3 ×30=40(海里). 在△OBC 中,OB=20,BC=40,∠B=60° , 由余弦定理,得 OC2=OB2+BC2-2· OB· BC· cos 60° =202 1 +40 -2×20×40×2=1 200,∴OC=20 3,即小艇航行的距 2 离为 20 3海里. 求解实际中距离问题的注意事项 (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形 中,建立一个解三角形的模型. (2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模 型的解. (3)应用题要注意作答. 【活学活用】 1.某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D 处,已知CD=6 km,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现 于地面点B处时,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,如图,求 炮兵阵地到目标的距离. 解:在△ACD 中,∠CAD=180° -∠ACD-∠ADC=60° , CD=6,∠ACD=45° , CDsin 45° 根据正弦定理有 AD= sin 60° = 2 3 CD. 同理,在△BCD 中,∠CBD=180° -∠B