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徐州一中2014届高三数学五月冲刺卷(含答案)


徐州一中 2014 届高三数学五月冲刺卷
一、填空题:本 大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 函数 y ? sinπxcosπx 的最小正周期是 .

2. 若复数错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。为虚数单位) 是纯虚数,则实数错误!未找到引用源。的值为 . 3. 设直线是 y ? 3x ? b 是曲线 y ? e x 的一条切线,则实数 b 的值是 .

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 (3, 0) ,则该双曲线的渐近线方程为________. 4 b

5. 下面左图是某小组在一次测验中的数学成绩的茎叶图,则平均成绩是______ 6.定义某种新运算 ? :S=a ? b 的运算原理如下右图所示,则 5 ? 4-3 ? 6= .

6 7 8 9

19 37 46 6

x2 y2 1 a ? b ? 0) 7、 已知正方形 ABCD 的四个顶点在椭圆 2 ? 2 ?( 上, AB∥ x 轴, AD 过左焦点 F, a b
则该椭圆的离心率为 .

8. 已知数列 {an } 的通项公式 an ? n 2 ? (6 ? 2? ) n ? 2014 ,若 a6 或 a7 为数列 {an } 的最小项,则 实数 ? 的取值范围是

3 9.在区间 ?t , t ? 1? 上满足不等式 x ? 3 x ? 1 ? 1 的解有且只有一个,则实数 t ?



10. 给出下列四个结论: ①命题“ ?x ? R, x ? x ? 0" 的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”;
2 2

②“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2 2

1

③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g ( ? x) ? g ( x), 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

11. ⊙A:(x-3)2+(y-5)2=1,⊙B:(x-2)2+(y-6)2=1,P 是平面内一动点,过 P 作⊙A、⊙B 的切 线,切点分别为 D、E,若 | PD |?| PE |, O(0,0),则 | PO | 的最小值为 12、设 等 差 数 列 ?a n ? 满 足 : .

2 2 sin 2 a3 ? cos 2a 3? cos 2 a cos a ? a2 6 3 6 sin a sin 3 ?1 , 公 差 sin(a4 ? a5 ) d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是

2 13、 已知数列 {an } 的首项 a1 ? a ,其前 n 和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n (n ? 2) .若对任意的

n ? N * , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是
14、记实数 x1 , x2 ,



, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,

, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,

, xn } .已知实

数 1 ? x ? y 且三数能构成三角形的三边长,若 t ? max ? ,

?1 x ? ?1 x ? , y ? ? min ? , , y ? ,则 t 的取值 ?x y ? ?x y ?

范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2) 令 ? ? 2 , 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位 , 再往上平移 1 个单位 , 得到函数 6

y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能
值.

A

A'

16. 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知平面 ABB1 A1 ?
2
B O C B' C'

平面 CBB1C1 , AB ? BB1 ? BC ? 2 , ?ABB1 ? ?CBB1 ? 600 ,棱 BB1 的中点为 O . (1)求证: 面AOC ? 面AA 1C1C ; (2)求点 A1 到平面 AOC 的距离.

17.如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD,两根钢管相距 1m,AB ? 10 3 m,CD ? 3 3 m, 现用钢丝绳对这两根钢管进行加固, 在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处, 形成一个直线型的加固.设 BE= x(m) ,∠EFD=θ(rad), EF ? l (m) . (1)试将 l (m) 分别表示成 x(m) ,θ(rad)的函数; (2)选择其中一个函数模型求 l (m) 的最小值,并求相应的 x(或 θ) 的值.

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点 F(1,0).过点 F 作斜率为 k(k?0) 2 a b 2 的直线 l,交椭圆 G 于 A、B 两点,M(2,0)是一个定点.如图所示,连 AM、BM,分别交椭圆
已知椭圆 G: G 于 C、D 两点(不同于 A、B) ,记直线 CD 的斜率为 k1 . (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)在直线 l 的斜率 k 变化的过程中,是否存在一个常 数? , 使得 k1 ? ? k 恒成立?若存在, 求出这个常数 ? ; 若不存在,请说明理由.

3

19.设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N * , 2 Sn 是 an ? 2 和 an 的等比中项. (Ⅰ)证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? ? ?L L ? ? 1; 2 S1 S2 Sn
2 an 恒成立,试问:这样的正整数 m 共有多少个? 2

(Ⅲ)设集合 M ? {m m ? 2k , k ? Z , 且 1000? k ? 1500 } , 若存在 m ∈ M , 使对满足 n ? m 的一切正整数 n ,不等式 2S n ? 4200 ?

2 ? 6 ,其中 a 为实常数. x (1)若 f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; 3 (2)已知 a ? , P 1, P 2 是函数 f ( x ) 图象上两点,若在点 P 1, P 2 处的两条切线相互平行, 4 求这两条切线间距离的最大值; (3)设定义在区间 D 上的函数 y ? s ( x ) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? t ( x) ,当 x ? x0 时, s ( x) ? t ( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称点 P 为函数 y ? s ( x ) 的“好点” 若 .试问函数 g ( x) ? x 2 f ( x) 是 x ? x0
20.已知函数 f ( x) ? ax ? 否存在“好点” .若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说明理由.

4

附加题部分 (满分40分,时间30分钟)

?x=2(t+ t ), 1.将参数方程? 1 (t 为参数)化为普通方程. y = 4( t - ? t)
1

2.已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下,点 A(1, 2) 变成了点 A?(7,10) ,点 B(2, 0) 变成 了点 B?(2, 4) ,求矩阵 M 的逆矩阵 M
?1



3.张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到
5

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

公司上班有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率 均为

1 3 3 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 2 4 5

(1)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (2)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望;

4.如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不 同的染色方法种数记为 an 。求 (1) a1 , a2 , a3 , a4 及 an 与 a n ?1 ( n ? 2) 的关系式; (2)数列 ?an ? 的通项公式 an ,并证明: an ? 2n(n ? N * ) 。

2 3 4 5

1

n

9 6 7 8

6

徐州一中 2014 届高三数学五月冲刺卷 答案
一、填空题

5 x ;5、78 ;6、1; 2 4 3 5 ?1 3 2 5 9 7、 ; 8、[ , ]; 9、 t ? (0, 3 ?1) ; 10、①④ ;11、 ;12、 ( ? , ? ) ; 3 2 2 2 2 2 9 15 1? 5 ( , ) 13、 4 4 ;14、 [1, ); 2
1、1 ;2、-6 ; 3、 3 ? 3 ln 3 ; 4、 y ? ? 12、解析:先化简:

= = =

(sin 2 a3 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ) ? (cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin(a4 ? a5 ) sin(a3 ? a6 ) sin(a3 ? a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

? sin(a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ?3d ? 6
又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
13.解析:由条件 S ? S ? 3n2 (n ? 2) 得 S ? S ? 3(n ? 1) 2 , n?1 n n n?1 两式相减得 an?1 ? an ? 6n ? 3 ,故 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 ,两式再相减得 an?2 ? an ? 6 , 由 n ? 2 得 a1 ? a2 ? a1 ? 12 , a2 ? 12 ? 2a ,从而 a2n ? 6n ? 6 ? 2a ;

n ? 3 得 a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? 27 , a3 ? 3 ? 2a ,从而 a2n?1 ? 6n ? 3 ? 2a ,

?a ? 12 ? 2a 9 15 ? 由条件得 ?6n ? 6 ? 2a ? 6n ? 3 ? 2a ,解之得 ? a ? 4 4 ?6n ? 3 ? 2a ? 6(n ? 1) ? 6 ? 2a ?

7

?1 , y ? x2 ? ?1 x ? ? x ?1 x ? 14.解析:显然 max? , , y ? ? y ,又 min? , , y ? ? ? , ? x y ? ? x , y ? x2 ?x y ? ? ?y
?1 ? x ? y y ? ①当 y ? x 时,t ? , 作出可行区域 ? y ? x ? 1 , 因抛物线 y ? x 2 与直线 y ? x 及 y ? x ? 1 在 x ?y ? x2 ?
2

第一象限内的交点分别是(1,1)和 (

1? 5 3 ? 5 1? 5 , ) ,从而 1 ? t ? 2 2 2

?1 ? x ? y ? ②当 y ? x 时,t ? x ,作出可行区域 ? y ? x ? 1 ,因抛物线 y ? x 2 与直线 y ? x 及 y ? x ? 1 在 ?y ? x2 ?
2

第一象限内的交点分别是(1,1)和 (

1? 5 3 ? 5 1? 5 , ) ,从而 1 ? t ? 2 2 2

综上所述, t 的取值范围是 [1,

1? 5 )。 2

15. (1) F ( x) ? 2sin x ? 2sin( x ?

?

) ? 2sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ) 2 4

?

F ( x) 是非奇函数非偶函数.
∵ F (?

?

) ? 0, F ( ) ? 2 2 ,∴ F (? ) ? F ( ), F (? ) ? ? F ( ) 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

∴函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?

2

) 是既不是奇函数也不是偶函数.

(2) ? ? 2 时, f ( x) ? 2sin 2 x , g ( x) ? 2sin 2( x ? 其最小正周期 T ? ? 由 2sin(2 x ?

?

) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6 3

?

?

x?

k? ? ? ? (?1) k ? ? , k ? Z 2 12 6

? 1 ? ? ) ? 1 ? 0 , 得 sin(2 x ? ) ? ? ,∴ 2 x ? ? k? ? (?1) k ? , k ? Z , 即 3 3 2 3 6
[来源:学#科#网]

区间 ? a, a ? 10? ? 的长度为 10 个周期, 若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2 个零点;
8

故当 a ?

k? ? ? ? (?1) k ? ? , k ? Z 时,21 个,否则 20 个. 2 12 6

16、 (1)略 ; (2)2
DF 3 3 3 3 ? , 即 DF ? , DF ? 1 x x?3 3

17.解:(1)①根据题意,可得△CFD~△AFB,则有
3 3 x

∴ l ( x) ? (1 ?

x ?3 3 x ?3 3 ②过C作CM⊥AB于点M,在△CFD中,
CF ? 3 3 1 , 在△CME 中, CE ? , sin ? cos ?

)2 ? x 2 ? (

)2 ? x2 , x ? (3 3,10 3] ;?????3 分

∴ l (? ) ?

3 3 1 ? , ? ? (0, ? ], 其中 ? 是锐角且 tan ? ? 7 3 ?????7 分 sin ? cos ? 3 3 1 ? , ? ? (0, ? ], sin ? cos ?

(2)①若选 l 是 θ 的函数,∵ l (? ) ? ∴ l ' (? ) ?
?3 3 cos ? sin ?
2

?

sin ? cos ?
2

?

sin 3 ? ? 3 3 cos3 ? sin ? cos ?
2 2

, 令 l ' (? ) ? 0 ,得 ? ?

?
3

, ?????11 分

∴当 ? ? (0, ) ? l ' (? ) ? 0 ? l (? ) 在 ? ? (0, ) 递减, ? ? ( ,? ] ? l ' (? ) ? 0 ? l (? ) 在 ? ? ( ,? ] 递 3 3 3 3 增,?????13 分 时, l (? )min ? l ( ) ? 8(m) ;?????14 分 3 3 ②若选 l 是 x 的函数, ∴当且仅当 ? ? ∵ l ( x) ? (1 ?
3 3 x ?3 3
x x?3 3

?

?

?

?

?

?

)2 ? x 2 ? (

x x ?3 3

)2 ? x2 , x ? (3 3,10 3] ;
( x ? 3 3)3 ? 3 3 ( x ? 3 3)3

∴令 u ( x) ? (

) 2 ? x 2 , x ? (3 3,10 3] ,∴ u ' ( x) ? 2 x

,

令 u' ( x) ? 0, ,得 x = 4 3 或 x = 0 ( 舍 去 ) , ?????11 分 ∴当 x ? (3 3,4 3) ? u' (? ) ? 0 ? u(? ) 在 x ? (3 3,4 3) 递减,当

x ? (4 3,10 3] ? u' (? ) ? 0 ? u(? ) 在 x ? (4 3,10 3] 递增,?????13 分
∴当且仅当 x ? 4 3 时, l ( x)min ? 8(m) .?????14 分 18.(Ⅰ)解:设 c 2 ? a 2 ? b 2 ,依题意 c ? 1 ,

c 2 ? .解得 a ? 2 , b ? 1 .故椭圆 G 的方程为 a 2

x2 ? y 2 ? 1 .?????4 分 2 (Ⅱ)存在常数 ? ? ?1 .
9

解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) .

? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 2 ,可得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?
于是 x1 ? x2 ?

4k 2 2( k 2 ? 1) y , x x ? .?????6 分直线 AM 的斜率 t1 ? 1 , 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k x1 ? 2

? x2 2 2(4t12 ? 1) ? ? y ?1 联立 ? 2 , 可 得 (1 ? 2t12 ) x2 ? 8t12 x ? 2(4t12 ? 1) ? 0 则 x1 x3 ? ,进一步可得 1 ? 2t12 ? y ? t ( x? 2 ) 1 ?

x3 ?

2(4t12 ? 1) y .?????8 分将 t1 ? 1 代入,则 x1 ? 2 (1 ? 2t12 ) x1

y1 2 x2 ) ? 1] 2[4(1 ? 1 ) ? ( x1 ? 2)2 ] 2 2 x1 ? 2 2[4 y1 ? ( x1 ? 2) ] 3x ? 4 2 ???10 分 x3 ? ? ? ? 1 2 2 2 y1 2 x [2 y ? ( x ? 2) ] x 2 x ? 3 2 1 1 1 1 1 [1 ? 2( ) ]x1 [2(1 ? ) ? ( x1 ? 2) ]x1 x1 ? 2 2 2[4(
同理可得 x4 ?

3x2 ? 4 .进一步,可计算 y3 , y4 .其中 2 x2 ? 3

y3 ? t1 ( x3 ? 2) ?

y1 k ( x1 ? 1) 3x1 ? 4 ?k ( x1 ? 1) ? ( x3 ? 2) ? ?( ? 2) ? x1 ? 2 x1 ? 2 2 x1 ? 3 2 x1 ? 3

同理可得 y4 ?

x2 x2 ? k ( x2 ? 1) 2 2 ? 1, 4 ? y4 ? 1 两式相减可得,?????12 分 .由 3 ? y3 2 2 2 x2 ? 3

3 x1 ? 4 3 x2 ? 4 ? ) y3 ? y4 x3 ? x4 1 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 k1 ? ?? ? ? x3 ? x4 2( y3 ? y4 ) 2k ( x1 ? 1 ? x2 ? 1 ) 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 ( ? 1 (3 x1 ? 4)(2 x2 ? 3) ? (3 x2 ? 4)(2 x1 ? 3) ? 2k ( x1 ? 1)(2 x2 ? 3) ? ( x2 ? 1)(2 x1 ? 3) 1 12 x1 x2 ? 17( x1 ? x2 ) ? 24 ? 2k 4 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 6

= ?

1 12 ? 2( k 2 ? 1) ? 17 ? 4k 2 ? 24 ? (1 ? 2k 2 ) ? 2k 4 ? 2( k 2 ? 1) ? 5 ? 4k 2 ? 6 ? (1 ? 2k 2 ) ? ?k
10

综上可知,存在常数 ? ? ?1 .

?????16 分

? x2 2 ? ? y ?1 解法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .联立 ? 2 ,可得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?
于是 x1 ? x2 ? A、

4k 2 2( k 2 ? 1) , x1 x2 ? .?????8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

B 关于 x 轴的对称点分别为 A?( x1 , ? y1 ), B?( x2 , ? y2 ) ,则直线 MA 、 MB ? 的斜率分别是

y1 ? y2 , .???????10 分注意到: x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? y2 ? ? y1 ( x2 ? 2) ? y2 ( x1 ? 2) ? 0 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? 2 ? 2(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 M , A, B? 三点共线.?????12 分 同理, M , B, A? 三点共线.因此,点 C 即 B? ,点 D 即 A? ,直线 CD 即直线 B?A? .?14 分 故 k1 ?

(? y2 ) ? (? y1 ) y ? y1 ?? 2 ? ?k . x2 ? x1 x2 ? x1

所以,存在常数 ? ? ?1 .????16 分

19.解:(Ⅰ)由已知, 4S n

2 ? an ? 2an ,且 an ? 0

2 当 n ? 1 时, 4a1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2

2 当 n ? 2 时,有 4S n?1 ? an ?1 ? 2an?1 .

于是 4S n ? 4S n?1 ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 .??2 分
2 2 2 2

于是 an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .
2 2

因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,且 an ? 2n (Ⅱ)因为 an ? 2n ,则 ?????????5 分

1 1 1 1 , ? ? ? S n n(n ? 1) n n ? 1

11

1 1 1 1 1 1 所以 1 ? 1 ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?1? ?1 2 2 3 n n ? 1 n ?1 S1 S 2 Sn
因为 1 ?

????8 分

1 1 随着 n 的增大而增大,所以当 n ? 1 时取最小值 . ???10 分 2 n ?1
2 an ,得 2n(n ? 1) ? 4200? 2n 2 ,所以 n ? 2100 2

故原不等式成立 (Ⅲ)由 2S n ? 4200 ? ???12 分

由题设, M ? { 2000, 2002 ,, 2008 , 2010 , 2012 ,, 2998 } . 因为 m ∈M,所以 m ? 2100 , 2102 ,, 2998 均满足条件 且这些数组成首项为 2100 ,公差为 2 的等差数列. ???14 分 设这个等差数列共有 k 项,则 2100? 2(k ? 1) ? 2998,解得 k ? 450 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 450 个 ???16 分 20.解: (1)方法一: f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立,即为 (a ? 3) x2 ? 6 x ? 2 ? 0 在 (1, ??) 上恒
2 成立,① a ? 3 时,结论成立;② a ? 3 时,函数 h( x) ? (a ? 3)x 图象的对称轴为 ? 6x ? 2

x??

6 ? 0 ,所以函数 h( x) ? (a ? 3) x2 ? 6x ? 2 在 (1, ??) 单调递增,依题意 h(1) ? 0 , 2(a ? 3)
4分

即 a ? ?5 ,所以 a ? 3 ;③ a ? 3 不合要求,综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? 3 . 方 法 二 :

f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上 恒 成 立 等 价 于 a ? ?
2

2 6 ? ?3 , 令 x2 x

1 2 6 1 5 ? 1 ? 3 h ? x ? ? ? 2 ? ? 3 ? ?2 ? ? ? ? 因 为 x ? 1 , 所 以 0 ? ? 1 , 故 ?5 ? h ? x ? ? 3 所 以 x x x 2 ? x 2?
a ? 3.
(2) f '( x) ? 则

3 2 ? 设P 1, P 2 的两切线互相平行, 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,过点 P 4 x2

3 2 3 2 ? ? ? 2 , 所 以 x1 ? x2 ( 舍 去 ), 或 x1 ? ? x2 , 过 点 P1 的 切 线 l1 : 4 x12 4 x2
6分

y ? y1 ? f '( x1 )( x ? x1 ) ,即 f '( x1 ) x ? y ? f ( x1 ) ? x1 f '( x1 ) ? 0 ,
过点 P 2 的切线 l 2 : f '( x2 ) x ? y ? f ( x2 ) ? x2 f '( x2 ) ? 0

12

两平行线间的距离是 d ?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 f '( x1 ) ? x2 f '( x2 ) | 1 ? [ f '( x1 )]2
? 8 | x1 | 25 3 4 ? 2? 4 16 x1 x1 ? 8 25 2 4 x1 ? 2 ? 3 16 x1


?

3 2 3 2 2 | ( x1 ? ) ? x1 ( ? 2 ) | 4 x1 4 x1 3 2 1 ? ( ? 2 )2 4 x1

因为

8 25 2 4 25 2 4 ?4 2 x1 ? 2 ? 2 x1 ? 2 ? 5 ,所以 d ? 16 x1 16 x1 5?3

即两平行切线间的最大距离是 4 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 (3) g ( x) ? x2 f ( x) ? ax3 ? 6x2 ? 2x ,设 g ( x) 存在“好点” P( x0 , y0 ) , 由 g '( x) ? 3ax2 ? 12x ? 2 ,得 h( x) ? g '( x0 )( x ? x0 ) ? g ( x0 ) , 依题意 因为
g ( x ) ? h( x ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立, x ? x0

g ( x) ? [ g '( x0 )( x ? x0 ) ? g ( x0 )] [ g ( x) ? g ( x0 )] ? g '( x0 )( x ? x0 ) ? , x ? x0 x ? x0

?

3 2 2 [(ax3 ? 6 x 2 ? 2 x) ? (ax0 ? 6 x0 ? 2 x0 )] ? (3ax0 ? 12 x0 ? 2)( x ? x0 ) x ? x0

2 2 ? [a( x2 ? x0 x ? x0 ) ? 6( x ? x0 ) ? 2] ? (3ax0 ?12x0 ? 2) 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ? ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) , · 2 所以 ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立,
2 ①若 a ? 0 , ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 不可能对任意 x ? x0 恒成立,

即 a ? 0 时,不存在“好点” ; 2 ②若 a ? 0 ,因为当 x ? x0 时, ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 要使
2 ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立,必须 2 ? ? (ax0 ? 6)2 ? 4a(2ax0 ? 6x0 ) ? 0 (ax0 ? 2)2 ? 0 ,所以 x0 ? ?

不存在“好点” ;当 a ? 0 时,存在惟一“好点”为 ( ?

2 16 ? 4a , ) 。16分 a a2

2 ,综上可得,当 a ? 0 时, a

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