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极坐标与参数方程的高考试题


历年高考数学试题
极坐标、参数方程与不等式选讲

1. (直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点 A,B 分别在 曲线 C : ? 1

? ?x ?3?cos ( ? 为参数)和曲线 C : ??1上,则 AB 的最小值为________. 2 ? ?y ?sin

2.若不等式 x 1 x 2 a对任意 x?R恒成立,则 a 的取值范围是___。 ?? ? ? 3 . 如 图 ,

? , E, A? , BD??9 ? AB C ? C D ? 0



A6 ? D ,则 BE ? 4 2 。 B, C A1 ? A4 ? , 2
4 . 在 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 曲 线 C
1

的 参 数 方 程 为

o ? x?2c s? ? ( 为 数.在极坐标系(与直角坐标系 x O y 取相同的长度单位,且以原点 ? 参) ? in ?y? 3s ? ?
则 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 2 的方程为 ?s? ? ? C 1 与 C ( ? i )1 , c s ?0 o n 的交点个数为 .
2

5 2 ? ?? ? 5 cos? ?x ? t 5.已知两曲线参数方程分别为 ? (0 ?? < ?)和 ? ,它们的 4 (t ?R) ? y ? sin? ?y ? t ?
交点坐标为 。

6.如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,他们相交于与 AB 的中点 P,PD=

? P 3°,则 CP= O ?0 A

2 a , 3



7.在极坐标系( ? , ? ) 0 ? 2 )中,曲线 ? = 2sin? 与 ? o ??? 的交点的极坐 ( ? ?? cs 1 标为 。 8.如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3, EF∥ AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 。

? x ? 8t2, 9.已知抛物线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数)若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦 ? y ? 8 t.
x4 y rr 0 点,且与圆 ? ?? ? ? ( ?) 相切,则 r =________.
2 2 2

10 . 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 。

?c?s? 2 直 线 ?cos? ?1的 夹 角 大 小 为 ( o? ) 与 2s i ? n

?? ? 11 . 若 关 于 x 的 不 等 式 a?x 1 x 2 存 在 实 数 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
(? ] [, ? ?, 3 3 ) 。 ???
12.直角坐标系 x o y 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分

别在曲线 小值为 3 。

( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1上,则 A B 的最

13.在直角坐标系 x o y 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)在极坐标系(与 ? y ? 1 ? sin ?
2

直角坐标系 x o y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴)中, 以 曲线 C 的方程为

?o ?n? 10 C c? i ? ? s s ? ?,则
2

1

与C

2

的交点个数为



14.设 x, y ? R ,则 (x ?

1 1 )( ?4y2)的最小值为 y2 x2



16.如图 2, A , E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC? 4, A ? C D B ,垂足为 D, B E 与

A D 相交与点 F,则 A F 的长为



5 2 ? ?x ? t ? ? 5c s? x o ? 4 ( t ? R ) ,它们的交 17.已知两面线参数方程分别为 ? (0?? ??) 和 ? ?y ? t in ?y?s ? ? ?
点坐标为___________. 18.如图 4,过圆 O 外一点 p 分别作圆的切线和割线交圆于 A , B ,且 P B =7, C 是圆上一 点使得 B C =5,∠ BAC =∠ APB , 则 A B = 。

? x ? cos ? 19.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ?为参数) , ? y ? sin ? ?x ? a cos? 曲线 C2 的参数方程为 ? ( a b 0 ?为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴 ??, ? y ? b sin ?
为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? C1,C2 各有一个交点.当 ? 时,这两个交点间的 与 =0

? 时,这两个交点重合. 2 (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; ? ? (II)设当 ? = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? ? = 时,l 与 C1,C2 的交点 4 4 为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 20.已知函数 f (x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f (x) ≤3; (II)求不等式 f (x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集.
距离为 2,当 ? = 21.如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 A B , A C 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知
2 1 ?n 的两个根。 4 ? A E 的长为 n , A D , A B 的长是关于 x 的方程 x? x m 0

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆;

A 0 ?, (Ⅱ)若 ? ?9 ?,且 m 4n?6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。
22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? 2cos? ( ? 为参数) 是 C1 上的 ,M ? y ? 2 ? 2sin?

动点,P 点满足 O 2M 点的轨迹为曲线 C2 P O,P ? (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? x 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 A B .

? ? ?? ? ? ? ? ?

? 与 C1 的异于极点的交点 3

x ? 3 ,其中 a ? 0 。 23.设函数 f( )?x a? x
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f( )? x 2 x 3 ? 的解集

x 1 ,求 a 的值。 (Ⅱ)若不等式 f (x) ? 0 的解集为 ? | x?? ?
24. 如图, B, D 四点在同一圆上, 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点, EC=ED. A, C, AD 且 (I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆.

? x ? cos ? 25.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ?为参数) ,曲线 C2 的 ? y ? sin ?
参数方程

?x ? a cos? 为? ( a b 0 ?为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, ??, ? y ? b sin ?
射线 l:θ= ? C1,C2 各有一个交点.当 ? 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? 与 =0 = 这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;

? 时, 2

? ? 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? ? = 时,l 与 C1,C2 的交点 4 4 为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.
(II)设当 ? = 26.若曲线的极坐标方程为 ? 2 ? 4 ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立 ?sin cos ? 直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程为 . .

27.对于实数 x,y,若 x ?1 ? 1, y ? 2 ?1,则 x ?2y ?1的最大值为 28.设矩阵 M ? ?

?a 0? ? (其中 a>0,b>0). ?0 b?

(I)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M-1;

x2 ? y 2 ? 1, (II)若曲线 C:x +y =1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C’: 4
2 2

求 a,b 的值.

29.在直接坐标系 x O y 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos a ? . ? y ? sin a ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π 2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

1 30.设不等式 2x - 1< 的解集为 M.
(I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 31.如图:已知圆上的弧 ? ?B ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: A ? C D (Ⅰ) ? ACE = ? D。 BC (Ⅱ) B C =BE x CD。 32.已知直线 C (Ⅰ)当 a=
1
2

:{

{t 为参数}。图 C

2

:{

{ ? 为参数}

X= cos ? y= sin ?

?
3

时,求 C

1

与 C y=tsina 2 的交点坐标:

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C 1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。
x x 4 1 33.设函数 f( )?2 ? ? 。

(Ⅰ)画出函数 y ? f (x) 的图像: (Ⅱ)若不等式 f (x) ? ax的解集非空,求 n 的取值范围

34.不等式 2 x ? 1 ? 3 的解集为

.

35.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与

AB 交于点 D,则 BD=
36.参数方程 ?

cm. .

? x ? cos ? , ( ? 为参数)化成普通方程为 ? y ? 1 ? sin ?

37.已知 P 为半圆 C : ?

? x ? cos ? ( ? 为参数, 0 ?? )上的点,点 A 的坐标为 (1 ,0 ) , ? ? ? y ? sin ?
的长度均为

O 为坐标原点,点 M 在射线 O P 上,线段 O M 与 C 的弧

?
3



(Ⅰ)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的坐标; (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程 (38. 已知 a b c均为正数,证明:a b c ( ?? ? 3 ??? ) 6 ,并确定 a b c 、、 、、
2 2 2

1 11 2 abc

为何值时,等号成立。 39.AB 是圆 O 的直径, 为圆 O 上一点, D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C, DA=DC, D 过 若 求证:AB=2BC。 40.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

?k ?0

0? ?0 ? ,N= ? 1 1? ?

1? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1, 0? ?

△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 41.在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。 42.设 a、b 是非负实数,求证: a? ? a( ? ) b b a b。
3 3 2 2

43.如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC =BF×CD。
2

,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

44.已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos? ? x ? cos ? (t 为参数) 2 ? ,C ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? s in ?

?
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

45.不等式 x 3?x 2? 的解集为 x x ? 1 ? ? 3

?

?

46.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则

BD 1 6 ? DA 9

47.已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

(a 为参数)以原点为极点,x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ?sin? ?1,则直线 l 与圆 C 的 交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____ 48.如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E (I)证明: ? ABE ?ADC (II)若 ?ABC 的面积 S ?

1 ,求 ? 的大小。 AD AE ? BAC 2

49 . 已 知 P 为 半 圆 C : 点 A 的坐标为(1,0) , O 为坐标原点,点 M 在射线 OP

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,

上, 线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

??? ) 6 ,并确定 a, b, c 为何 50.已知 a, b, c 均为正数,证明: a b c ( ?? ? 3
2 2 2

1 11 2 abc

值时,等号成立。 51.已知矩阵 M= ,N= ,且 MN= 。

(Ⅰ)求实数 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程。 52.在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为 (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标 系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 =2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A,B。若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求∣PA∣+∣PB∣。 53.已知函数 f(x)=∣x-a∣. (Ⅰ)若不等式 f(x) ? 3 的解集为 x? ?x? ,求实数 a 的值; 1 5 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

?

?


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