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直线的方程_2

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直线的方程
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教学目标 (1)掌握由一点和斜率导出直线方 程的方法,掌握直线方程的点斜式、两 点式和直线方程的一般式,并能根据条 件熟练地求出. (2)理解直线方程几种形式之间的 内在联系,能在整体上把握. (3)掌握直线方程各种形式之间的 互化. (4)通过直线方程一般式的教学培 养学生全面、系统、周密地分析、讨论 问题的能力. (5)通过直线方程特殊式与一般式 转化的教学,培养学生灵活的思维品质 和辩证唯物主义观点. (6)进一步理解直线方程的概念, 理解直线斜率的意义和解析几何的思想 方法.
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教学建议 1.教材分析 (1)知识结构 由直线方程的概念和直线斜率的概 念导出直线方程的点斜式;由直线方程 的点斜式分别导出直线方程的斜截式和 两点式;再由两点式导出截距式;最后 都可以转化归结为直线的一般式;同时 一般式也可以转化成特殊式.(2)重点、 难点分析 ①本节的重点是直线方程的点斜 式、两点式、一般式,以及根据具体条 件求出. 解析几何有两项根本性的任务:一 个是求曲线的方程;另一个就是用方程 研究曲线.本节内容就是求,因此是非 常重要的内容,它对以后学习用方程讨 论直线起着直接的作用,同时也对曲线 方程的学习起着重要的作用. 直线的点斜式方程是平面解析几何 中所求出的第一个方程,是后面几种特 殊形式的源头.学生对点斜式学习的效 ----------------精选公文范文---------------- 2

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果将直接影响后继知识的学习. ②本节的难点是直线方程特殊形式
的限制条件,直线方程的整体结构,直 线与二元一次方程的关系证明.2.教法 建议
(1)教材中求直线方程采取先特殊 后一般的思路,特殊形式的方程几何特 征明显,但局限性强;一般形式的方程 无任何限制,但几何特征不明显.教学 中各部分知识之间过渡要自然流畅,不 生硬.
(2)直线方程的一般式反映了直线 方程各种形式之间的统一性,教学中应 充分揭示直线方程本质属性,建立二元 一次方程与直线的对应关系,为继续学 习“曲线方程”打下基础.
直线一般式方程都是字母系数,在 揭示这一概念深刻内涵时,还需要进行 正反两方面的分析论证.教学中应重点 分析思路,还应抓住这一有利时使学生 学会严谨科学的分类讨论方法,从而培 养学生全面、系统、辩证、周密地分析、 ----------------精选公文范文---------------- 3

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讨论问题的能力,特别是培养学生逻辑 思维能力,同时培养学生辩证唯物主义 观点
(3)在强调几种形式互化时要向学 生充分揭示各种形式的特点,它们的几 何特征,参数的意义等,使学生明白为 什么要转化,并加深对各种形式的理解.
(4)教学中要使学生明白两个独立 条件确定一条直线,如两个点、一个点 和一个方向或其他两个独立条件.两点 确定一条直线,这是学生很早就接触的 几何公理,然而在解析几何,平面向量 等理论中,直线或向量的方向是极其重 要的要素,解析几何中刻画直线方向的 量化形式就是斜率.因此,直线方程的 两点式和点斜式在直线方程的几种形式 中占有很重要的地位,而已知两点可以 求得斜率,所以点斜式又可推出两点式 (斜截式和截距式仅是它们的特例),因 此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、 两点式和一般式三个教学高潮.
求直线方程需要两个独立的条件, ----------------精选公文范文---------------- 4

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要依不同的几何条件选用不同形式的方 程.根据两个条件运用待定系数法和方 程思想求直线方程.
(5)注意正确理解截距的概念,截 距不是距离,截距是直线(也是曲线) 与坐标轴交点的相应坐标,它是有向线 段的数量,因而是一个实数;距离是线 段的长度,是一个正实数(或非负实数).
(6)本节中有不少与函数、不等式、 三角函数有关的问题,是函数、不等式、 三角与直线的重要知识交汇点之一,教 学中要适当选择一些有关的问题指导学 生练习,培养学生的综合能力.
(7)直线方程的理论在其他学科和 生产生活实际中有大量的应用.教学中 注意联系实际和其它学科,教师要注意 引导,增强学生用数学的意识和能力.
(8)本节不少内容可安排学生自学 和讨论,还要适当增加练习,使学生能 更好地掌握,而不是仅停留在观念上.
教学设计示例直线方程的一般形式 教学目标: ----------------精选公文范文---------------- 5

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(1)掌握直线方程的一般形式,掌 握直线方程几种形式之间的互化.
(2)理解直线与二元一次方程的关 系及其证明
(3)培养学生抽象概括能力、分类 讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊 与一般辩证统一的观点.
教学重点、难点:直线方程的一般 式.直线与二元一次方程 ( 、 不同时 为 0)的对应关系及其证明.
教学用具:计算机 教学方法:启发引导法,讨论法 教学过程: 下面给出教学实施过程设计的简要 思路: 教学设计思路: (一)引入的设计 前边学习了如何根据所给条件求出 直线方程的方法,看下面问题: 问:说出过点 (2,1),斜率为 2 的,并观察方程属于哪一类,为什么? 答:直线方程是 ,属于二元一次方 ----------------精选公文范文---------------- 6

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程,因为未知数有两个,它们的最高次 数为一次.
肯定学生回答,并纠正学生中不规 范的表述.再看一个问题:
问:求出过点 , 的,并观察方程 属于哪一类,为什么?
答:直线方程是 (或其它形式), 也属于二元一次方程,因为未知数有两 个,它们的最高次数为一次.
肯定学生回答后强调“也是二元一 次方程,都是因为未知数有两个,它们 的最高次数为一次”.
启发:你在想什么(或你想到了什 么)?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.
学生纷纷谈出自己的想法,教师边 评价边启发引导,使学生的认识统一到 如下问题:
“任意都是二元一次方程吗?” (二)本节主体内容教学的设计 这是本节课要解决的第一个问题, 如何解决?自己先研究研究,也可以小 组研究,确定解决问题的思路. ----------------精选公文范文---------------- 7

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学生或独立研究,或合作研究,教 师巡视指导.
经过一定时间的研究,教师组织开 展集体讨论.首先让学生陈述解决思路 或解决方案:
思路一:… 思路二:…
…… 教师组织评价,确定最优方案(其 它待课下研究)如下: 按斜率是否存在,任意直线 的位置 有两种可能,即斜率 存在或不存在. 当 存在时,直线 的截距 也一定存 在,直线 的方程可表示为 ,它是二元 一次方程. 当 不存在时,直线 的方程可表示 为 形式的方程,它是二元一次方程吗? 学生有的认为是有的认为不是,此 时教师引导学生,逐步认识到把它看成 二元一次方程的合理性: 平面直角坐标系中直线 上点的坐 标形式,与其它直线上点的坐标形式没 ----------------精选公文范文---------------- 8

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有任何区别,根据直线方程的概念,方 程 解的形式也是二元方程的解的形式, 因此把它看成形如 的二元一次方程是 合理的.
综合两种情况,我们得出如下结论: 在平面直角坐标系中,对于任何一 条直线,都有一条表示这条直线的关 于 、 的二元一次方程. 至此,我们的问题 1 就解决了.简 单点说就是:直线方程都是二元一次方 程.而且这个方程一定可以表示成 或 的形式,准确地说应该是“要么形如 这 样,要么形如 这样的方程”. 同学们注意:这样表达起来是不是 很啰嗦,能不能有一个更好的表达? 学生们不难得出:二者可以概括为 统一的形式. 这样上边的结论可以表述如下: 在平面直角坐标系中,对于任何一 条直线,都有一条表示这条直线的形如 (其中 、不同时为 0)的二元一次方程. 启发:任何一条直线都有这种形式 ----------------精选公文范文---------------- 9

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的方程.你是否觉得还有什么与之相关 的问题呢?
任何形如 (其中 、 不同时为 0) 的二元一次方程都表示一条直线吗?
不难看出上边的结论只是直线与方 程相互关系的一个方面,这个问题是它 的另一方面.这是显然的吗?不是,因 此也需要像刚才一样认真地研究,得到 明确的结论.那么如何研究呢?
师生共同讨论,评价不同思路,达 成共识:
回顾上边解决问题的思路,发现原 路返回就是非常好的思路,即方程 (其 中 、 不同时为 0)系数 是否为 0 恰好 对应斜率 是否存在,即
(1)当 时,方程可化为 这是表示斜率为 、在 轴上的截距 为 的直线. (2)当 时,由于 、 不同时为 0, 必有 ,方程可化为
这表示一条与 轴垂直的直线. ----------------精选公文范文---------------- 10

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因此,得到结论: 在平面直角坐标系中,任何形如 (其中 、 不同时为 0)的二元一次方程 都表示一条直线. 为方便,我们把 (其中 、 不同时 为 0)称作直线方程的一般式是合理的. 演示“直线各参数.gsp”文件,体会 任何二元一次方程都表示一条直线. 至此,我们的第二个问题也圆满解 决,而且我们还发现上述两个问题其实 是一个大问题的两个方面,这个大问题 揭示了直线与二元一次方程的对应关 系,同时,直线方程的一般形式是对直 线特殊形式的抽象和概括,而且抽象的 层次越高越简洁,我们还体会到了特殊 与一般的转化关系. (三)练习巩固、总结提高、板书 和作业等环节的设计在此从略
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