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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标卷)解析版

绝密*启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 2 1、已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (A)A?B ? (B)B?A ? (C)A=B (D)A∩B=?

2 【解析】集合 A ? {x x ? x ? 2 ? 0} ? {x ? 1 ? x ? 2} ,又 B ? {x ? 1 ? x ? 1 ,所以 B 是 A }

的真子集,选 B. 【答案】B -3+i 2.复数 z= 的共轭复数是 2+i (A)2+i 【解析】 z ? (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i

? 3 ? i (?3 ? i)(2 ? i) ? 5 ? 5i ? ? ?1 ? i ,所以其共轭复数为 z ? ?1 ? i ,选 D. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

【答案】D 3、在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,…, xn,yn) n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的散点 ( ( 1 图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相 2 关系数为 (A)-1 (B)0 1 (C) 2 (D)1

【解析】根据样子相关系数的定义可知,当所有样本点都在直线上时,相关系数为 1,选 D. 【答案】D 4.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?
-1-

【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 是 底 角 为 30? 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 1

F2 F1 ? F2 P

,

, 因 为

?PF1 F2 ? 300 , 所 以

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2 3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 所以 2 a 4 4

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

【答案】C 5、已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内 部,则 z=-x+y 的取值范围是 (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3)

【解析】

做出三角形的区域如图

,由图象可知当直线

y ? x ? z 经过点 B 时,截距最大,此时 z ? ?1 ? 3 ? 2 ,当直线经过点 C 时,直线截距最小.
因 为 AB ? x 轴 , 所 以 y C ?

1? 3 ? 2 , 三 角 形 的 边 长 为 2 , 设 C (x,2) , 则 2

AC ? ( x ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 2 ,解得 ( x ? 1) 2 ? 3 , x ? 1? 3 ,因为顶点 C 在第一象限,
所以 x ? 1? 3 , (1 ? 3,2) 代入直线 z ? ? x ? y 得 z ? ?(1 ? 3) ? 2 ? 1 ? 3 , 即 所以 z 的 取值范围是 1 ? 3 ? z ? 2 ,选 A. 【答案】A 6.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN,输出 A,B,则 (A)A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 A+B (B) 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 2 (C)A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数

-2-

开始

输入 N,a1,a2,…,aN

k=1,A=a1,B=a1

x =ak k=k+1 是 x>A 否 是 x<B B=x 否 A=x

k≥N 是 输出 A,B



结束

【解析】根据程序框图可知,这是一个数据大小比较的程序,其中 A 为最大值,B 为最小值, 选 C. 【答案】C 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积

为(


-3-

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

【解析】选 B 由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 ,所以几何体的体 积为 V ?

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 ,选 B. 3 2

【答案】B 8.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π 【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ?
2

4 3 ,所以球的体积为 ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? ,选 B. 3

【答案】B 9.已知 ω >0,0 ? ? ? ? , 直线 x ? 对称轴,则 φ = π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的 4

【解析】因为 x ?

?
4

和x?

T 2? ? ? ? , T ? 2? .又 T ? ? 2? ,所以 ? ? 1 ,所以 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,因为 x ? 是函数 2 ? 4
的对称轴所以 此时 x ?

5? 5? ? T ? ? ,即 是函数图象中相邻的对称轴,所以 4 4 4 2

?

5? 也为对称轴,所以选 A. 4

4

?? ?

?

2

? k? ,所以 ? ?

?

4

? k? ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?

4

,检验知

【答案】A 10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B
2

两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(



( A)

2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

2 2 【解析】 设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) , 抛物线的准线为 x ? ?4 , AB ? 4 3 , 由

则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3) 代入双曲线方程得 m ? x ? y ? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线
2 2

方程为 x ? y ? 4 ,即
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C. 4 4

【答案】C 1 x 11.当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2) (D)( 2,2)

-4-

【 解析 】当 a ? 1 时 , 显然 不成 立 .若 0 ? a ? 1 时
1 2

当x?

1 时, 2

4 ? 4 ? 2 ,此时对数 log a

1 2 ? 2 ,解得 a ? ,根据对数的图象和性质可知,要使 2 2

4 x ? loga x 在 0 ? x ?

1 2 时恒成立,则有 ? a ? 1 ,如图选 B. 2 2

【答案】B n 12.数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【解析】由 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1得,

an?2 ? (?1) n an?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [(?1) n?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?an ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1,
n n 即 an?2 ? an ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 ,也有 an?3 ? an?1 ? ?(?1)(2n ? 1 ? 2n ? 3 ,两式相加 ) )

得 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数, 则 a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ? ?2(?1) 4k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` , 10 于是 S 60 ? 【答案】D

K ?0

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (16k ?`10) ? 1830
K ?0

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第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 【解析】函数的导数为 f ' ( x) ? 3 ln x ? 1 ? x ?

3 ? 3 ln x ? 4 ,所以在 (1,1) 的切线斜率为 x

k ? 4 ,所以切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 .
-5-

【答案】 y ? 4 x ? 3 (14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 【解析】显然公比 q ? 1 ,设首项为 a1 ,则由 S 3 ? 3S 2 ? 0 ,得 即

a1 (1 ? q 3 ) a (1 ? q 2 ) , ? ?3 ? 1 1? q 1? q
, 即

q 3 ? 3q 2 ? 4 ? 0





q 3 ? q 2 ? 4q 2 ? 4 ? q 2 (q ? 1) ? 4(q 2 ? 1) ? 0

(q ? 1)(q 2 ? 4q ? 4) ? 0 ,所以 q 2 ? 4q ? 4 ? (q ? 2) 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 .
【答案】 ? 2 (15)已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 【解析】因为 2a ? b ? 10 ,所以 (2a ? b) 2 ? 10 ,即 4 a ? 4a ? b ? b ? 10 ,所以
2 2

? ?

?

? ?

?

4 ? b ? 4 b cos450 ? 10 , 整理得 b ? 2 2 b ? 6 ? 0 , 解得 b ? 3 2 或 b ? - 2(舍去) .
【答案】 3 2 (x+1) +sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____ x2+1 【解析】f ( x) ?
2

2

2

2 x ?n x i s ( x ? 1) 2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x 2 x ? sin x ? ?1? , g ( x) ? 令 , 2 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

则 g (x) 为 奇 函 数 , 对 于 一 个 奇 函 数 来 说 , 其 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 0 , 即

g ( x)m a x g ( x)m i n? 0 , 而 f ( x)m a ?x1 ? g ( x)m ? f ( x)max ? f ( x)min ? 2 .
【答案】2

a , x

f ( x)min ? 1 ? g ( x)min , 所 以

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 3asinC-ccosA

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18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率.

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(19) (本小题满分 12 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

C1 A1

B1

D C A B

(20) (本小题满分 12 分) 2 设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径 的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m,n 距离的比值.

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(21)(本小题满分 12 分) x 设函数 f(x)= e -ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

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请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 楚题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, E 分别为△ABC 边 AB, 的中点, D, AC 直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F, 两点, CF//AB, G 若 证明:

A

G

E D

F

B
(Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD

C

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(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是?
? ?x=2cosφ ? ?y=3sinφ

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、 π C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| + |PB| + |PC| + |PD| 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

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