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湖南省岳阳县一中2016-2017学年高二上期期中考试文科数学试题含答案


湖南省岳阳县一中 2016—2017 学年度高二上期期中考试试题 数 学(文) 分值:150 分

时量:120 分钟
有一项是符合题目要求的.

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 1.某年级有 1000 名学生,随机编号为 0001, 0002,

,1000 ,现用系统抽样方法,从中抽
( D. 0726 ( ) )

出 200 人,若 0122 号被抽到了,则下列编号也被抽到的是 A. 0116 B. 0927 C. 0834

2.命题“ ?x0 ? (0, ?), lnx0 ? x0 ?1 ”的否定是 A. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ?1 C. ?x ? (0, ?), lnx ? x ? 1 3.已知椭圆 B. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ?1 D. ?x ? (0, ?), lnx ? x ? 1

x2 y2 10 ? ? 1的离心率 e ? ,则实数 k 的值为 5 k 5
B. 3 或





A. 3

25 3

C. 5

D. 15 或

15 3

4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是 A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0

(

)

5. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1)

= A.-e 分,则此椭圆的方程是 B.-1 C.1 D.e

(

)

6.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等

(

)

A.

+ =1 81 72 + =1 81 45

x2

y2

B. D.

x2
81

+ =1 9 +

y2

C.

x2

y2

x2
81

y2
36

=1

7.执行右图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n= (A)3 (B)4
2

( (C)5

) (D)6

8.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y= 点 ( (A) P ) , PF ⊥ x 轴

k (k>0)与 C 交于 x
, 则 k=

1 2

(B)1

(C)
2

9.已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的

x2 4

y2 b

3 2

(D)2

焦点到其渐近线的距离等于 A. 5 B.4 2 C .3 D.5

(

)

10.非空数集 A ? ?a1 , a2 , a3 , , an ?(n ? N* )中,所有元素的算术平均数记为 E( A) ,即

E( A)?

a1 ? a2 ? a3 ? n

? an

B) ? E( A) , . 若非空数集 B 满足下列两个条件: ①B ? A; ② E(

2, 3, 4, 5? 的 则称 B 为 A 的一个 “保均值子集” . 据此, 集合 ?1, “保均值子集” 有 (



A. 5 个

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个

x 11. “a ?1” 是 “函数 f ( x) ? a ? 2 (a ? 0且a ? 1) 在区间 (0, ??) 上存在零点” 的 (



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a2 b2
( D. )

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
A.

5 3

B.

4 3

C.2

7 3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.
x ?1 ? ?e , x ? 2 13.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f f 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? 2 ? ?

? ? 5 ?? 的值为
?



14 .已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 8 ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f
3

? 2? ? 处的切线斜率为

____________. 15.在区间[0,9]上随机取一实数 x, 则该实数 x 满足不等式 1≤log2x≤2 的概率为 ___________. .

25 16.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=12, |AF|<|BF|,则|AF|=________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x-1 17.(10 分)设 A={x| <0},B={x||x-b|<a};若“a=1”是“ A B ? ? ”的充分条 x+1 件,求实数 b 的取值范围.

18.(12 分)已知双曲线 C : (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴长为 2. a 2 b2

y ? x ? m 被双曲线 C 截得的弦长为

| AB |? 4 2

,求实数 m 的值.

19.(12 分)某校随机抽取 100 名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间,被调查的学 生每天用于学习的时间介于 1 小时和 11 小时之间,按学生的学习时间分成 5 组:第一

组 ?1,3? ,第二组 ?3,5? ,第三组 ?5,7 ? ,第四组 ? 7,9 ? ,第五组 ?9,11? ,绘制成如图所示 (1)求学习时间在 ? 7,9 ? 的学生人数; (2)现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法 抽取 6 人,从这 6 人中随机抽取 2 人交流学习 心得,求这 2 人中至少有 1 人学习时间在第四 组的概率.
0.125 x 0.050 0.025 0 1 3 5 7 9 11 时间(小时) 0.2000 频率 组距

a 20.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ x(x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

21.(12 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为

1 F (? 3,0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点 A(1, ) . 2
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值.

22.(12 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-

b x

4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围 成的三角形面积为定值,并求此定值.

湖南省岳阳县一中 2016—2017 学年度高二上期期中考试 数 时量:120 分钟
有一项是符合题目要求的. 1.某年级有 1000 名学生,随机编号为 0001, 0002,

学(文) 分值:150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

,1000 ,现用系统抽样方法,从中抽
( D. 0726 ( C ) B )

出 200 人,若 0122 号被抽到了,则下列编号也被抽到的是 A. 0116 B. 0927 C. 0834

2.命题“ ?x0 ? (0, ?), lnx0 ? x0 ?1 ”的否定是 A. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ?1 C. ?x ? (0, ?), lnx ? x ? 1 3.已知椭圆 B. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ?1 D. ?x ? (0, ?), lnx ? x ? 1

x2 y2 10 ? ? 1的离心率 e ? ,则实数 k 的值为 5 k 5
B. 3 或

( B



A. 3

25 3

C. 5

D. 15 或

15 3

4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是 A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0

(

D

)

5. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1)

= A.-e 分,则此椭圆的方程是 B.-1 C.1 D.e

(

B

)

6.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等

( A

)

A.

+ =1 81 72 + =1 81 45

x2

y2

B. D.

x2
81

+ =1 9 +

y2

C.

x2

y2

x2
81

y2
36

=1

7.执行右图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n= ( B ) (A)3 (B)4
2

(C)5

(D)6

8.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y= 点 ( P D ) , PF ⊥ x 轴

k (k>0)与 C 交于 x
, 则 k=

(A)

1 2

(B)1

(C)
2

9.已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的

x2 4

y2 b

3 2

(D)2

焦点到其渐近线的距离等于 A. 5 B.4 2 C .3 D.5

( A )

10.非空数集 A ? ?a1 , a2 , a3 , , an ?(n ? N* )中,所有元素的算术平均数记为 E( A) ,即

E( A)?

a1 ? a2 ? a3 ? n

? an

B) ? E( A) , . 若非空数集 B 满足下列两个条件: ①B ? A; ② E(

2, 3, 4, 5? 的 则称 B 为 A 的一个 “保均值子集” . 据此, 集合 ?1, “保均值子集” 有 ( C )

A. 5 个

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个

11. “a ?1” 是 “函数 f ( x) ? a x ? 2 (a ? 0且a ? 1) 在区间 (0, ??) 上存在零点” 的 ( C ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a2 b2
( A ) D.

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
A.

5 3

B.

4 3

C.2

7 3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.
x ?1 ? ?e , x ? 2 13.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f f 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? 2 ? ?

? ? 5 ?? 的值为
? ?

e



14. 已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 8 , 则曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2 ? 处的切线斜率为_ 9 __
3

15.在区间[0,9]上随机取一实数 x,则该实数 x 满足不等式 1≤log2x≤2 的概率为 2 _____ ______. 9 .

25 16.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=12, 5 |AF|<|BF|,则|AF|=____6____.
17.解析:因为 A={x|-1<x<1}, 当 a=1 时,B={x|b-1<x<b+1},且 A∩B≠?, 所以-1≤b-1<1 或-1<b+1≤1, 即 0≤b<2 或-2<b≤0,所以-2<b<2, 所以实数 b 的取值范围是(-2,2). 18.(1) 由题意,解 ∴所求双曲线 C 的 得,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

a ? 1, c ? 3

方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 2

…………… 5 分

? y? x?m 2 (2) ? ? x 2 ? 2m x ? m 2 ? 2 ? 0 ? 2 y x ? ? 1 ? 2 ?

由弦长公式得 4 2 ? 2 ? 4m 2 ? 4(m 2 ? 2) ? m ? ?1

…………… 12 分

19. (1)学习时间在 ? 7,9 ? 的学生人数为 20 ; (2)这 2 人中至少有 1 人的学习时间在第

四组的概率为 【解析】

3 5

试题分析: (1)由频率分布图求出 x ? 0.100 ,由此能求出学习时间在 ? 7,9 ? 的学生人数. (2)第三组的学生人数为 40 人,利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取 的人数分别为:第三组的人数为 4 人,第四组的人数为 2 人,由此能求出这 2 人中至少有 1 人的学习时间在第四组的概率. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 :

0.025 ? 2 ? 0.125 ? 2 ? 0.200 ? 2 ? 2 x ? 0.050 ? 2 ? 1 , 解得 x ? 0.100 ,
所以学习时间在 ? 7,9 ? 的学生人数为 0.100 ? 2 ? 100 ? 20 (2)第三组的学生人数为 0.200 ? 2 ? 100 ? 40 ,第三四组共有 20 ? 40 ? 60 人,利用分 层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为 第三组的人数为为 6 ?

40 20 ? 4 人,第四组人数为 6 ? ? 2 人 60 60

设第三组的四位同学为 A1, A2 , A3 , A4 ,第四组的 2 为同学为 B1 , B2 则从这六位同学中抽取 2 位同学有 ? A 1, A 2 ?,? A 1, A 3 ?,? A 1, A 4 ?, ? A 1, B 1 ?, ? A 1, B2 ? ,

? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ?, ? A3, A4 ?, ? A3, B1 ?, ? A3, B2 ?, ? A4 , B1 ?, ? A4 , B2 ?, ? B1, B2 ?
共 15 种可能 其 中 2 人 学 习 时 间 都 不 在 第 四 组 的 有

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, A4 ? , ? A2 , A3 ?, ? A2 , A4 ?, ? A3, A4 ? 共 6 种可能,
所以这 2 人中至少有 1 人的学习时间在第四组的概率为 1 ? 考点:频率分布直方图,古典概型.

6 3 ? 15 5

20.解

(1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数;

当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a x1-x2 2 (2)设 x2>x1≥2,则 f(x1)-f(x2)=x1 +x -x2 2- = x x x [x1x2(x1+x2)-a],
1 2 1 2

由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0, x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 21.21 解析: (Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 .
x2 ? y 2 ? 1 .……… 4 分 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆的标准方程为 4
(Ⅱ)当直线 BC 垂直于 x 轴时, BC ? 2 ,因此 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1 .

x2 ? y2 ? 1, 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y ? kx ,代入 4
解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

) ,C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k 2 ? 1

) ,

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d ?

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2



∴△ABC 的面积 S?ABC ?

2k ? 1 1 . BC ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S?ABC ? 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k . ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

1 4k 4 ? ? ?1 ,得 S?ABC ? 2 ,其中当 k ? ? 时,等号成立. 2 4k ? 1 4k ? 1 2 k
……… 12 分

∴ S?ABC 的最大值是 2 .

22.(1)解

7 方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

1 b 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2, b 1 2 a - ? ? 2=2, 于是? b 7 ? ?a+4=4, (2)证明 ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- x. ?b=3.

3 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f′(x)=1+x2知,曲线在点 P(x0,

3 ? 3? ? 3 ? ? ? y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x 2 ?· (x-x0), 即 y-?x0-x ?=?1+x 2 ?(x-x0). ? ? ? 0? 0? 0? 6? 6 ? 令 x=0 得,y=-x ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为?0,-x ?. ? 0? 0 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为2?-x ?|2x0| ? 0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面 积为定值,此定值为 6.


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