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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第3章 2 第1课时 实际问题中导数的意义]


第三章

§2

第 1 课时

一、选择题 1. 质点运动的速度 v(单位: m/s)是时间 t(单位: s)的函数, 且 v=v(t), 则 v′(1)表示( A.t=1s 时的速度 C.t=1s 时的位移 [答案] B [解析] v(t)的导数 v′(t)表示 t 时刻的加速度. 2.某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)=2t3-5t2(t 表示时间),则 t=2 时,汽车的加速度 是( ) A.14 C.10 [答案] A [解析] 速度 v(t)=s′(t)=6t2-10t. 所以加速度 a(t)=v′(t)=12t-10,当 t=2 时,a(t)=14,即 t=2 时汽车的加速度为 14. 3.下列四个命题: ①曲线 y=x3 在原点处没有切线; ②若函数 f(x)= x,则 f′(0)=0; ③加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数; ④函数 y=x5 的导函数的值恒非负. 其中真命题的个数为( A.1 C.3 [答案] A [解析] ①中 y′=3x2,x=0 时,y′=0,∴y=x3 在原点处的切线为 y=0; ②中 f(x)在 x=0 处导数不存在; ③中 s(t)对时间 t 的导数为瞬时速度; ④中 y′=5x4≥0. 所以命题①②③为假命题,④为真命题. 二、填空题 4. 人体血液中药物的质量浓度 c=f(t)(单位: mg/mL)随时间 t(单位: min)变化, 若 f′(2) =0.3,则 f′(2)表示________. [答案] 服药后 2 分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟 0.3mg/mL 的速度增加. ) B.2 D.4 B.4 D.6 B.t=1s 时的加速度 D.t=1s 时的平均速度 )

5.假设某国家在 20 年间的平均通货膨胀率为 5%,物价 p(单位:元)与时间 t(单位:年) 有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中 p0 为 t=0 时的物价.假定某种商品的 p0=1,那 么在第 10 个年头,这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到 0.01). [答案] 0.08 [解析] 因为 p0=1,所以 p(t)=(1+5%)t=1.05t,在第 10 个年头,这种商品价格上涨 的速度,即为函数的导函数在 t=10 时的函数值. 因为 p′(t)=(1.05t)′=1.05t· ln1.05, 所以 p′(10)=1.0510×ln1.05≈0.08(元/年). 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨. 三、解答题 6. 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100 件, 假设日产品的总成本 C(元) 1 与日产量 x(件)的函数关系式为 C(x)= x2+60x+2 050.求: 4 (1)日产量 75 件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由 75 件提高到 90 件,总成本的平均改变量; (3)当日产量为 75 件时的边际成本. [ 解析 ] 1 C?75? (1) 当 x = 75 时, C(75) = ×752 + 60×75 + 2 050 = 7 956.25( 元 ) ,∴ 4 75

≈106.08(元/件). 故日产量 75 件时的总成本和平均成本分别为 7 956.25 元,106.08 元/件. ΔC C?90?-C?75? (2)当日产量由 75 件提高到 90 件时, 总成本的平均改变量 = =101.25(元 Δx 90-75 /件). (3)当日产量为 75 件时的边际成本 1 ∴C′(x)= x+60, 2 ∴C′(75)=97.5(元).

一、选择题 1.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,(s 的单位是 s,t 的单位是 s),那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( A.7 米/秒 C.5 米/秒 [答案] C [解析] s′(t)=2t-1, ) B.6 米/秒 D.8 米/秒

∴s′(3)=2×3-1=5. 2.如果质点 A 按规律 s=3t2 运动,则在 t=3 时的瞬时速度为( A.6 C.54 [答案] B 3?3+Δt?2-3×32 Δs [解析] 瞬时速度 v= lim = lim = lim 3(6+Δt)=18. Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt→0 3.如图,设有定圆 C 和定点 O,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图像大致是( ) B.18 D.81 )

[答案] D [解析] 由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时 段相对增速较快. 选项 A 表示面积的增速是常数,与实际不符; 选项 B 表示最后时段面积的增速较快,也与实际不符; 选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符; 选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快.符合实际. [点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来,导数的绝对值越大,函数变化越 快,函数图像就比较“陡峭”,反之,函数图像就“平缓”一些. 4.设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设速度 v(单位:m/s)与时间 t(单位:s)的函 数关系为 v=v(t)=t3+3t,则 t=t0s 时轿车的加速度为( A.t3 0+3t0 C.3t3 0+3t0 [答案] B [解析] ∵v′(t)=3t2+3, B.3t2 0+3 D.t3 0+3 )m/s2

2 则当 t=t0s 时的速度变化率为 v′(t0)=3t2 0+3(m/s ). 2 即 t=t0s 时轿车的加速度为(3t2 0+3)m/s .

[点评] 运动方程 s=s(t)的导数表示的是 t 时刻时的瞬时速度,速度方程 v=v(t)的导数 表示的是 t 时刻时的加速度. 5.(2009· 湖北理)设球的半径为时间 t 的函数 R(t).若球的体积以均匀速度 C 增长,则 球的表面积的增长速度与球半径( A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C [答案] D [解析] 本题主要考查导数的有关应用. 4 根据题意,V= πR3(t),S=4πR2(t), 3 球的体积增长速度为 V′=4πR2(t)· R′(t) 球的表面积增长速度 S′=2·4πR(t)· R′(t), 又∵球的体积以均匀速度 C 增长, ∴球的表面积的增长速度与球半径成反比,比例系数为 2C. 二、填空题 6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t s 后的位移为 s=3t2+t,则速度 v=10 时的 时刻 t=________. [答案] 3 2 ) B.成正比,比例系数为 2C D.成反比,比例系数为 2C

[解析] s′=6t+1,则 v(t)=6t+1,设 6t+1=10, 3 则 t= . 2 7.原油是工业的血液,它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从原油提取各种原 料需要将原油进行冷却和加热,如果第 x h 时,原油温度 ( 单位:℃) 为 f(x) = x2 - 7x + 15(0≤x≤8) . 计 算 第 6 h 时 , 原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率 为 ________ , 其 意 义 为 ________________________________________________________________________. [答案] 5 在第 6 h 附近时,原油温度约以 5 ℃/h 的速度上升 [解析] f′(x)=2x-7,则 f′(6)=2×6-7=5. 在第 6 h 附近时,原油温度大约以 5 ℃/h 的速度上升 三、解答题 8.如图所示,为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示(其中 W1(t), W2(t)分别表示甲、乙两工厂的排污量),试比较哪个工厂的治污效果好?

Δy [分析] 取区间[x0,x0+Δx],则由| |= Δx f?x0+Δx?-f?x0? |来比较治污效果的好杯. Δx Δy Δy |比较大,而 W2(t)中| |比较小,工厂甲比 Δt Δt

|

[解析] 观察图形,单位时间内,W1(t)中|

工厂乙的平均治污染率大,从而判定工厂甲治污效果更好. [点评] 从“陡峭”的程度上也可形象说明,W1(t)图形更加“陡峭”,因而当 Δt 相同 时,Δy=f(t0+Δt)-f(t0)的值比 W2(t)更大些. 9.一杯 80℃的热红茶置于 20℃的房间里,它的温度会逐渐下降.温度 T(单位:℃)与 时间 t(单位:min)间的关系,由函数 T=f(t)给出.请问:

(1)f′(t)的符号是什么?为什么? (2)f′(3)=-4 的实际意义是什么?如果 f(3)=65℃, 你能画出函数在点 t=3min 时图像 的大致形状吗? [解析] (1)f′(t)是负数.因为 f′(t)表示温度随时间的变化率,而温度是逐渐下降的, 所以 f′(t)为负数. (2)f′(3)=-4 表明在 3min 附近时,温度约以 4℃/min 的速度下降,如图所示. 10.当销售量为 x,总利润为 L=L(x)时,称 L′(x)为销售量为 x 时的边际利润,它近似 等于销售量为 x 时,再多销售一个单位产品所增加或减少的利润. 某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 C(x)=100+2x+0.02x2, R(x)=7x+0.01x2. 求边际利润函数和当日产量分别是 200 kg,250 kg 和 300 kg 时的边际利润. [解析] (1)总利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2,边际利润函数为 L′(x) =5-0.02 x. (2)当日产量分别是 200 kg、250 kg 和 300 kg 时的边际利润分别是 L′(200)=1(元), L′(250)=0(元),L′(300)=-1(元).


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