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数学归纳法[高考数学总复习][高中数学课时训]


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数学归纳法

基础自测
1.用数学归纳法证明: “1+a+a +?+a = 答案 1+a+a (填序号). ①P(n)对 n∈N 成立 ②P(n)对 n>4 且 n∈N 成立 ③P(n)对 n<4 且 n∈N 成立 ④P(n)对 n≤4 且 n∈N 不成立 答案 ④
2 * * * * 2 2 n+1

1 ? a n? 2 (a≠1)”在验证 n=1 时,左端计算所得的项为 1? a

.

2.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论正确的是

3.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 答案
2 2 2

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 2
2

.

(k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1)

4.已知 f(n)=

1 1 1 1 + + +?+ ,则下列说法有误的是 n ?1 n ? 2 n n2

.

①f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=

1 1 + 2 3 1 1 1 + + 2 3 4 1 1 + 2 3 1 1 1 + + 2 3 4
n n

②f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= ③f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)=
2 2

④f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= 答案 时, 答案 ①②③ .

5. 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 “ 当 n 是 正 奇 数 时 , x +y 能 被 x+y 整 除 ”, 在 第 二 步 假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立

例2

用数学归纳法证明:
*

n∈N 时,

1 1 n 1 + +?+ = . 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1

证明

(1)当 n=1 时,左边=

1 1 = , 1? 3 3

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右边=

1 1 = ,左边=右边, 2 ?1 ? 1 3
*

所以等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即有
1 1 k 1 + +?+ = , 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 2k ? 1

则当 n=k+1 时,
1 1 1 1 + +?+ + 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3)

=

k(2k ? 3) ? 1 k 1 + = 2k ? 1 (2k ? 1)(2k ? 3) (2k ? 1)(2k ? 3)
2k 2 ? 3k ? 1 k ?1 k ?1 = = , ( 2k ? 1)(2k ? 3) 2k ? 3 2(k ? 1)? 1
*

=

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1) (2)可知,对一切 n∈N 等式都成立. 例2 试证:当 n 为正整数时,f(n)=3
2n+2

-8n-9 能被 64 整除.
4

证明 方法一 命题显然成立.

(1)当 n=1 时,f(1)=3 -8-9=64,
*

(2)假设当 n=k (k≥1,k∈N )时, f(k)=3 由于 3
2k+2

-8k-9 能被 64 整除. -8(k+1)-9=9(3 -8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3
2k+2 2k+2

2(k+1)+2

-8k-9)+64(k+1)

即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1) ∴n=k+1 时命题也成立. 根据(1) (2)可知,对任意的 n∈N ,命题都成立. 方法二 (1)当 n=1 时,f(1)=3 -8-9=64,命题显然成立.
* 2k+2 4 *

(2)假设当 n=k (k≥1,k∈N )时,f(k)=3 由归纳假设,设 3
2k+2

-8k-9 能被 64 整除.
2k+2

-8k-9=64m(m 为大于 1 的自然数),将 3 =64m+8k+9 代入到 f(k+1)中得

f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1), ∴n=k+1 时命题成立. 根据(1) (2)可知,对任意的 n∈N ,命题都成立. 例3 成立. 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+
1 4 5 = ;右边= . 3 3 2
*

用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式(1+

1 1 1 2n ? 1 ) (1+ )?(1+ )> 均 2n ? 1 3 5 2

∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k (k≥2,且 k∈N )时不等式成立, 即(1+
1 1 1 2k ? 1 ) (1+ )?(1+ )> . 2k ? 1 3 5 2
*

则当 n=k+1 时, (1+
1 1 1 1 ) (1+ )?(1+ )> [1 ? ] 2k ? 1 3 5 2(k ? 1) ? 1



4k 2 ? 8k ? 4 2k ? 2 2k ? 2 2k ? 1 · = = 2k ? 1 2 2k ? 1 2 2 2k ? 1

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4k 2 ? 8k ? 3 2 2k ? 1

=

2k ? 3 2k ? 1 2 2k ? 1

=

2(k ? 1) ? 1 2

.

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1) (2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 例 4 (16 分)已知等差数列{an}的公差 d 大于 0,且 a2,a5 是方程 x -12x+27=0 的两根,数列{bn}的前 n 项 和为 Tn,且 Tn=11 bn . 2
2

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试比较
?a 2 ? a 5 ? 12 (1)由已知得 ? , ?a 2 a 5 ? 27

1 与 Sn+1 的大小,并说明理由. bn



又∵{an}的公差大于 0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9. ∴d=

a5 ? a 2 9?3 = =2,a1=1.∴an=2n-1. 3 3
1 2 bn,∴b1= , 2 3 1 bn-1, 2

2分

∵Tn=1-

当 n≥2 时,Tn-1=1∴bn=Tn-Tn-1=1化简,得 bn=

1 1 bn-(1- bn-1), 2 2

1 bn-1, 3 2 1 ,公比为 的等比数列, 3 3
=

∴{bn}是首项为
2 ?1? ·? ? 3 ?3?

n ?1

即 bn=

2 3n

,

4分 5分

∴an=2n-1,bn=

2 3n

.

(2)∵Sn=

n[1 ? (2n ? 1)] 2 =n , 2
2

∴Sn+1=(n+1) , 以下比较

1 3n = . bn 2

6分

1 与 Sn+1 的大小: bn 1 3 1 = ,S2=4,∴ <S2, b1 2 b1 1 9 1 = ,S3=9,∴ <S3, b2 b2 2 1 27 1 = ,S4=16,∴ <S4, 2 b3 b3 1 81 1 = ,S5=25,∴ >S5. b4 2 b4

当 n=1 时, 当 n=2 时, 当 n=3 时, 当 n=4 时,

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猜想:n≥4 时,

1 >Sn+1. bn

8分

下面用数学归纳法证明: ①当 n=4 时,已证. ②假设当 n=k (k∈N ,k≥4)时, 那么 n=k+1 时,
*

1 3k 2 >Sk+1,即 >(k+1) . bk 2

1 bk?1
2

=

3k?1 3k 2 2 =3· >3(k+1) =3k +6k+3 2 2
2 2

=(k +4k+4)+2k +2k-1>[(k+1)+1] =S(k+1)+1, ∴n=k+1 时,

1 >Sn+1 也成立. bn
*

11 分 14 分

由①②可知 n∈N ,n≥4 时, 综上所述,当 n=1,2,3 时, 当 n≥4 时,

1 >Sn+1 都成立. bn 1 <Sn+1, bn

1 >Sn+1. bn

16 分

1.用数学归纳法证明: 对任意的 n ? N ,1*

1 1 1 1 1 1 1 1 + - +?+ = + +?+ . 2n 2 n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2 3 4 1 1 1 = = =右边, 2 2 1?1

证明

(1)当 n=1 时,左边=1-

∴等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,即 1*

1 1 1 1 1 1 1 1 + - +?+ = + +?+ . 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 2k 2 3 4

则当 n=k+1 时, 1= = =

1 1 1 1 1 1 1 + - +?+ + 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 2 3 4

1 1 1 1 1 + +?+ + k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 + +?+ + +( ) k ? 1 ? 1 k ?1? 2 k ? 1 2k ? 2 2k 2k ? 1
1 1 1 1 1 + +?+ + + , k ? 1 ? 1 k ?1? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

即当 n=k+1 时,等式也成立, 所以由(1) (2)知对任意的 n∈N 等式成立. 2.求证:二项式 x -y (n∈N )能被 x+y 整除. 证明 (1)当 n=1 时,x -y =(x+y)(x-y),
2 2 2n 2n * *

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 能被 x+y 整除,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,x -y 能被 x+y 整除, 那么当 n=k+1 时, x
2k+2 * 2k 2k

-y =x ·x -y ·y
2 2k 2k 2 2k 2 2k 2 2k 2k 2

2k+2

2

2k

2

2k

=x x -x y +x y -y y
2

2 2k

=x (x -y )+y (x -y ), 显然 x
2k+2

-y

2k+2

能被 x+y 整除,

即当 n=k+1 时命题成立. 由(1) (2)知,对任意的正整数 n 命题均成立. 3.已知 m,n 为正整数. 用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x) ≥1+mx. 证明
2 m

(1)当 m=1 时,原不等式成立;
2

当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x, 因为 x ≥0,所以左边≥右边,原不等式成立; (2)假设当 m=k(k≥1,k∈N )时,不等式成立, 即(1+x) ≥1+kx,则当 m=k+1 时, ∵x>-1,∴1+x>0. 于是在不等式(1+x) ≥1+kx 两边同时乘以 1+x 得 (1+x) · (1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx ≥1+(k+1)x. 所以(1+x) ≥1+(k+1)x, 即当 m=k+1 时,不等式也成立. 综合(1) (2)知,对一切正整数 m,不等式都成立. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n an(n∈N ). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. (1)解
2 2 * k+1 k 2 k k *

∵an=Sn-Sn-1(n≥2)

∴Sn=n (Sn-Sn-1) ,∴Sn= ∵a1=1,∴S1=a1=1. ∴S2=

n2 n 2 ?1

Sn-1(n≥2)

4 3 6 8 ,S3= = ,S4= , 3 2 4 5 2n * (n∈N ). n ?1
①当 n=1 时,S1=1 成立.
*

猜想 Sn=

(2)证明

②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,即 Sk= 当 n=k+1 时, Sk+1=(k+1) ·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+ ∴ak+1=
2

2k , k ?1

2k , k ?1

2 , ?k ? 2??k ? 1?
2

∴Sk+1=(k+1) ·ak+1=

2?k ? 1? 2?k ? 1? = , k ?2 ?k ? 1? ? 1

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 ∴n=k+1 时等式也成立,得证. ∴根据①、②可知,对于任意 n∈N ,等式均成立. 又∵ak+1=
*

2 2 ,∴an= . n(n ? 1) (k ? 2)(k ? 1)

一、填空题 1.用数学归纳法证明: “ 应是“ 答案 ”.

1 1 1 * + +?+ ≥1(n∈N )”时,在验证初始值不等式成立时,左边的式子 3n ? 1 n ?1 n ? 2

1 1 1 + + 2 3 4
*

2.如果命题 P(n)对于 n=k(k∈N )时成立,则它对 n=k+2 也成立,又若 P(n)对于 n=2 时成立,P(n)对 所有 ①正整数 答案 ② n 成立. ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于 1 的正整数

3.利用数学归纳法证明不等式 1+ 边增加了 答案 答案 答案 6.证明 2k
n 2

1 1 1 * + +?+ <n(n≥2,n∈N )的过程中,由 n=k 变到 n=k+1 时,左 2 3 2 n ?1

项. .

4.用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n>n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取 5 . f(n)+n-1
n?2 1 1 1 1 <1+ + + +?+ <n+1(n>1),当 n=2 时,中间式子等于 2 2 3 4 2n

5.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形的对角线条数 f(n+1)=

.

答案

1+

1 1 1 + + 2 3 4 1 1 1 13 + +?+ < 的过程, n=k 推导 n=k+1 时, 由 不等式的左边增加 n?n 24 n ?1 n ? 2

7.用数学归纳法证明不等式 的式子是 答案 .

1 1 1 + 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

8.用数学归纳法证明 1+

1 1 1 + +?+ <2 (n∈N,且 n>1),第一步要证的不等式是 n 2 3 2 ?1

.

答案

1+

1 1 + <2 2 3

二、解答题 9.用数学归纳法证明: 1+

1 2
2

+

1 3
2

+?+

1 n
2



3n * (n∈N ). 2n ? 1

证明

(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,

∴左边≥右边,即命题成立.

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 (2)假设当 n=k(k∈N ,k≥1)时,命题成立, 即 1+
*

1 2
2

+

1 3
2

+?+

1 k
2



3k . 2k ? 1

那么当 n=k+1 时,要证 1+

1 22

+

1 32

+?+

1 k2

+

1 (k ? 1)
2



3(k ? 1) , 2(k ? 1) ? 1

只要证

3(k ? 1) 3k 1 + ≥ . 2k ? 1 (k ? 1) 2 2k ? 3

∵ =

1 - (k ? 1) 2 3(k ? 1) 3k 1 = 2 2k ? 3 2k ? 1 (k ? 1) (k ? 1) 2 [4(k ? 1) 2 ? 1]

-k (k ? 2) (k ? 1) 2 (4k 2 ? 8k ? 3)

<0,



3(k ? 1) 3k 1 + ≥ 成立, 2k ? 1 (k ? 1) 2 2k ? 3

即 1+

1 22

+

1 32

+?+

1 k2

+

1 (k ? 1)
2



3(k ? 1) 成立. 2(k ? 1) ? 1

∴当 n=k+1 时命题成立. 由(1) 、(2)知,不等式对一切 n∈N 均成立. 10.用数学归纳法证明(3n+1) -1 (n∈N )能被 9 整除. ·7 证明 (1)当 n=1 时,4×7-1=27 能被 9 整除,命题成立.
* k n * *

(2)假设 n=k (k≥1,k∈N )时命题成立, 即(3k+1)·7 -1 能被 9 整除. 当 n=k+1 时, [(3k+3)+1] ·7 -1=(3k+1+3)·7·7 -1 =7·(3k+1)·7 -1+21·7
k k k k k k k k k+1 k

=[(3k+1)·7 -1]+18 ·7 +6·7 +21·7 =[(3k+1)·7 -1]+18k·7 +27·7 , 由归纳假设(3k+1)·7 -1 能被 9 整除, 又因为 18k·7 +27·7 能被 9 整除, 所以[3(k+1)+1] ·7 -1 能被 9 整除, 即 n=k+1 时命题成立.
k+1 k k k k k

由(1) (2)知,对所有的正整数 n,命题成立. 11.数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N ). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. (1)解 当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
*

当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=

3 . 2 7 . 4 15 . 8

当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=

当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=

由此猜想 an=

2n ? 1 2 n ?1

(n∈N ).

*

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 (2)证明 ①当 n=1 时,a1=1,结论成立.
*

②假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时,结论成立,即 ak= 那么 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak,
2 ? ak = 2
2? 2k - 1
k?1 -1 2 k- 1 = 2 , 2 2k

2k ?1 2 k ?1

,

∴ak+1=

这表明 n=k+1 时,结论成立, 由①②知猜想 an=

2 n ?1 2
n ?1

(n∈N )成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 *

*

12.是否存在常数 a、b、c 使等式 1 +2 +3 +?+n +(n-1) +?+2 +1 =an(bn +c)对于一切 n∈N 都成立,若 存在,求出 a、b、c 并证明;若不存在,试说明理由. 解
2 2

假设存在 a、b、c 使
2 2 2 2 2 2 *

1 +2 +3 +?+n +(n-1) +?+2 +1 =an(bn +c) 对于一切 n∈N 都成立. 当 n=1 时,a(b+c)=1; 当 n=2 时,2a(4b+c)=6; 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.

?a(b ? c) ? 1, ? 解方程组 ?a(4b ? c) ? 3 ?3a(9b ? c) ? 19, ?
证明如下:

1 ? ?a ? 3 , ? 解得 ?b ? 2, ?c ? 1. ? ? ?

①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. ②假设 n=k(k∈N )时等式成立, 即 1 +2 +3 +?+k +(k-1) +?+2 +1 =
2 2 2 2 2 2 2 *

1 2 k(2k +1) ; 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

当 n=k+1 时, 1 +2 +3 +?+k +(k+1) +k +(k-1) +?+2 +1 = = = = =

1 2 2 2 k(2k +1)+(k+1) +k 3 1 2 2 k(2k +3k+1)+(k+1) 3 1 2 k(2k+1) (k+1)+(k+1) 3 1 2 (k+1) (2k +4k+3) 3 1 2 (k+1) [2(k+1) +1]. 3

即 n=k+1 时,等式成立.

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因此存在 a=

1 * ,b=2,c=1,使等式对一切 n∈N 都成立. 3

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