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【重庆专用】【湘教版】高中数学必修四、必修五学业水平测试试题(1)(教师版)


【湘教版】高中数学必修四、必修五学业水平测试试题(1)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是( ) A.频率就是概率 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增多,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 解析:选 C.由频率与概率的关系及概率的定义 C 对. 2.下列试验是古典概型的是( ) A.从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球,观察球的颜色 B.在适宜条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 C.连续抛掷两枚质地均匀的硬币,观察出现正面、反面、一正面一反面的次数 D.从一组直径为(120± 0.3) mm 的零件中取出一个,测量它的直径 解析:选 A.由古典概型的定义可知. 3.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全 是次品”, C=“三件产品有次品, 但不全是次品”, 则下列结论哪个是最准确的是( ) A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 C.任何两个相互斥 D.任何两个都不互斥 解析:选 C.由题意知事件 A、B、C 两两不可能同时发生,因此两两互斥. 4.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格 铁钉的概率是( ) 1 1 A. B. 5 4 4 1 C. D. 5 10 8 4 解析:选 C.恰有一个合格的概率:10=5. 5. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有 1 个白球,都是白球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是红球 解析:选 C.由互斥事件与对立事件定义可得. 6. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 乙也从该正方形四个顶点任意 选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) 3 4 A.18 B.18 5 6 C.18 D.18 解析:选 C.所有基本事件总数为 6×6=36 种, 10 5 甲选正方形边时垂直的情况为 8 种, 甲选对角线时垂直的情况有 2 种, 故概率为36=18, 选 C. 1 7.在区间(0,1)内任取一个数 a,能使方程 x2+2ax+2=0 有两个不相等的实根的概率 为( )

1 A.2 2 C. 2

1 B.4 D. 2- 2 2

2 2 解析:选 D.由题意知 Δ>0,即 4a2-2>0,解得 a> 2 或 a<- 2 (不符合题意,舍 2 1- 2 2- 2 2 去).∵a> 2 ,∴P= 1 = 2 . 8.如图,两个圆盘都是六等分,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机 会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )

4 A.9 2 C.3

2 B.9 1 D.3

解析:选 A.可求得同时落在奇数所在区域的基本事件有 4×4=16 种,而总的基本事 16 4 件有 6×6=36 种,于是由古典概率公式可得所求概率为36=9. 9.某射手在一次射击训练中,射中 10 环,9 环,8 环,7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,则该射手在一次射击中射中 10 环或 9 环的概率是( ) A.0.44 B.0.56 C.0.21 D.0.23 解析:选 A.由互斥事件定义可得:所求概率为:0.21+0.23=0.44. 10.两根相距 6 m 的木杆系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是( ) 2 1 A.3 B.3 C.0 D.1 2 1 解析:选 B.由已知得:P=6=3. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上) 11.有五条线段,长度分别是 1,2,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则以所得的三条 线段为边不能构成三角形的概率为________. 解析:从五条线段中任取三条共有 10 种结果,能构成三角形的结果有 3,5,7 或 3,7,9 7 或 5,7,9,共 3 种,所以不能构成三角形的结果有 7 种,故所求概率为 P=10=0.7. 答案:0.7 12.盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别,现由 10 个人依次摸出 1 个球,设第一个人摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1,第十个人摸出黑 球的概率是 P10,则 P1 与 P10 的关系是________. 1 1 解析:第一个人摸出黑球的概率为10,第 10 个人摸出黑球的概率也是10,所以 P10= P1. 答案:P10=P1

13.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结 9 论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约为10,那么该台每小时约有 ________分钟广告. 9 解析:这是一个与时间长度有关的几何概率,这人看不到广告的概率为10,则看到广 1 1 告的概率约为10,故 60×10=6(分钟). 答案:6

1 14.如图,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为3a 1 与2a,高为 b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________. 11 解析: 两“几何度量”即为两面积, 直接套用几何概率公式, 矩形=ab, 梯形=2(3 S S 5 ab S梯形 12 1 5 5 a+2a)· 12ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为 b= = ab =12. S矩形 5 答案:12 15.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随 机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9), (2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)共 10 种情况. 满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 种情况,所以它们的 2 1 长度恰好相差 0.3 m 的概率为 P=10=5. 1 答案:5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)2010 年 11 月 17 日,在广州亚运会射击赛场上,中国选手王成 意发挥出色,获女子 50 米步枪三种姿势金牌,伊朗美女伊拉希· 艾哈迈迪获得银牌.下表 是两人在参赛前训练中击中 10 环以上的次数统计: 10 20 50 100 200 400 (王成意)射击次数 17 44 92 179 360 命中 10 环以上的次数 9 命中 10 环以上的频率 10 20 50 100 200 400 (艾哈迈迪)射击次数 17 44 93 177 363 命中 10 环以上的次数 8 命中 10 环以上的频率 请根据上表回答以下问题: (1)分别计算出两位运动员击中 10 环以上的频率; (2)根据两表中的数据预测两位运动员在奥运会上每次击中 10 环以上的概率.

解:(1)两位运动员击中 10 环以上的频率为: 王成意:0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9; 艾哈迈迪:0.8,0.85,0.88,0.93,0.885,0.908. (2)由(1)中的计算数据的结果可以知道, 两位运动员击中 10 环以上的频率都集中在 0.90 这个值的附近,所以两人每次击中 10 环以上的概率都约为 0.90,也就是说两人的实力相 当. 17.(本小题满分 12 分)一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球, 从中一次摸出两只球: (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少? 解:(1)分别记白球为 1、2、3 号,黑球为 4、5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事 件(摸到 1、2 号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5). 因此,共有 10 个基本事件.

(2)如图,上述 10 个基本事件发生的可能性相同,且只有 3 个基本事件是摸到两只白 3 球(记为事件 A),即(1,2),(1,3),(2,3),故 P(A)=10. 18.(本小题满分 12 分)现有一批产品共有 10 件,其中 8 件正品,2 件次品. (1)如果从中取出 1 件,然后放回,再任取 1 件,求连续 2 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 2 件,求 2 件都是正品的概率. 解:(1)为返回抽样问题.每次抽样都有 10 种可能,连续取 2 次,所以等可能出现的 结果为 102 种,设事件 A 为“两次返回抽样,取出的都是正品”,则 A 包含的结果为 82 种. 82 16 ∴P(A)= 2= . 10 25 (2)为不返回抽样问题,可视为有顺序性,从中取第一次有 10 种结果,取第二次有 9 种不同结果, 所以从 10 件产品中一次取 2 件, 所有等可能出现的结果是 10×9=90 种. 设 B 表示“一次抽 2 件都是正品”,则 B 包含的结果有 8×7=56 种. 56 28 ∴P(B)=90=45. 19.(本小题满分 13 分)有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位: cm),得到下面数据: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 编号 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 直径 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率. 解:(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 6 3 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A,则 P(A)= = . 10 5

(2)①一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6}, {A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6}, {A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有 15 种. ②“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果 有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种.所 6 2 以 P(B)= = . 15 5 20.(本小题满分 13 分)甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者 应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率. 解:

以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件 是|x-y|≤15.如图平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形,而事 SA 件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示, 由几何概率公式得 P(A)= S = 602-452 7 602 =16. 21.(本小题满分 13 分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人). 高 相关人 抽取人 校 数 数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1)求 x,y; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率. x 2 y 解:(1)由题意可得,18=36=54,所以 x=1,y=3. (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B,C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1, c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共 10 种. 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3), 3 3 (c2,c3),共 3 种,因此 P(X)=10.故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为10.


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