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等差数列前n项和第二课时


等差数列前n项和(第二课时)

人教版高中数学必修五

第二章第三节
数统学院 0907班 王茹

学号:2009212117

知识衔接 探究总结一 探究总结二 随堂练习

课后作业

等差数列前n项和 复习回顾

1 倒序相加法推导出
n(a1 ? an ) s 等差数列前n项和公式一:n ? 2
n(n ? 1)d sn 等差数列前n项和公式二: ? na1 ? 2

2 公式的简单应用:“知三求二”

课前练习

{ 1、 等差数列 an }中,a2 ? a5 ? 19, s5 ? 40, 则a10 ? __
29

{ , 2、 等差数列 an }中,a2 ? a7 ? a12 ? 21 则s13 ? __
91

新课:探究一

1 例1:已知数列 an }的前n项和sn ? n ? n, { 2 求{an }的通项;问 an }是否为等差数列? {
2

新课:探究一
分析:首项求出数列an }的通项, 再根据等差数列的 { 定义判定该数列是否为 等差数列. 解:n ? 1时,a1 ? s1 ? 3 2

1 1 n ? 2时,an ? sn ? sn ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 2 1 ? 2n ? 2 1 3 1 当n ? 1时,a1 ? 2 ?1 ? ? 成立,故an ? 2n ? , n ? N ? . 2 2 2 1 1 n ? 2时,由于an ? an ?1 ? 2n ? ? 2(n ? 1) ? ? 2为常数, 2 2 故数列{an }为等差数列 .

思考

? 数列 an }为等差数列 数列 an }前n项和 { { ? sn ? An2 ? Bn, A, B ? R

思考
n(n ? 1) d 2 d 解:“?”由S n ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2 与sn ? An2 ? Bn, A, B ? R的形式相同,故“ ”成立. ? “?”当n ? 1时,a1 ? s1 ? A ? B n ? 2时,an ? sn ? sn ?1 ? An2 ? Bn ? A(n ? 1) 2 ? B(n ? 1) ? 2 An ? A ? B n ? 1时,a1 ? 2 A ?1 ? A ? B ? an ? 2 An ? A ? B, n ? N ? 当n ? 2时,an ? an ?1 ? 2 An ? A ? B ? [2 A(n ? 1)

? ? A ? B] ? 2 A为常数,故 an ?为等差数列 .

结论一:

数列{an }为等差数列 ? 数列{an }前 n项和sn ? An ? Bn, A, B ? R
2

更进一步,可以得到: d d A ? , B ? a1 ? ; 2 2 A ? 0时,数列 an }为常数列. {

探究二

例2 : 在等差数列 an }中,a10 ? 23, a25 ? 22, { (1)该数列从第多少项开始 an ? 0 ? 有 ( 2)该数列前多少项和有最 大值?

思考二 思考二

?a1 ? 9d ? 23 解:由a10 ? 23, a25 ? ?22, 得? ? a1 ? 50, d ? ?3. ?a1 ? 24d ? ?22 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?3n ? 53 53 对( )令an ? 0, 即 ? 3n ? 53 ? 0, 得n ? 1 3 由n ? N ?,故取n ? 18, 即从第 项开始有an ? 0. 18 (2) sn ? a1 ? a 2 ? ? ? an ? a1 ? ? a17 ? a18 ? ? ? an ? ?? ????? ? ?
? ?

显然n ? 17时,有smax ? s17

思考二
? 3 2 103 3 103 2 103 2 3 (2)法二:由S n ? n ? n ? ? (n ? ) ?( ) ? 2 2 2 6 6 2 103 2 3 ? 由于n ? N , 故取n ? 17, 此时s17 ? smax ? ( ) ? 6 2

总结二
1.a1 ? 0, d ? 0时,sn有最大值 a1 ? 0, d ? 0时,sn有最小值 2.求sn最值的方法

判断s n 最值的更详细形式: 若已知sn , 可用二次函数配方法求 n的最值. s d ? 0时,分? ?a n ? o ?a1 ?s0, smax n? s1 由? , 确定n, 从而得 max ? s ?an ?1 ? 0 ?a1 ? 0, smin ? s1 ? a1 ?? ?an d 0 0时,分?a ? 0, s ? s (n ? 2) 由? , 确定n, 从而得smin min n . n ?s ? 1
?an ?1 ? 0 若已知an , 首先根据da1 ? 0, smax ?n有最大或最小值 . ? 的符号,判s sn (n ? 2)

课堂练习

2.已知{an }是等差数列, 3 ? a9 ? 50, a 并确定相应n的值.

a5 a7 ? 616.试求数列 an }前n项和的最大值, {

课堂练习

1.设等差数列 an }的前n项和为sn , 且 { a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0,求 ( )公差d的范围; 1

(2)S1 , S 2 ,? , S n中哪个最大?并说明理 . 由

课堂练习
1
解( )a3 ? a1 ? 2d ? a1 ? a3 ? 2d ? 12 ? 2d 1 12(a1 ? a12 ) S12 ? ? 6(2a1 ? 11d ) ? 12a1 ? 66d 2 ? 12(12 ? 2d ) ? 144? 42d ? 0 13(a1 ? a13 ) 13 S13 ? ? (2a1 ? 12d ) ? 13a1 ? 78d 2 2 ? 13(12 ? 2d ) ? 78d ? 156? 52d ? 0 24 ?? ? d ? ?3 7

课堂练习

? 12 ( a1 ? a12 ) ?0 2 (2) ? S12 ? 0, S13 ? 0,即? 13 ? 2 ( a1 ? a13 )?0 ?a ? a6 ?07 ?0 ? a6 ? 0, a7 ? 0, 故s6最大。 a7

?

课堂练习 2 解:a3 ? a9 ? 2a6 ? 50 ? a6 ? 25,

a5 a7 ? (a6 ? d )(a6 ? d ) ? 616 ? d ? ?3

当d ? 3时,由a6 ? a1 ? 5d ? a1 ? 10 此时sn无最大值;当 ? ?3时,同理得 d a1 ? 40, an ? 40 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 43 3 3 3 83 S n ? ? n 2 ? (40 ? )n ? ? n 2 ? n 2 2 2 2 3 83 3 83 3 83 法一:S n ? ? n 2 ? n ? ? (n ? ) 2 ? ? ( ) 2 2 2 2 6 2 6 83 离 最近的整数为 ,故当n ? 14时, 14 6 3 83 S14 ? ? ?142 ? ?14 ? 287为sn的最大值。 2 2

课堂练习

法二:由

?

an ? 0 an?1 ? 0



?

?3 n ? 43? 0 ?3( n ?1) ? 43? 0

40 43 ? ? n ? 取n ? 14, 3 3 14?13 S max ? S14 ? 14?10 ? .(?3) ? 287 2

作业
1 2 2 1.已知数列{an }的前n项和为sn ? n ? n ? 3.求 4 3 这个数列的通项公式 . 2.求集合{M ? m | m ? 2n ? 1, n ? N , 且m ? 60}的 元素个数,并求这些元素的和. 3.数列{an }是等差数列,且a3 ? a9 ? 50, a5 a7 ? 616, 试求数列{an }前n项和的最大值,并指出对应n的取值. ?


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