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高二数学第八章圆锥曲线方程基础练习 新课标 人教版


高二数学第八章圆锥曲线方程基础练习
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一.椭圆 (焦点在 x 轴) 标准 方程 (焦点在 y 轴)

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于定长(定长 大于两定点间的距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫焦点, 两定点间距离焦距。 {M MF1 + MF2 = 2 a} (2 a > F1 F2 )
y
M

y
F2
M

F1

O

F2

x

O

x

F1





第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是小于 1 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭 圆的焦点,定直线是椭圆的准线。 y
y
M M

F2

M

F1

F2

x

F1

M

x





x ≤a

y ≤b

x ≤b

y ≤a

顶点坐标 对 称 轴 对称中心

( ± a,0) (0, ±b)

(0,± a ) (±b, 0)

x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b
原点 O (0, 0)

F1 (c, 0)
焦点坐标

F2 (?c, 0)

F1 (0, c )

F2 (0, ?c)

焦点在长轴上, c =

a 2 ? b 2 ; 焦距: F1 F2 = 2c
119 号编辑 1

用心 爱心 专心

离 心 率

e=

c ( 0 < e < 1) a

,e =
2

c2 a2 ? b2 = , a2 a

e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。
x=±
准线方程 准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离:

a2 c

y=±

a2 c 2a 2 c

a2 顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 ?a c 顶点到准
线的距离 顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为

a2 +a c a2 ?c c a2 +c c

焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 焦点到准 线的距离 焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 椭圆上到 焦点的最 大(小) 距离 椭圆的参 数方程 最大距离为: a + c 最小距离为: a ? c 相关应用题:远日距离 a + c 近日距离 a ? c

? x = a cos ? ( ? 为参数) ? ? y = b sin ?
利用参数方程简便:椭圆 ?

? x = b cos ? ( ? 为参数) ? ? y = a sin ?

椭圆上的 点到给定 直线的距 离

? x = a cos ? ( ? 为参数)上一点到直线 ? y = b sin ?
|Aa cos ? + Bb sin ? + C| A2 + B 2

Ax + By + C = 0 的距离为: d =

x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 与直线 y = kx + b 的位置关系: a b
直线和椭 圆的位置

? x2 y 2 =1 ? + 利用 ? a 2 b 2 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y = kx + b ?
相交弦 AB 的弦长 AB = 1 + k 2 (x1 + x2 )2 ? 4x1 x2

用心 爱心 专心

119 号编辑

2

通径: AB = y2 ? y1 过椭圆上 一点的切 线 二.双曲线 标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线 标准方程(焦点在 y 轴)

x0 x y0 y + 2 = 1 利用导数 a2 b

y0 y x0 x + 2 = 1 利用导数 a2 b

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

y2 x2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数 (小于 F1 F2 )的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦 点,两焦点的距离叫焦距。 {M MF1 ? MF2 = 2 a} (2 a < F1 F2 )

P
F1

y

y
x

y

y

x
P

F2
x

F2 F1

x

定义

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e > 1 时,动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点, 定直线叫做双曲线的准线,常数 e ( e > 1 )叫做双曲线的离心率。

P
F1

y

y

y

P
x

P

y

x
P

F2
x

F2 F1

x

范围 对称轴 对称中心

x ≥ a, y∈R

y ≥ a , x∈R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
原点 O (0, 0)

F1 (?c, 0)
焦点坐标

F2 (c, 0)

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c =

a 2 + b 2 ;焦距: F1 F2 = 2c
用心 爱心 专心 119 号编辑 3

顶点坐标 离心率

( ? a ,0) ( a ,0)

(0, ? a ,)

(0, a )

e=
x=± a2 c

c (e > 1) a
y=± a2 c
2

准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c

顶点到准 线的距离

顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 a ? a
2

2

c

顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a + a
c

焦点到准 线的距离 渐近线 方程 共渐近线 的双曲线 系方程

焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c ? a
2

2

c

焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a + c
c

y=±

b (虚) x a 实

x=±

b y a

(虚) 实

x2 y2 ? = k (k ≠ 0) a2 b2
双曲线

y2 x2 ? = k (k ≠ 0) a2 b2

x2 y2 ? = 1 与直线 y = kx + b 的位置关系: a2 b2

? x2 y 2 =1 ? ? 转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和双 利用 ? a 2 b 2 ? y = kx + b 曲线的位 ?
置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 AB = 1 + k 2 (x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 通径: AB = y2 ? y1 过双曲线 上一点的 切线 三.抛物线

x0 x y 0 y ? 2 = 1 或利用导数 a2 b

y0 y x0 x ? 2 = 1 或利用导数 a2 b

用心 爱心 专心

119 号编辑

4

y 2 = 2 px ( p > 0)
抛 物 线

y 2 = ?2 px ( p > 0) y

x 2 = 2 py ( p > 0)

x 2 = ?2 py ( p > 0) y

l

y

l
O x

y F O x

l
O F x

O

F

x

F

l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离} 范围 对称性 焦点 (

定义

x ≥ 0, y ∈ R

x ≤ 0, y ∈ R

x ∈ R, y ≥ 0

x ∈ R, y ≤ 0

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

p ,0) 2

(?

p ,0) 2

(0,

p ) 2

(0, ?

p ) 2

焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到 准线的 距离 焦点到 准线的 距离

O (0, 0)
e =1 x=? p 2 x= p 2 p 2
p
设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 = 2 px ( p >0) 交于 A ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) B 则:(1) x1 x 2 =

y=?

p 2

y=

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

焦点弦 的几条 性质

p2 4

y o

A ( x1 , y1 )
x B ( x2 , y2 ) F

(2) y1 y 2 = ? p 2 (3)通径长: 2 p (4)焦点弦长 AB = x1 + x2 + p

用心 爱心 专心

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5

直线与 抛物线 的位置 切线 方程

抛物线 y = 2 px 与直线 y = kx + b 的位置关系:
2

利用 ?

? y = kx + b
2 ? y = 2 px

转化为一元二次方程用判别式确定。

y0 y = p ( x + x0 )

y0 y = ? p( x + x0 )

x0 x = p( y + y0 )

x0 x = ? p( y + y0 )

用心 爱心 专心

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6


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