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高考总复习-数学《圆锥曲线》单元测试题及答案-


陈先槟
高二数学《圆锥曲线》单元测试题

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.下列曲线中离心率为

6 2
B

的是(



A

x2 y2 ? ?1 2 4

x2 y2 ? ?1 4 2

C

x2 y2 ? ?1 4 6

D

x2 y2 ? ?1 4 10
)

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 的值为( 2.椭圆 10 ? m m ? 2
A.4 B.5 C.7 D.8

3.设焦点在 x 轴上的双曲线的虚轴长为 2,焦距为

2 3 ,则该双曲线的渐近线方程是(
y?? 2 x 2
D



A

y ? ? 2x
x2 ?

B

y ? ?2 x

C

y??
)

1 x 2

4.抛物线

A.

17 16

1 y 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( 4 15 7 B. C. 0 D. 16 8

5.已知 1 、 A.64

F

F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,椭圆的弦 DE 过焦点 F1 ,若直线 DE 的倾斜角为 ? (a ? 0) ,则 ?DEF2 的周长为( 16 9
D.随

)

B.20

C.16

? 变化而变化


6.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (b>0)的一条准线恰好为圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 的一条切线,则 b 的值等于( 16 b2
8
C.

A.

4

B.

2 3

D.

4 3
???? ???? ?
)

PF ? PF2 1 x2 y2 ? ? ,则△F1PF2 的面积为( 7.已知 P 是椭圆 ? ? 1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 ???? 1 ???? | PF1 | ? | PF2 | 2 25 9
A.3 3 B.2 3 C. 3 D. 3 3

8. 如图, 直线 MN 与双曲线 C: (λ ∈R), 则实数λ 的取值为( A. 1 2 B. 1 C.2

x2 y2 = 1 的左右两支分别交于 M、 N 两点, 与双曲线 C 的右准线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又= λ 2 - a b2 ) D. 1 3

9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线的离心率的取值范围是( a 2 b2
B. (1,



A. (1,

2]

2 ?1]

C. [

2, ??)

D. [

2 ? 1, ??)
1

陈先槟

y2 10.如图,圆 F: ( x ? 1) ? y ? 1和抛物线 x ? 4
2 2

,过 F 的直线与抛物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点,求

AB ? CD 的值是 (



A

1

B

2

C

3

D

无法确定

11. 椭圆

? x2 y2 的准线平行于向量 n ? (m,0) ,则 m 的取值范围是( ? ? 1 m2 (m ? 1)2
1 2
B. m



A. m

?

?

1 2

C. m

?

1 且m ? 0 2

D. m

?

1 且m ? 0 2

12.下列命题: (1) 动点 M 到二定点 A、B 的距离之比为常数

? (? ? 0且? ? 1), 则动点 M 的轨迹是圆;
,则 b

(2)

椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

? c;

(3)

双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a2 b2

(4)

.已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )且OA ? OB (O 是坐标原点),则 y1 y2 ? ? p 2 .
) B. (1)、(4) C. (1)、(3) D. (1)、(2)、(3)

以上命题正确的是( A.(2)、(3)、(4)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴长在 y 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和是 12,则椭圆的方程是 2

——————————————————

14. 动圆 M 与圆 C1:

2 ?x ? 2?2 ? y 2 ? 1和圆 C : ?x ? 2? ? y 2 ? 1 都外切,则动圆 M 圆心的轨迹方程是
2

————————————————

15. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点是 F(1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程是————————————————

y2 2 ? 1 ,点 A( ? 5 ,0 ) 16.已知双曲线 x ? ,B 是圆 x 2 ? ?y ? 5 ? ? 1 上一点,点 M 在双曲线右支上,则 MA ? MB 的最小值是 4
2

——————————————

三、解答题

17.经过双曲线

x2 ?

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 6 3

的弦 AB,

求(1)线段 AB 的长; (2)设 F2 为右焦点,求

?F2 AB 的周长。

18.已知点

2 C为 y ? FB ? 2 FC ? 0 ? 2 px ( p ? 0 ) 的准线与 x 轴的交点,点 F为焦点,点 A, B 为抛物线上两个点,若 FA 。

(1)求证:

AB ? x轴 ; (2)求向量 FA 与 FB 的夹角。

19.已知 A(1,0)和直线 m:

x ? 1 ? 0 ,P 为 m 上任一点,线段 PA 的中垂线为 l,过 P 作直线 m 的垂线与直线 l 交于 Q。

(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,证明你的结论。 20.设椭圆 x ? y ? 1?a ? b ? 0 ? 过 M 2 2
2 2

a

b

?2, 2 ? ? 6,1?
、N

两点,O 为坐标原点,

2

陈先槟
(1)求椭圆 E 的方程;2)若直线

y ? kx ? 4?k ? 0? 与圆 x 2 ? y 2 ?

8 相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求证: OA ? OB 3
,D 两点,双

2 2 21. 如图,双曲线 x ? y ? 1?a ? 0, b ? 0? 的两条渐近线分别为 1 2 2

a

b

l , l 2 ,经过右焦点 F 垂直与 l1 的直线分别交 l1 , l 2 于 A、B 两点与双曲线交于 C
y L1

曲线的离心率

5 。 (1)求证: OA , AB , OB 依次成等差数列; (2)若 F( 5 , 0) ,求三角形 OCD 的面积。 2

B D x C L2 A

O

F

22. 已知直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的 a2 b2

动点,直线 AS、BS 与直线

x?

10 分别交于 M、N 两点。 3 1 ,求直线 T1T2 在 y 轴上的截距。 5

(1)求椭圆方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆上有两点 T1,T2,使得△T1SB,△T2SB 的面积都为

圆锥曲线单元测试题答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D

二、填空题

13

y2 x2 ? ?1 36 9

14

x?0

15

y?x

16

10 ? 1

三 、解答题

17.解: (1) 、

F1 ?? 2,0?

k ? tan

?
6

?

3 3 3 ?x ? 2? 3
代入 3x
2



A?x1 y1 ? B?x2 y 2 ? 则直线 AB : y ?
AB ? 1 ? k 2 ? ?3 8

? y2 ? 3 ? 0

整理得 8 x

2

? 4 x ? 13 ? 0

由距离公式

6分

(2) 、

F2 A ? 2 x1 ? 1, F2 B ? 1 ? 2 x2

? F2 A ? F2 B ? 2?x1 ? x2 ? ? 2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

? 2?
6分

3 3 ?3 3 2

? ?F2 AB的周长L ? 3 ? 3 3

3

陈先槟

18.解: (1)

A?x1, x2 ?

p ? p ? B?x2 y 2 ? , F ( ,0), C ? ? ,0 ? , 2 ? 2 ?
由题意得: 1

p P ? ? ? ? FA ? ? x1 ? , y1 ?, FB ? ? x2 ? , y 2 ? FC ? ?? p.0? 2 2 ? ? ? ?
y1 ? ? y 2 ,即x1 ? x 2 ? 3p 2

x ? x2 ? 3 p. y1 ? y2 ? 0



y1 ? 3 p, y2 ? ? 3 p
6分

3 ?3 ? A( p, 3 p), B? p,? 3 p ? 关于 x 轴对称,? AB ? x轴 2 ?2 ?
(2)? tan AFG ?

3p 3 p p? 2 2
,即向量

? 3

即 ?AFG

?

?
3

由对称得 ?AFB

?

2? 3

FA 与 FB 的夹角为

2? 3

6分

19.解: (1)设 Q(x,y),由题意知

PQ ? QA ,Q 在以 A 为焦点的抛物线上,
4分

p ? 1, p ? 2 2

Q 点轨迹方程 C 为:

y 2 ? 4x

(2)设 P(-1,y0) ,当

y0 ? 0时 , k PA ? ?

y0 2

,PA 中点坐标是 ? 0,

? ?

y y0 ? 2 x? 0 ? ,PA 中垂线方程: y ? y0 2 2?

,联立抛物线方程

y 2 ? 4x 得

y 2 ? 2 y0 y ? y0 ? 0 ,有 ? ? 0
说明直线 l 与曲线 C 始终相切。 当 ,l 是 y 轴,与曲线 C 相切。 y0 ? 0时 时,Q(0,0) 8分

2

20.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) a 2 b2

,N(

6 ,1)两点,

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a ?a b 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 椭圆 E 的方程为 2 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)设

4分

A?x1 y1 ? B?x2 y 2 ? ,由题意得: d ?

4 1? k
2

?

2 6 ,k ? 5 3

2分

? y ? 5x ? 4 16 24 ? 5 , x1 x 2 ? 联立 ? x 2 化简得 11x 2 ? 16 5x ? 24 ? 0 ,有 x1 ? x 2 ? ? y2 11 11 ? ?1 ? 4 ?8

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?

? 5x ? 4?? 5x
1

2

? 4 ? 6x1 x2 ? 4 5( x1 ? x2 ) ? 16 = ?
4

?

320 144 ? ? 16 ? 0 11 11

? OA ? OB

陈先槟
2分

c2 5 1 ? ,? a ? 2b, 设?AOF ? ?BOF ? ? , 则 tan ? ? , 故 tan ?AOB ? tan 2? 2 a 4 2 ??? ? AB 4 ??? ? ??? ? ??? ? 2tan? 4 ? ? , 即 ? , 令 OA ? 3 m ( m ? 0), 则 AB ? 4 m , OB ? 5m ??? ? 1 ? tan 2 ? 3 OA 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 满足 OA ? OB ? 2 AB ,? OA , AB , OB 依次成等差数列 21. () 1?
(2)已知c2 =5, ? a 2 ? 4, b 2 =1,双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 4 设直线AB的斜率为k,则k=tan?BFO=tan?AFO=cot? =2 x2 ? y 2 ? 1得15 x 2 ? 32 5 x ? 84 ? 0 4 ? ? 5 15
6分

? l AB : y ? 2( x ? 5), 代入

? 弦CD的长度 CD ? 1 ? k 2

(32 5) 2 ? 4 ?15 ? 84 4 ? 15 3 2 5 1 1 4 4 设O到CD距离为d,则d= ? 2,? S ?OCD ? CD ? d ? ? ? 2 ? 2 2 3 3 5

22. 解(1)由已知得椭圆 C 的左顶点 A(-2,0),上顶点 D(0,1) ,得 a

? 2, b ? 1

x2 ? y2 ? 1 故椭圆方程: 4

2分

(2)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且大于 0,故设直线 AS:

y ? k ( x ? 2) ,得 M (

10 16 k , ) 3 3
2分

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 2 由? x 得 1 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 4

?

?

16 k 2 ? 4 2 ? 8k 2 , 得 x ? , 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 8k 2 4k 从而y1 ? , 即 S ( , ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ( x ? 2) B(2,0) ,直线 BS: y ? ? 4k 1 ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) 16k 1 ? 10 1 ? 得N ? ,? ? , MN ? , ? ? 10 3 3k ? 3 3k ? ? x? 3 ? 设S ( x1 , y1 ), 则( ? 2)x1 ?
k ? 0, MN ?

16k 1 16k 1 8 1 8 ? ?2 ? ? ,当且仅当k ? 时,线段MN长度最小值是 3 3k 3 3k 3 4 3

(3) k

1 4 2 ?6 4? ? , 直线BS的方程为: x ? y ? 2 ? 0.S ? , ? ? BS ? 4 5 ?5 5?
5

陈先槟

椭圆上有两点使三角形面积为

1 2 ,则点 T1,T2 到 BS 的距离等于 5 4



2分

设直线 T1T2:

x ? y ? t ? 0,由

t?2 2

?

2 3 5 , 得t1 ? ? 或t 2 ? ? 4 2 2

? x2 2 ? ? y ?1 3 当 t1 ? ? , 联立? 4 得5 x 2 ? 12x ? 5 ? 0, 检验? ? 44 ? 0.适合 2 ? x? y ? 3 2 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 5 4 t1 ? ? , 联立? 得5 x 2 ? 20x ? 21 ? 0, 检验? ? ?20 ? 0.舍去 5 2 ? x? y ? 2 ? 3 综上所述,直线 T1T2 在 y 轴上的截距是 4分 2

6


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