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2019-2020学年高中数学 1.3一次、反比例、二次函数的图象与性质教案 新人教A版必修1 .doc

2019-2020 学年高中数学 1.3 一次、 反比例、 二次函数的图象与性质 教案 新人教 A 版必修 1
一、一元一次函数: y ? kx ? b(k ? 0) ——直线 1、图象(两点) : 1、某公司今年一月份推出新产品 A,其成本价为 492 元 / 件,经试销调查,销售量与销售 价的关系如下: 销售价 x(元 / 件) 650 销售量 y(件) 350 662 333 720 281 800 200

销售量与销售价可近似看作一次函数(通常取表中相距较远 的两组数据所得一次函数较为 精确) 。销售价定为多少时,一月份利润最大?并求最大利润和此时的销售量。

2、性质: (1)定义域 x ? R ;值域 y ? R 。 (2)奇偶性: f ( x) ? kx ? b 为奇函数 ? b ? 0 。 (3)单调性:当 k > 0 时, f ( x) 在 R 上为增函数;当 k < 0 时, f ( x) 在 R 上为减函数。 2、一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2 x ? 7 ,求 f ( x) 的表达 式。

3、当 x ? [1,3] 时,关于 x 的不等式 2t ? 1 ? ?3x ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围。

知识提炼:t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最大值;t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最小值。

f ( x0 ) ? 0( x0 ? ?1) ,求实数 a 的 4、函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在 [– 1 , 1] 上存在 x 0,使
取值范围。

y?
二、反比例函数: 1、图象:

k ( k ? 0) x ——双曲线

2、性质:定义域 {x | x ? R且x ? 0};值域 { y | y ? R且y ? 0} 。 奇偶性:奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 。

单调性:k > 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为减函数; k < 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为增函数。 3、题组训练:

f ( x) ?
1、 (2001 年北京春季高考)设函数 明 f ( x) 在其单调区间的单调性。

x?a (a ? b ? 0) x?b ,求 f ( x) 的单调区间,并证

f ( x) ?
2、 (2002 全国高考)已知函数

x2 1 ? x 2 ,那么

1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 3 4



f ( x) ?
3、函数

1 1 (m ? 0), x1 , x 2 ? R f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2. 4 ?m ,当 x1 + x2 = 1 时,
x

(1)求 m 的值;

1 1 7 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 8 4 8 (2)求 的值。
1 3 ? 1 3 1 3 ? 1 3

f ( x) ?
5、 (2003 上海春季高考)已知函数

x ?x 5

, g ( x) ?

x ?x 5



(1)证明: f ( x ) 是奇函数,并求 f ( x ) 的 单调区间; (2)分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,由此概括出涉及函数 f ( x ) 和

g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明。
三、一元二次函数: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ——抛物线
2

1、解析式:y = ax2 + bx + c(一般式)= a (x – h)2 + k(顶点式)= a (x – x1) (x – x2)(两根 式)

(h, k ) ? (?
顶点:

b 4ac ? b 2 , ) 2 2a 4a ; x1 , x 2 为方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根。

1、已知二次函数 f ( x ) 的顶点坐标为(– 1 , 3) ,且 f (1) ? 0 ,求 f ( x ) 的解析式。

2、图象: (1)草图——顶点、对称轴、与 x 轴的交点等。
2 2、若函数 f ( x) ? x ? bx 满足 f (0) ? f (2) ,则

1 f ( ), f (1), f (3) 2 的大小关系是(



1 f ( ) ? f (1) ? f (3) (A) 2 1 f (1) ? f ( ) ? f (3) 2 (C)
2

1 f ( ) ? f (3) ? f (1) (B) 2 1 f (1) ? f (3) ? f ( ) 2 (D)
。 ② 在 ( ??, 0) 上函数单调递减; ④ f (0) 是函数 f ( x ) 的最小值。

3、对于函数 f ( x) ? ( x ? 1) ,下列性质正确的是 ① 对于任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (2 ? x) ; ③ 在 (0, ??) 上函数单调递增; (2)基本情况(六种)——对△及 a 进行讨论 3、性质: (1)定义域: x ? R 。 (2)形状——抛物线:① 开口方向 ② 顶点坐标

③ 对称轴

y ? a( x ?
(3)值域(最大值、最小值)——配方:

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a , 4ac ? b 2 4a 。

当 a > 0 时,

ymin ?

4ac ? b 2 4a ;
2

当 a < 0 时,

ymax ?

4、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4a 的最小值为 3,求 a 的值。

引申:已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 4a 的最大值为 3,求 a 的值。
2

拓展:一元二次函数在给定区间的最大(小)值: 5、函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? [1,4] 的最小值为
2

,最大值为 ,最大值为

。 。

练习:函数 y ? x ? 3x ? 2, x ? [?1,1] 的最小值为
2

一般结论: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), x ? [m, n]
2

(Ⅰ)配方,求对称轴 (Ⅱ)判断 ① 若 ② 若

x ? x0 ;

x ? x0 是否属于给定区间[m , n]:

x0 ? [m, n] ,则 ymin ? f ( x0 ) ,再求 f (m), f (n) ,较大者为最大值; x0 ? [m, n] ,则求 f (m), f (n) ,较大者为最大 值,较小者为最小值。

3 f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 4 6、求函数 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。

练习 1(2006 年福建高 考)求函数 f ( x) ? ? x ? 8x 在区间[t , t + 1]上的最大值。
2

2、设函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? (a ? 2a ? 2) 在[0,2]上的最大值为 3,求 a 的值。
2 2

(4)奇偶性:y = ax2 + bx + c 为偶函数的充要条件是 b = 0。 (5)单调性:a > 0 时, f ( x) 在

( ?? ,?

b b ] [ ? ,?? ) 2a 上为减函数,在 2a 上为增函数;

a < 0 时, f ( x) 在

( ?? ,?
2

b b ] [ ? ,?? ) 2a 上为增函数,在 2a 上为减函数。

7、已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 。

例 8、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] ,
2

(1)当 a = – 1 时,求 f ( x) 的最值; (2 )求实数 a 的取值范围,使 f ( x) 在[– 5 , 5]上是单调函数。

四、方程

ax ? b ? 0 ? x ? ?
1、一元一次方程:

b b (? ,0) a (与 x 轴的交点: a )

2、二元一次方程组——解法:代入法、加减法(消参) 。 3、一元二次方程: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(1)? ? b ? 4ac :△> 0 时,方程有两个不等实数根;△= 0 时,方程有两个相等实数根;
2

△< 0 时,方程没有实数根。

b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a ? ?x ? x ? c ? 1 2 a (2)根与系数的关系: ?
设二次函数满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 的两个实根平方和为 10, f ( x) 的 图象过点(0,3) ,求 f ( x) 。

(3)一元二次方程根的分布情况: (参见衔接教材 P41)

f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 , x1 , x2 为方 程的两个根,
2

x0 ? ?

b 2a 为函数的对称轴。

① 两个正根:

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。

② 两个负根:

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
③ 一个正根,一个负根: 题组训练: 1、若一元二次方程 (m ?1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。
2

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? af (0) ? 0

2、若 一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有两个负根,求 k 的取值范围。
2

3、已知关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 满足下列条件,分别求实数 a 的取值范围。
2

(1)方程两根都是正数; (2)方程两根都是负数; (3)方程有一个正根、一个负根。

④ 两根都比 k 大: ⑤ 两根都比 k 小:

x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0 。

⑥ 一个根比 k 大,一个根比 k 小:
2

4、m 为何值时,关于 x 的方程 x ? 2mx ? (m ? 12) ? 0 两根均大于 2?

5、当 m 取何值时,关于 x 的方程 (m ?1) x ? (3m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一个根大于 1,另一
2

个根小于 1?

⑦ 在区间

[k1 , k2 ] 上仅有一根: k1 ? x1 ? k2 ? f (k1 ) f (k2 ) ? 0 。

⑧ 在区间

[k1 , k2 ] 上有两根:

k1 ? x1, x2 ? k2 ? ? ? 0, af (k1 ) ? 0, af (k2 ) ? 0, k1 ? x0 ? k2 。
6、实数 a 在什么范围内,关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的一个根大于 – 2 且小于 0,另一
2

个根大于 1 且小于 3?

7、已知关于 x 的方程 x ? (m ? 3) x ? m ? 0 至少有一个正数根,求 m 的取值范围。
2

8、 设关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 的一个根 小于 0, 另一个根大于 2, 求实数 m 的取值范围。
2

9、当 m 取什么实数时,关于 x 的方程 x ? 4 | x | ?5 ? m 有四个不相等的实数根?
2

10、 已知函数 y ? x ? b, y ?| x ? 4x ? 3| , 试借助函数图象及其变换的知识, 解答下列问题:
2

(1)当 b 取何值时,两曲线有一个公共点?两曲线有三个公共点? (2)当 b 取何值时,两曲线有两个公共点? (3)当 b 取何值时,两曲线有四个公共点?