kl800.com省心范文网

华师一2011届高三第一轮复习课外基础训练题(十一--数列)


高三第一轮复习课外基础训练题(十一)
一、选择题
1.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 ( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项

2.给出如下三个命题: ① 四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ② 设 a,b∈R,则 ab≠0 若

a b <1,则 >1; b a

③若 f(x)=log 2 2x=x,则 f(|x|)是偶函数.其中不正确命题的序号是 A.①②③ B.①② C.②③ D.①③

3.若{an}是等差数列,首项 a1>0, a2003+a2004>0, a2003· 2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n a 是 ( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008

4. 把数列 {2n ? 1} 依次按第一个括号一个数, 第二个括号两个数, 第三个括号三个数, 第四个括号四个数, 第五个括号一个数……循环分 为: (3)(5,7)(9,11,13)(15,17,19,21)(23)(25,27) , , , , , , (29,31,33)(35,37,39,41)(43) , , ,…则第 104 个括号内各数之和为 ( ) A. 2036 B.2048 C. 2060 D.2072

5. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 整数 n 的个数是 A.2

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正 ? Bn n?3 bn
( ) D.5

B.3

C.4

6.如图 1-3-4 所示,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从原点运动到(0, 1),而后它接着按图所示 在 x 轴、y 轴的平行方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,1999 秒时这个粒子所处的位置为 ( ) A.(25, 44) B.(44, 25) C.(45, 26) D.(26, 45)

二、填空题
7.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An、Bn 两点,以|AnBn|表示该两点间的 距离,则|A1B1|++|A2B2|+…+|A2003B2003|的值是_______________.
1

8. 对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 { 和的公式是____________.

an } 的前 n 项 n ?1

9.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2), 则{an}的通项 an=____________.

10.数列 ?an ? 前 n 项和为 S n 且 an ? Sn ? 1 (n ? N * ) ,则 ?an ? 的通项公式 an =_______________; 又若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn ?1 ? bn ? an (n ? 1) ,则 ?bn ? 通项公式 bn =______________.

11. 数列 ?an ? 满足递推关系: an ? an?2 ? 2, a1 ? 1, a2 ? 4 ,则数列 ?an ? 前 n 项之和 Sn =____________.

12. 如图, 抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A, 将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,…,Pn
-1

,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角 .

形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为

三、解答题
13.设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍,且第二项与第 四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0 3,lg3=0 4)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

14.设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , Sn ?1 ? 4an ? 2(n ? N) (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列; (2)设 c n ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

an ,求证:数列{ cn }是等差数列; 2n

(3)求 lim

Sn n ? ? n ? 2 n ?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

15.已知函数 f ( x) ? x ? 2 2x ? 2 (Ⅰ )求反函数 f ?1 ( x) ;

( x ? 2)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(Ⅱ )若数列 {a n }(a n ? 0) 的前 n 项和 S n ? f (Ⅲ )令 bn ?
2 a n ?1

?1

(S n?1 )

(n ? 2), 且a1 ? 2 求数列 {a n } 的通项公式;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

? 2a n a n ?1

2 an

(n ? N ) ,求 lim (b1 n ??

? b2 ? ? ? ? ? bn ? n )

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

16. 已知抛物线 x ? 4 y , 过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 , 又过点 P1 作斜率为
2

1 的 2

直线交抛物线于点 P ,再过 P 作斜率为 2 2 率为

1 的直线交抛物线于点 P ,? ,如此继续,一般地,过点 P 作斜 3 n 4

1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P ( xn , yn ) . n 2n (Ⅰ )令 bn ? x2n ?1 ? x2n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列. 3 1 (Ⅱ )设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n ? 1 与 的大小. 4 3n ? 10

17.设正项等比数列 {an } 的首项 a1 ? (Ⅰ )求 {an } 的通项;

1 ,前 n 项和为 Sn,且 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0. 2

(Ⅱ )求 {nSn } 的前 n 项和 Tn.

3

18.已知一次函数 f (x) 的反函数为 g (x) ,且 f (1) ? 0 ,若点 An (n,

an?1 ) (n ? N ? ) 在曲线 y ? g (x) 上, an

a1 ? 1 ,对于大于或等于 2 的任意自然数 n 均有
⑴ 求 y ? g (x) 的表达式 ⑶ 设 sn ?

an?1 an ? ?1。 an an?1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

⑵ 求数列 ?an ? 的通项公式

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

an a1 a2 ,求 lim S n ? ? ??? ? n?? 3! 4! (n ? 2)!

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

参考答案 一、选择题

3? 2 ? ? ?S 3 ? 3a1 ? 2 d ?3( a1 ? d ) ? 34 ? ? ? ? 1. 解:设这个数列有 n 项,∵ ? S 3 ? S n ? S n ? 3 ? 3a1 ? 3nd ? 6d , ?3a1 ? 3d ( n ? 2) ? 146 , ? ? n( n ? 1) d n(n ? 1) ?a1 n ? ?S n ? a1 n ? ? 390 d ? 2 2 ? ?
∴n=13。 2. 解:①ad=bc 不一定使 a、b、c、d 依次成等比数列,取 a=d=-1,b=c=1;②a、b 异号时不正确,选 B。 3. 解:由题意知,a2003>0, a2004<0, ∵S4006=

4006 a1 ? a 4006 ) ( =2003(a2003+a2004)>0, 2

S4007=

4007(a1 ? a 4007 ) =4007a2004<0,∴使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n=4006. 2

4. 解:由观察会发现,每十个数是一个循环,一个循里有 10 个数组成,104 个括号里 26 个小循环,则
4

第 104 个括号内有四个数,这四个数为数列 3,5,7,9…的第 257 项,第 258 项,第 259 项,第 260 项,分别为 3 ? (257 ? 1) ? 2,3 ? (258? 1) ? 2, 3 ? (259? 1) ? 2,3 ? (260? 1) ? 2, 即 515,517,519,521, 其和为 2072. 5. 解:由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得 an
1 1 ? a1 ? a2 n?1 ? ? 2n ? 1?? a1 ? a2 n?1 ? ? 2 ? 2 1 1 bn ? b1 ? b2 n?1 ? ? 2n ? 1?? b1 ? b2 n?1 ? 2 2

?

7 ? 2n ? 1? ? 45 14n ? 38 7n ? 19 A2 n?1 12 ? ? ? ? 7? B2 n?1 2n ? 2 n ?1 n ?1 ? 2n ? 1? ? 3

? n ? N ? ,故 n ? 1, 2,3,5,11时, a b
?

n

为整数。

n

故选 D。 6. 解:设 an 表示粒子运动到第 n 个正方形与原点对角的顶点所用的时间.显然:a1=1×2, a2=2×3, a3=3×4,…, an=n(n+1).且 a44=44×45=1980 秒,且继续往右运动,那么 19 秒后,移动到点(25, 44).

二、填空题
7. 解:y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1,令 y=0.则方程(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0 的两根 x1, x2, 则|AnBn|=|x1-x2|= ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2

(

2n ? 1 4 1 1 1 , )? 2 ? 2 ? ? 2 n ? n n ? n n ? n n n ?1

∴ 1B1|+|A2B2|+…+|2003B2003|= |A

2003 . 2004

8. 解: y? ? nxn?1 ? (n ? 1) xn , 曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n, 切点为 (2, n) -2 , 所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn= 2+22+23+…+2n=2n+1-2 9. 解:当 n≥2 时,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1, ② 得 an+1-an= nan ,∴ -① ① 又 an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1) · n-1+nan, ② a

an ? a ? ? 2 n .数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ?1 ?n ?1 ?

a a n ?1 a a a =n+1.∴ 3 =3, 4 =4, …, n =n.以上各式相乘得 n =3×4×…×n,由已 a2 an a2 a3 a n ?1

?1(n ? 1), n! ? 知得 a2=1, ∴ n= (n≥2).∴a n ? ? n! a 。 2 ? 2 (n ? 2). ?
10. 解: (1)?an ? Sn ? 1 ,? an?1 ? Sn?1 ? 1 ,两式相减,? an ?1 ? an ? Sn ?1 ? Sn ? 0 ,? 2a n ?1 ? a n ,

1 1 ? ? ?an ? 为公式为 的等比数列。 又 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1, a1 ? , 2 2

? an ? a1q

n ?1

1 ? 1? ? ·? ? 2 ? 2?

n ?1

? 1? ?? ? 。 ? 2? ? 1? ? 2?
n

n

(2)?bn ?1 ? bn ? an ,? bn ?1 ? bn ? ? ? ,
5

1 ?1? ?1? ?1? ?b2 ? b1 ? , b3 ? b2 ? ? ? , b4 ? b3 ? ? ? …… bn ? bn?1 ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2?
相加,? bn ? b1 ?

2

3

n ?1

1 ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ? 2? ? 2? 2 ? 2?
n ?1

2

3

n ?1

即: bn ? 1 ?

1 ? 1? ? 1? ? ? ? ? …… ? ? ? ? 2? 2 ? 2?

2

1? ? 1· ? 1 ? n ? ? 2 ? 1? 1? ? ? ? ? 2? 1 ? n ? ,? bn ? 2?1 ? n ? 。 1 ? 2 ? ? 2 ? 1? 2

11. 解:∵ n=an-2+2, a1=1, a2=4, ∴ 3=3, a4=6.an-an-2=2,知{an}的奇数与偶数项均成等差数列.若 n 为 a a 偶数,则 an=a2+(

n n ?1 -1)· 2=n+2;若 n 为奇数,则 an=a1+( -1)· 2=n,∴ n=n+[1+(-1)n]. a 2 2

当 n 为偶数时:Sn=

n(n ? 1) n 2 ? 3n n(n ? 1) n 2 ? 3n ? 2 ?n? ? n ?1 ? .当 n 为奇数时:Sn= . 2 2 2 2

? n 2 ? 3n ? 2 (n为偶数) ? ∴ n= ? S 2 ? n ? 3n ? 2 (n为奇数) ? ? 2
12. 解:如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A(1,0),将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记 为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到 n -1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-2Pn-1, ∴ Pk ?1 (

k ?1 k ?1 (k ? 1) 2 , 0) , Qk ?1 ( ,1 ? ), n n n2

1 1 1 1 22 (n ? 1) 2 )] ,当 n→∞时,这些三角形的面积之和极限: lim ? [(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? (1 ? n ?? 2 n n n n n2 1 (n ? 1)n2 ? (n ? 1)(n ? 2)(2n ? 3) 1 1 6 整理得 lim [ ]= 。 2 n?? 2n 3 n | Pn ? 2 Pn ?1 |?

三、解答题
13. 解

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? a1 ? (q 2 m ? 1) a q ? (q 2 m ? 1) ? 4? 1 2 ? q ?1 q ?1 设公比为 q,项数为 2m,m∈ *,依题意有 ? N ,化简得 ?(a q ) ? (a q 3 ) ? 9( a q 2 ? a q 3 ) ? 1 1 1 1

? 4q 1 ? ?q ?1 ? 1 ?q ? 解得? 3 ? ?a q 2 ? 9(1 ? q), ?a1 ? 108 ? ? 1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn 1=lga1n· 1+2+…+(n q


-1)

=nlga1+

1 1 lg 3 2 7 n(n-1)· lgq=n(2lg2+lg3)- n(n-1)lg3=(- )· +(2lg2+ lg3)· n n 2 2 2 2

6

7 2 lg 2 ? lg 3 2 可见,当 n= 时,Sn 最大 lg 3

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

7 2 lg 2 ? lg 3 4 ? 0.3 ? 7 ? 0.4 2 而 =5,故{lgan}的前 5 项和最大 ? lg 3 2 ? 0.4

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解法二

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?a1 ? 108 1 n-1 1 ? 接前, ? 数列{lgan}是以 lg108 为首 1 ,于是 lgan=lg[108( ) ]=lg108+(n-1)lg ,∴ 3 3 ?q ? 3 ?

项,以 lg

1 为公差的等差数列,令 lgan≥0,得 2lg2-(n-4)lg3≥0, 3 2 lg 2 ? 4 lg 3 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.4 ? ∴ n≤ =5 5 由于 n∈ *,可见数列{lgan}的前 5 项和最大 N lg 3 0.4
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

14. 解: (1)∵an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 4an ? 4an?1 ,∴an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) ,∴bn ? 2bn?1 (n ? 2) 且 b1 ? a2 ? 2a1 ? S2 ? 3a1 ? a1 ? 2 ? 3 ∴{bn } 是首项为 3,公比为 2 的等比数列
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)∵bn ? 3 ? 2n?1 ,∴an?1 ? 2an ? 3 ? 2 n?1 , ∴cn ?1 ? cn ? 差为

an ?1 an 1 1 3 a 1 1 ? n ? n ?1 (an ?1 ? 2an ) ? n ?1 ? 3 ? 2 n ?1 ? ,且 c1 ? 1 ? ∴ cn }是以 为首项,公 { n ?1 2 2 2 2 4 2 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 的等差数列 4 3 1 (3)∵cn ? n ? ,∴an ? 2 n ? cn ? 2 n?2 (3n ? 1) ∴n ? 2 时, 4 4
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

且 ∴ S S n ? 4an?1 ? 2 ? 4 ? 2n?3 [3(n ? 1) ? 1] ? 2 ? 2n?1 (3n ? 4) ? 2 , n=1 时, 1 =1, Sn ? 2n?1 (3n ? 4) ? 2 故 lim

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

n??

Sn 2 n ?1 (3n ? 4) ? 2 ? lim ?3 n ? 2 n ?1 n?? n ? 2 n ?1
?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

15. 解:(Ⅰ f )

( x) ? ( x ? 2 ) 2 .

( x ? 0)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(Ⅱ ∵S n ? ( S n ?1 ? )

2 ) 2 ? S n ? S n?1 ? 2 ,则 { S n } 是首项为 2 、公差为 2 的等差数列,
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

故 S n ? 2n ,由 S n ? 2n 2 ,可求得 a n ? 4n ? 2(n ? N ) (Ⅲ bn ? 1 ? )

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 1 ,则 lim(b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? n) ? lim(1 ? ) ?1 ? n ?? n ?? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

16. 解: (1)因为 P ( xn , yn ) 、 P ?1 ( xn?1 , yn?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 yn , n n 又因为直线 P P ?1 的斜率为 n n



xn?1 ? 4 yn?1 。
2



?bn ? x2n?1 ? x2n?1
公比的等比数列; (2) S n ? ?

y ? yn 1 1 1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? ,①② ,即 n ?1 代入可 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 , n 2 xn ?1 ? xn 2 4 xn?1 ? xn 2 2 b 1 1 1 1 1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) ? 2 n ?2 ? 2 n ?3 ? ? 2 n ?2 ,故 n?1 ? ? {bn } 是以 为 4 2 2 2 bn 4

4 1 3 1 (1 ? n ) ? Sn ? 1 ? n ,故只要比较 4n 与 3n ? 10 的大小. 3 4 4 4 n(n ? 1) 2 n n 1 2 2 3 ? 1 ? 3n ? 9 ? 3n ? 10( n ? 3) , 方法一: 4 ? (1 ? 3) ? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ? ? 1 ? 3n ? 2
7

当 n ? 1 时,

3 1 3 1 Sn ? 1 ? ; 当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? ;当 n ? 3, n ? N * 时, 4 3n ? 10 4 3n ? 10 3 1 Sn ? 1 ? . 4 3n ? 10 方法二:用数学归纳法证明:其中假设 n ? k (k ? 3, k ? N ) 时,有 4k ? 3k ? 10 ,

则当 n ? k ? 1 时, 4k ?1 ? 4 ? 4k ? 4(3k ? 10) ? [3(k ? 1) ? 10] ? 9k ? 27 ? 3(k ? 1) ? 10 . 17. 解: )由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , (Ⅰ 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . ∵an ? 0 ,∴210 q10 ? 1, 解得 q ? ∴a n ? a1 q
n ?1

1 , 2

?

1 , n ? 1,2, ?. 2n

1 1 (1 ? n ) 1 1 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . 则 (Ⅱ )∵{an } 是首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 S n ? 2 n 1 2 2 2n 2n 1? 2 1 2 n 数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2
Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ).前两式相减, 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) T 1 1 1 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n , 得 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? 1 2 2 2 2 2 2 4 2 n ?1 1? 2 n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 即 Tn ? 2 2 2
18. 解:⑴ f ( x) ? ax ? b,? f (1) ? 0,? a ? b ? 0,即b ? ?a ,∵ 设 (n,

a n ?1 )在 y ? g (x) 的图象上, an

∴ 点(

a a n ?1 a n ?b n ? a ? , n)在 y ? f (x) 的图象上,∴ n ?1 ? a ? b ? n ,∴ n ?1 ? , an a a an an



an?1 an a a n ? a n ?1? a 1 1 ? ? ? ? ,又 n?1 ? n ? 1,? ? 1 ,∴a ? 1, b ? ?1 , an an?1 a a a an a n?1 a

∴ f ( x) ? x ? 1,? g ( x) ? x ? 1。

⑵ 由⑴ 可知,

a n ?1 a a a a a ? n ? 1, ∴ 2 ? 2 , 3 ? 3 , 4 ? 4 , 5 ? 5 ,………, n ? n , an a1 a2 a3 a4 a n ?1 an ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ,∴a n ? n! a1
8

以上 (n ? 1) 个式子相乘得:



an 1 1 1 1 1 1 n! 1 1 1 ,∴S n ? ( ? )+( ? )+( ? ) ? ? ? ? 2 3 3 4 4 5 (n ? 2)! (n ? 2)! (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

+………+(

n 1 1 1 1 ? )= ? = 。 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 2( n ? 2)

9


赞助商链接

华师一2011届高三第一轮复习教案(第十三章)第3讲--数列...

华师一2011届高三第一轮复习教案(第十三章)第3讲--数列的极限(一) - 课题: 数列的极限 教学内容: 数列的极限 教学目的: 了解数列极限的概念.掌握数列极限的...

华师一2011届高三第一轮复习教案(第三章)第8讲--求数列...

华师一2011届高三第一轮复习教案(第三章)第8讲--求数列的通项 - 课题: 求数列的通项公式 教学内容: 求数列的通项公式 教学目的: 掌握求数列通项公式常用...

华师一2011届高三第一轮复习教案(第三章)第3讲--等差数...

华师一2011届高三第一轮复习教案(第三章)第3讲--等差数列(一) - 课题: 等差数列(一) 教学内容: 等差数列 教学目的: 掌握等差数列的定义,通项公式和前 n ...

华师一2011届高三第二轮复习专题讲座(数列)第三讲:数列...

华师一2011届高三第轮复习专题讲座(数列)第三讲:数列(三)_数学_高中教育_教育专区。课题: 数列(三) 一、教学内容与教学目标 (1) 数列( 12 课时) 数列。...

2012届华师一附中高三第一轮复习专题讲座---等差数列与...

2012届华师一附中高三第一轮复习专题讲座---等差数列与等比数列的综合问题 - 等差数列与等比数列的综合问题 知识梳理 (一)等差、等比数列的性质 1.等差数列{an}...

华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第五章)...

华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第五章)第一讲:数列的概念与性质 - 第一讲 数列的概念和性质 教学目的:掌握数列的概念和性质;了解数列通项公式...

...2015学年高一上学期拔高训练题(1)数列[来源:学优高...

湖北省华师一附中2014-2015学年高一上学期拔高训练题(1)数列[来源:学优高考网563200]_数学_高中教育_教育专区。2014 华师一附中高一下学期拔高训练题 1. 已知...

2011年华中师大一附中高考数学知识专题检测---数列与极限

2011年华中师大一附中高考数学知识专题检测---数列与极限_数学_高中教育_教育专区。知识专题检测三一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.如果-...

0ng纤k2012届华师一附中高一等差数列,等比数列(每天2题...

0ng纤k2012届华师一附中高一等差数列,等比数列(每天2题,共12题)答案 - 、 .~ ① 我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。 高一课外综合...