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高中数学必修5知识点总结(史上最全)


高中数学必修 5 知识点总结
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的 半径,则有
a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;
a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

② sin ? ?

(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已 知两角和一边,求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: 当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
A b bsinA D a C

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ,
c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、 如何判断三角形的形状: 设 a 、b 、c 是 ??? C 的角 ? 、? 、C 的对边, 则: ①若 a 2 ? b2 ? c 2 ,
B

则 C ? 90 ;

A

1

C

D

②若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90 ;③若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90 . 正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B, 但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O, ∠ADB=45O(A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 本题解答过程略

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an) . 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an) . 13、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an) . 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示 : an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差 数列有以下三种方法: ①
an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 )

③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差 中项.若 b ?
a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an ④n ?

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?

an ? a1 ; n ?1

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? . n?m d

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 22. 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①

? ap ? aq ;若 ?an ?

? ap ? aq .

Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d .③ ; ② Sn ? na1 ? 2 2

sn ? a1 ? a2 ? ? an
23 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n ? n ? ? * ? , 则

S2n ? n ? an ? an?1 ? , 且

S偶 ? S奇 ? nd,

S奇 a ? n . S偶 an ?1

S n ②若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ?S 偶 ? (其中 S奇 ? nan , a n, 奇 ? S偶 n ? 1
. S偶 ? ? n ?1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示: 值为 0 的项;②同号位上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若
G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G 2 ? ab 不能得出 a ,G ,b 成等比,由 a ,G ,
b ? G 2 ? ab )
3
2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现 an

26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 . 27、 通项公式的变形: ① an
?? n?1? ? amqn?m ; ② a1 ? an q ; ③ q n ?1

?

a n?m an ? n . ; ④q am a1

28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是 等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an 29 、 等 比 数 列 ?an ?
2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q .② 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q

sn ? a1 ? a2 ? ? an
?s1 ? a1 (n ? 1) 30、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也 是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).
d? 2 ? d? ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An2 ? Bn ? ? ? ? n ?? a 1 ? ? n ?2? ? 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要 2

条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 附:几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两 种方法: 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? n 2 ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)
d 2 d 2

(指数型函数)

数列

前 n 项和公式
4

对应函数

等差数列 等比数列



时为二次函数)

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱” ,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题:1、等差数列 分析:因为 中, , 则 .

是等差数列,所以

是关于 n 的一次函数, )三点共线,

一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即

,得

=0(图像如上) ,这里利

用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例题:2、等差数列 中, ,前 n 项和为 ,若 ,n 为何值时 最大?

分析:等差数列前 n 项和

可以看成关于 n 的二次函数

=



是抛物线

=

上的离散点,根据题意,



则因为欲求 时,

最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为 最大。 ,对任意正整数 n, 递增得到: 对一切 有最大值 看成函数 恒成立,求 对于一切 恒成立,设 ,所以 的取值范围是: ,它的定义域是

,即当

例题:3 递增数列 分析:

构造一次函数,由数列 恒成立,所以

恒成立,即 ,则只需求 。 ,因 , 抛物线对称轴



的最大值即可,显然 构造二次函数,

为是递增数列,即函数

为递增函数,单调增区间为

,因为函数 f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应
5

图像上看,对称轴



的左侧

也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。于是,

,得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ?1)
1 2 1 4 1 2n ,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? an?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

?a ? 0 3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ? m 的项数 m 使 ?am?1 ? 0 ?a ? 0 得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? m 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值 ?am?1 ? 0
的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数 ? an an?1 ?
列、含阶乘的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=
1 1 解:观察后发现:an= ? n n ?1

1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

6

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an



1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 即

s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
把①式两边同乘 2 后得



2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用①-②,即:



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 1? 2 n ?1 ? 2 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴ sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1 ) : 1+2+3+...+n =
n( n ? 1) 2
2

2 )

1+3+5+...+(2n-1) = n 2

3 )

?1 ? 13 ? 23 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ?

7

4 )

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5 )

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法) 求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 解法: ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式, 并将各因式 x 的系数化 “+” ; (为了统一方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经过数 轴上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式 是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

+ X1

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+ X

8

(自右向左正负相间) 例题:求不等式 x2 ? 3x2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。 解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

+

+ 1

?

-2

?

4

x

由图可看出不等式 x2 ? 3x2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
例题:求解不等式 解:略 一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
??0 ??0 ??0
2

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

9

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2)转化为整式不等式(组) 例题:求解不等式: 解:略 例题:求不等式
1 ? ?1 x

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

x ? 1 的解集。 x ?1

3.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型: 其中-c<ax+b<c 等价于 | ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解得。 (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | x ? ?a, 或x ? a?

?ax ? b ? c 不等式组 ? ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法: 即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1
10

解:略 例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为:
11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? ? x ? ?3

?3

2

x

②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ??3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:
?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? 9 ?2? x? ? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? ? 2

11 9? ? 由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一起) 2 2? ?
y

函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |
f ( x) =10
5

??2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x) ? ?5 (?3 ? x ? 2) ? 2 x ? 1 ( x ? 2) ? ?

?

11 ?3 2

o

2

9 2

x

在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图
11 9? ? 由图像可知原不等式的解集为: ? x | ? ? x ? ? 2 2? ?

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: 设 ax2+bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax2+bx+c,那么:

11

y

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a
y

x

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 2 a ? ? ? f (0) ? 0

?
对称轴 x= ?

?
b 2a
y

o

x

?
③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

o

?

x

y

④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

o

m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

y

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
o m

?
X= ?

t

?

n

x

b 2a

12

常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 例如:若方程 x2 ? 2(m ? 1) x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。
?4(m ? 1) 2 ? 4(m2 ? 2m ? 3) ? 0 ?? ? 0 ? m ? ?1 ? ? ? 解:由①型得 ?? ? ? ? 0 ? ?2(m ? 1) ? 0 ? ? m ? ?1 ?m?3 ?? ? ? ? 0 ? m ? ?1, 或m ? 3 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ? ?

所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x 2 ? x ? m2 ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。 解 : 因 为 有 两 个 不 同 的 根 , 所 以 由

? 5 5 2 2 ? ?? ? 0 ?( ?1) ? 4( m ? 1) ? 0 ?m? ?? ?? 2 ?? 2 ? 2 ? ?1 ? m ? 1 2 ? ? f (1) ? 0 ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ??1 ? m ? 1 ?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、 二元一次不等式 (组) 的解集: 满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? , 所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定: ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线
?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线
?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.

(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向:
13

①若是“>”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。 (三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一) (二)来确定 ③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 例题:画出不等式组 ? y ? 3 x ? 5 所表示的平面区域。 ?2 y ? x ? 5 ? 0 ?

解:略 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 平均数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即
a?b ? ab . 2 a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何 2

43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; ③ 2

? a?b ? ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:
2

2

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s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 .⑵若 xy ? p (积为定值) , 4

则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 例题:已知 x ? 解:∵ x ?
5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

5 ,∴ 4 x ? 5 ? 0 4

由原式可以化为:

f ( x) ? 4 x ? 5 ? 5 ? 2 ?
当 5 ? 4x ?

1 1 1 1 ? ?(5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?[(5 ? 4 x) ? ] ? 3 ? ? (5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x 5 ? 4x

1 3 ,即 (5 ? 4 x)2 ? 1 ? x ? 1,或x ? (舍去) 时取到“=”号 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x)max ? 2

15


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