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一道高考题引出圆锥曲线的三个美妙结论


4  0

数学教学研 究 

第 3 卷第 8期 1

21 0 2年 8 月 



道 高 考题 引出 圆锥 曲线的 三个 美妙 结 论 
武增明  
( 云南省玉溪市第一 中学 6 30 ) 5 1 0 

20 0 9年 高 考 辽 宁 卷 文科 第 2 2题 : 已知 

因为直 线 AM 的斜 率 与直 线 AN 的斜  率互 为相反数 , 以有  所
ka c 2 口 0 6 C 2 2 + 忌 6 — 0 
z  一 —   广 ,  

椭 c 过 A1 ) 个 点 (1 圆 经 点 (詈, 焦 为一, , 两  
O , 1O . ) ( ,)  

( ) I 求椭圆 c的方程  (I E F是椭圆 C上的两个动点 , I) , 如果  直线 A E的斜率与 A 的斜率互为相反数, F   证 明直线 E F的斜率为定值 , 并求 出这个定 
值.  

所 以 
志 一  二   Ⅲ
X M ’—X N  —



[ +卜 k 甥     等  ( x N
X M - X N 

最 近 , 者在研 究此题 时 , 现此题 可 以  笔 发

引申、 推广得到如下 圆锥 曲线的三个美妙结 
论.  



k X [ ̄ ) 2 c ( M- . - k   -N



() 1 



X M — X N 

结论 l 已知 椭 圆 c: 2     十 2 ( > 6 X —1 a  



蛳 +XN 一 


,  
4 6  kn 0
,  

M , 为椭 圆 C上 的两个 动点 , N 如果 直线 AM 

> , 率 e焦 为2 A, , 代 人 () 化简 得 , 0 心 为, 点 F ( ) ) 离 右 , c   1式右边 点 等  
的斜率与直线 A 的斜 率互 为相反数, N 那么  直线 MN 的斜 率 为 e .   证明 设直线 A 的方程为  M
一 是  — c +   , ( )  
4 bf k z  c   是 川 一 =   一 
— —

一 ‘ N一   z



巴 

结 论 2 已知双 曲线 C. 2  ̄ 一 1 n     x  6 。 (> n。 0 b> 0 , 心 率 为  , 焦 点 为 F , , )离 右 2 点 

代人椭圆方程化简 , 整理得 
(  n k )   ( k b - 2   。 )   6+    z + 2 a   k口 cx
+ ka c一 2 a b+ 6 -a 6一 O  2。  k c。   。  ,

A, ,N 双 线 上 两 动 , ( ) ,为 曲 c 的 个 点 c M 等  
如果直线 A M
证明

的斜率与直线 A 的斜率互  N
的方程 为 

为相 反数 , 么 直线 MN 的斜 率 为一e 那 .   设直 线 A M

所 以 

.  

2    一 2 a   kn c kb
z M = =— =   一 ,  

+, 等  
代人双曲线方程化简 , 整理得 
(     。 。 ( k b 一 2     )   口 忌 一6 ) + 2 a   k n c x
+  n c 一 2 口 + 6 + n b 一 O    。 忌  0   。 。 .

从 而 
2    一 2 n2 k 丑 c 是 6 
一 —   一 一 c 

k n。 一 2 口I 一 6 C 0 c 忌 , J   。 
: = ?- -—-  --—— ?? 一 - - —? ??  —— ? 一  

b + 日 k  0  0

。  

所 以 

第 3 卷第 8期 1

21 0 2年 8月 

数学教学研究 

4  1

十 

一 —  



,  


 

[  

— — — — — — — — — — —

+ 卜[ 等  

堡=— . — — —— —  ——  — — —— — — 』

+] 等  



z M一 
一 一  

一c  


垒  ±兰 )   !   二
2 3 z+ 2 bc 2 。0+ 2 bC ka c k 2一 忌Ⅱ f k 0  — — — — _ =  — —一  
4 bC k 2 
— —  
— —

是n ( 2 n 。 6C   。- 忌 6 + 。  一
日2 - b   kz 2 。  


因为直 线 AM 的斜 率 与 直 线 AM 的斜  率互为 相反数 , 以有  所
尼n c 2 口   bc     +   6 + s 

C  
一 一  

.  
一 8.  

4 b ka  

a  

’  

z 一—■   
所 以 
zM 十 z N 一 — 
.  

一 ’  

结 论 3 已知 抛 物 线 C: 。 2 x( Y 一 p p> 

2 0   + 2 0  kn f bc
4 n6  k 0
,  

o焦 为 ,A号P,,为 物 c ) 点 F (, MN 抛 线   , 点 )
上的两个动点 , 如果直线 A 的斜率与直线  M

一 ,  



A 的 N 斜率互为相反数, 那么直线MN的斜  
率 为 一1 .  

M -

zN 一  

于是 

证明方法仿结论 1此处从略. ,  
( 稿 日期 :0 2 0 — 3  收 2 1 —6 0 )

( 接 第 3 _) 上 9贞  


再 十-2 1m 再   -21n - )


4 ? +)o (     ,   一 
, ,

解得 (     1 故 m  1 即  m )一 一 一 
t n  a



t an 





 

1∈ ( O


1. ) 

统一为 口<O II iI即按此条件设置, 6 且   > b. a     就 是一个 “ 好题 ”   了. 5 一点 感悟  由此可见 , 错题是一种可利用 、 再生的重  要教学资源. 从某种意义上说 , 其价值可能远  大于做几个“ 完美” 的习题 , 它的作用和价值  主要体现在: 能培养学生勇于说“ 、 不”大胆质  疑的批判性思维 , 这恰恰是创造性思维最宝  贵的品质之一 ; 而找 “ 的过程 , 错” 对学生来  说, 是一个充满挑 战、 艰难 的过程 , 需要敏锐  的洞察力 , 扎实的知识基础和灵活的应变能  力, 这无疑能很好地培养学生的元认知与反  思 能力 ; 于把错 题 改变 成一 个“ 至 好题 ”I I  ,II 让学生充分享受到成功的喜悦和快感. 因此 ,   生会还一个惊喜给我们 , 何乐而不为呢?  
参考文献 

就与“ 三角形” 的条件一致了. 面对此结果 , 学  生是 一片欢 呼 !并进 一 步提 出 : 般 地 , 一 试题 
条件 中两个 括 号 前 的系 数应 如何 设 置 , 它  使 变为 一个“ 题 ” 即当系 数 a b a ≠ O 满 足  好 . , (b )

什么条件时, 使得条件 “ (o  a cs A+cs )   o  十西 C (o  o  cs Acs C+1 -0 与“ C是 三角 形 的 内  ) -” A,

角 一 .上 得aAn =+, 适 时让错 题 进 课堂 , 片“ 白” 生 , ’ 致同 可 t t 导=  ’ 相 n a =b 2 。    a 留一 空 给学 学 
考 到 <aA n <,必 满 o  虑 ot t菩 ] 需 足 < n  故
1 +> a— a 疗 l’[     且     . b o     < 1a   0 a  o > , 一 — o b 竺o - 一<  ̄ 则


[ ] 司永斌. 0 1全 国高中数学联赛一试 B卷 第 5 1  21  

题质疑 [] 中 学数 学教 学 参 考 21 ,3上  J. 02 (
旬) .  

n <O n <O 即 a 且 I l ll同  一6 且 +6 , <O   > b , a  
弹可 得 当 6 。 a <O 则 >0 目l > l l进 而 可  aI b ,

( 收稿 日期 :0 20 —3  2 1— 3 2)


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