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等差数列和等比数列的综合应用试题


数列的综合应用
1.等差数列的常用性质: * ⑴ m,n,p,r∈N ,若 m+n=p+r,则有 . * ⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N ,k 为常数)是

数列.

⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 数列. 2.在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负) 值或 0,而它后面的各项皆取负(正)值.
an ? 0 ⑴ a1 > 0,d <0 时,解不等式组 ? 可解得 Sn 达到最 ? ? an ?1 ? 0

值时 n 的值.

⑵ a1 <0,d>0 时,解不等式组 ?

? ? ? ?

可解得 Sn 达到最小值时 n 的值.

3.等比数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N *,若 m+n=p+r,则有 ⑵ {an}是等比数列,则{a 2 n }、{
1 }是 an



数列. 数列.

⑶ 若 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成

例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c,使它们同时满足以下三个条件: ① a+b+c=6 ② a、b、c 成等差数列. ③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列. 解:设存在这样的三位数 a,b,c. 由 a+b+c=6,2b=a+c 得:b=2,a+c=4 ① 若 b 为等比中项,则 ac=4,∴ a=c=2 与题设 a≠c 相矛盾. ② 若 a 为等比中项,则 a2 =2c,则 a=c=2(舍去)或 a=-4,c=8. ③ 若 c 为等比中项,则 c2 =2a,解得 c=a=2(舍去)或 c=-4,a=8. ∴存在着满足条件的三个数:-4,2,8 或 8,2,-4.

1 1 1 变式训练 1. 若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a、c、e 成 c d e ( ) A.等差数列 B.等比数列
C.既成等差数列又成等比数列 答案: B。解析:由 2b ? a ? c,? b ? ∴ D.以上答案都不是

2c 2 a?c 2 1 1 2 c ? bd , ? d ? ,由 ,由 ? ? , 2 d c e a?c

a?c c?e ? ,? c 2 ? ae ,即 a , c , e 成等比数列。 2 c ce
? 0 .将这两个数列的对

15.已知等比数列 {an } 及等差数列 {bn } ,其中 b1 ? 0 ,公差 d

应项相加,得一新数列 1,1,2,…,则这个新数列的前 10 项之和为

978

16.如果 b 是 a 与 c 的等差中项, y 是 x 与 z 的等比中项,且 y, x, z 都是正数,则

(b ? c)logm x ? (c ? a)logm y ? (a ? b)logm z ?

0

( m ? 0, m ? 1 )

17.已知数列 {a n } , {bn } 满足 a1 ? 2, a2 ? 4, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . (1)求证:数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; 解: (1)由 bn?1 ? 2bn ? 2得 bn?1 ? 2 ? 2bn ? 4 ? 2 ,
bn ? 2 bn ? 2

(2)求 an . 2 的等比数列.

?{bn ? 2} 是公比为

(2)由(1)可知 bn ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 . ? bn ? 2 n?1 ? 2. 则 a n?1 ? a n ? 2 n?1 ? 2 . 令 n=1,2,…n-1,则 a 2 ? a1 ? 2 2 ? 2, a3 ? a 2 ? 2 3 ? 2, ? a n ? a n?1 ? 2 n ? 2 , 各式相加得 an ? (2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? 2(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 2 n?1 ? 2n . 1 1 20.已知数列 {an } 满足: a1 ? , 且a n ? a n ?1 ? n . 2 2 (1)求 a2 , a3,a4 ; 解: (1) a2 ? (2)求数列 {an } 的通项 an .

3 7 15 , a2 ? , a3 ? . 4 8 16 1 1 1 1 (2) a2 ? a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 3 , a4 ? a3 ? 4 ,…… a n ? a n ?1 ? n , 2 2 2 2 1 1 1 以上等式相加得 a n ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 2 =1 ? 1 . an ? ? 2 ? 3 ? ? ? n = 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2

21.已知数列 ?an ?是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2 )令 bn ? an x n ( x ? R).求数列 ?bn ? 前 n 项和的 公式.
解: ( 1 )设数列 {an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2. 所以

an ? 2n.
(2)令 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 则由 bn ? an x n ? 2nxn , 得
S n ? 2x ? 4x 2 ? ?(2n ? 2) x n?1 ? 2nxn , ① xSn ? 2x 2 ? 4x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nxn?1 , ②
1? x

n 当 x ? 1 时,①式减去②式,得 (1 ? x)S n ? 2( x ? x 2 ? ? x n ) ? 2nxn?1 ? 2 x(1 ? x ) ? 2nxn?1 ,

所以

Sn ?

2 x(1 ? x ) 2nx ? . 1? x (1 ? x) 2
n

n ?1

当 x ? 1 时, S n ? 2 ? 4 ? ?? 2n ? n(n ? 1) 综上可得当 x ? 1 时, S n ? n(n ?1) ;当 x ? 1 时, S n ? 2 x(1 ? x
(1 ? x)
n

)

2

?

2nxn?1 . 1? x

例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{ 求数列{an}的通项公式 an. 解:设{ ∴( ∴(

1 }满足 a2 a4 +a4 a6 +a6 a2 =1,a2 ,a4 ,a8 依次成等比数列, an

1 1 1 1 }的公差为 d(d>0),由 a2 ,a4 ,a8 成等比数列可知 , , 也成等比数列, an a2 a4 a8

1 2 1 1 )= · a4 a 2 a8 1 1 1 2 +3d) =( +d)( +7d) a1 a1 a1 d 1 ,∴ =d a1 a1

化简得 d2 =

又 a2 a4 +a4 a6 +a6a2 =1 化简为
1 1 1 1 + + = a2 a4 a6 a2 a4 a6

∴3· ∴

1 1 1 = · a4 a2 a6 a4

1 1 1 1 · =3,即( +d)( +5d)=3 a2 a6 a1 a1
1 1 1 , = 2 2 a1

2d· 6d=3 ∴d= ∴

n 1 1 = +(n-1)d= 2 an a1 2 n

∴a n =

1 1 1 b?c a?c a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列。 a b c a b c 1 1 1 2 1 1 解析:由 , , 成等差数列,则 ? ? ,? 2ac ? b( a ? c), a b c b a c
变式训练 2.已知 ∴ 即
b ? c a ? b (b ? c) ? c ? a(a ? b) bc ? c2 ? a2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c2 (a ? c)2 2(a ? c) ? ? ? ? ? ? a c ac ac ac ac b
b?c a ?c a ?b 成等差数列。 , , a b c

例 3. 已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.求证: △ABC 是等边三角形. 解:由 2B =A+C,且 A+B+C=180°,B=60°,由 a、b、c 成等比数列,有 b2 =ac cosB =
a2 ? c2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 1 = = 2ac 2ac 2
2

得(a-c) =0,∴ a=c ∴△ABC 为等边三角形. 变式训练 3.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且

a ? 3b ? c ? 10 ,则 a =
A.4 B.2

( C.-2

) D.-4

?a ? c ? 2b, ? 答案: D. 解析:依题意有 ?bc ? a 2 , ? ?a ? 3b ? c ? 10. ?

? a ? ?4, ? ?b ? 2, ?c ? 8. ?
1 3

例 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1 =1,an+1 = Sn,n=1,2,3…… 求:⑴ a2 、a3 、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2 +a4 +a6 +…+a2n 的值. 解析: (1)由 a1 =1,an+1 = Sn,n=1,2,3,…得 a2 = S1 = a1 = ,a3 = S2 = (a1 +a2 ) = ,a4 = S3 =
1 3 4 9 1 3
16 1 (a1 +a2 +a3 )= 27 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

由 an+1 -an= (Sn-Sn-1 )=

1 4 1 1 4 n-2 an(n≥2),得 an+1 = an(n≥2),又 a2 = ,∴an= · ( ) (n≥2) 3 3 3 3 3

∴ {an}通项公式为 an= ? ?1 4

? 1 n ?1 ?( ) ? ?3 3
n?2

n?2
1 3 4 3
2

(2) 由(1)可知 a2 、a4 、…a2n 是首项为 ,公比为( ) ,项数为 n 的等比数列.
4 1 ? ( ) 2n 1 3 ∴ a2 +a4 +a6 +…+a2n= × 3 1 ? ( 4 )2 3

= [( )2n-1] 变式训练 4.设数列?an ? 的前 n 项的和 S n ? 求首项 a1 与通项 an 。 解析: (I ) a1 ? S1 ?

3 7

4 3

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1,2,3...... 3 3 3

所以数列 所以:

4 1 2 a1 ? ? 22 ? ,解得: a1 ? 2 3 3 3 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 n ?an ? 2 ?
an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1
n

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

归纳小结 1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或 等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若 m+n=p+r,则 am+an=ap+ar(或 am· an=ap· ar) 进行解答. 2.若 a、b、c 成等差(或等比)数列,则有 2b=a+c(或 b2 =ac) . 3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等

于 180°这一性质. 4.在涉及 an 与 Sn 相关式子中用 Sn-1 和 Sn 的关系表示 an 时应该注意“n≥2”这个特点.


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