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【新】贵州省黔东南州2018届高三数学上学期第一次联考试题理(含解析)

小中高 精品 教案 试卷

黔东南州 2017-2018 学年高三第一次联考 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】A 【解析】集合 B. C. D. ,则 ( )

.
故选 A. 2. 设是虚数单位,复数 A. B. C. D. ,则复数 的模为( )

【答案】D 【解析】复数 复数 的模为: 故选 D. 3. 近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组,得到 样本频率分布直方图如图,其中年龄在 人,则 的值为( ) 岁的有 2500 人,年龄在 岁的有 1200 . .

A. 0.013 【答案】C

B. 0.13

C. 0.012

D. 0.12

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小中高 精品 教案 试卷

【解析】由题意,得年龄在范围 改革的市民有

岁的频率为

,则赞成高校招生 岁的有 1200 人,则

,因为年龄在范围 ......................

故选 C. 4. 若 A. B. ,且 是第二象限角,则 C. D. 的值为( )

【答案】D 【解析】试题分析:已知由二倍角公式化简可得: ,因为 可得 ,代入上式化简即可得 D ,且 是第二象限角,所以

考点:1.二倍角公式;2.同角三角函数基本关系式 5. 已知向量 A. C. 或 B. D. 或 , ,且 ,则向量 的坐标为( )

【答案】C 【解析】设 ,则 ,解得 或 ,

故向量 的坐标为 故选 C.



.

6. 如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位: 表面积为 ,则该三棱锥的体积为( )

) ,且该三棱锥的外接球的

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A. 5

B. 10

C. 15

D. 30

【答案】B 【解析】由三视图可知,该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为 3,5,设该三棱锥的高为 H,将该三棱锥补成长方体可知,该三棱锥的外接球的直径为 ,该三棱锥的外接球的表面积为 ,所以该三棱锥的体积为 ,故选 B. ,解得

7. 已知实数

满足

,则

的取值范围是(



A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】

画出不等式组

表示的可行域如图阴影区域所示.

由 入 的取值为

,得 ,所以

,平移直线 ,故选 A.

,当经过点



时,代

点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无 误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行 比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 8. 下列程序框图输出的 的值为( )

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A. 5

B. 0

C. -5

D. 10

【答案】A 【解析】该题的算法功能是求数列 的前 10 项和,由于数列 的前 10 项

的周期为 2,且每一个周期内的两项之和为 0,故数列 和为 0,数列

从第一项开始,每两项之和,所以前 10 项之和为 5,故数列 的前 10 项和为 0+5=5,故选 A.

点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概 念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条 件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 9. 函数 的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】
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,定义域为

,所

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以函数是偶函数,图象应关于

轴对称,当

时,

,故选 A.

【点睛】已知函数解析式求函数图像和已知图像求函数解析式也是高考考查的热点,本题是 知道解析式求函数图像,需注意几个问题, (1)注意函数的定义域,从而判断函数图像的位 置, (2)从函数的单调性,判断函数图像的变化或趋势, (3)判断函数是否具有奇偶性,判 断函数图像的对称性, (4)从特殊点出发,排除选项, (5) 变化趋势等来判断图像. 10. 在 中,若 的位置关系是( A. 相切 【答案】A 【解析】因为 故圆心 直线 11. 把离心率 到直线 相切,故选 A. 的曲线 称之为黄金双曲线. 若以原点为圆 ) ,所以 的距离 . , 故圆 与 B. 相交 C. 相离 ) D. 不确定 ,则圆 与直线 或 时函数图像的

心,以虚半轴长为半径画圆 ,则圆 与黄金双曲线 ( A. 无交点 【答案】D 【解析】由题意知 ,所以 ,所以 ,所以 B. 有 1 个交点 C. 有 2 个交点

D. 有 4 个交点

,因为 ,所以圆 与黄金双曲线 的左右两支各有 2 个交

点,即圆 与黄金双曲线 由 4 个交点,故选 D. 12. 已知函数 取值范围是( A. C. 【答案】C ) B. D. , 若方程 有两个不相等的实数根, 则实数 的

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【解析】作出函数

的图象如下:

方程 有图可知, 故选 C.

有两个不相等的实数根等价于函数 .



的图象有两个不同的交点,

点睛:方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合 求解. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知函数 的导数为 ,且满足关系式 ,则

的值等于__________. 【答案】-9 【解析】 . . 函数求导得: 得 所以 ,解得: , . 答案为-9. .令 . . .

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14. 在

中,角

所对的边分别是

,若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两

次,所得的点数分别为 【答案】

,则满足条件的三角形恰有两解的概率是__________.

【解析】根据题意,a、b 的情况均有 6 种, 则将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数的情况有 6×6=36 种; 在△ABC 中,由正弦定理可得 ,则 b=2asinB,

若△ABC 有两个解,必有 B≠90°,则有 b<2a, 若 b<a,则 C 为钝角,只有一解, 故有 a<b<2a, 符合此条件的情况有:b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5; 共 6 种; 则△ABC 有两个解的概率为 答案为: . 点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 数. (1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可 借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用. 15. 已知 是直线 线, 上的动点, 是圆 的切 ,

是切点, 是圆心,那么四边形

面积的最小值是__________.

【答案】 【解析】试题分析:因为圆的方程 圆心 所以四边形 ,半径为 ,依题作出草图,可知 面积的最小值就是 到直线 ,即四边形 的最小值,而 的最短距离 面积的最小值是 . ,本题要求出最小的 ,所 可化为 , ,

的值,即为圆心 以

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考点:1.点到直线的距离;2.切线的性质;3.转换的思想. 16. 定长为 4 的线段 两端点在抛物线 上移动, 设点 为线段 的中点, 则点 到 轴

距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】设 距离 线时取等号) ,所以 答案为: . 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 (1)求数列 (2)求数列 【答案】 (1) 满足: 的通项公式; 的前 项和 . ; (2) . . . ,抛物线 的交点为 F,抛物线的准线 ,所求的

, (两边之和大于第三边且 M,N,F 三点共

【解析】试题分析: (1)利用累乘法求数列通项即可; (2)利用乘公比错位相减即可求和. 试题解析: (1) 以上式子相乘得 代入 又 ,得 符合上式,故数列 的通项公式为 , , . ,

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(2)

, ,

两式相减,得 . 点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数 的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步 准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数, 应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商 商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商 品好评率为 ,对服务好评率为 ,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)是否可以在犯错误率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,并从中选 择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率. 注:1.

注 2. 【答案】 (1)见解析; (2) . 【解析】试题分析: (1)由已知列出关于商品和服务评价的 2×2 列联表,代入公式求得 k2 的 值,对应数表得答案; (2)采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,则好评的交易次数为 3 次,不满 意的次数为 2 次,利用枚举法得到从 5 次交易中,取出 2 次的所有取法,查出其中只有一次 好评的情况数,然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率. 试题解析: (1)由题意可得关于商品评价和服务评价的 列联表:

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对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 80 70 150

对服务不满意 40 10 50

合计 120 80 200

所以



所以可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,则好评的 交易次数为 3 次,不满意的次数为 2 次,令好评的交易为 从 5 次交易中,取出 2 次的所有取法 .共计 10 种情况. 其中只有一次好评的情况是 因此,只有一次好评的概率为 19. 如图所示,在四棱锥 为 的中点, 平面 平面 ; . 中,四边形 , 平面 为菱形, . 为正三角形,且 分别 ,共计 6 种情况. ,不满意的交易为 .

(1)求证: (2)求 与平面

所成角的正弦值.

【答案】 (1)见解析; (2)

.

【解析】试题分析: (1)证明:AD⊥平面 PEB,利用四边形 ABCD 为菱形,可得 AD∥BC,即可 证明 BC⊥平面 PEB; (2)以 E 为原点,建立坐标系,求出平面 PDC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值. 试题解析:
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(1)证明:因为 所以 又 由四边形 所以 (2)解:

平面 , 平面



平面



平面 ,

,所以

平面



菱形,得 平面 .

以 为原点, 不妨设菱形

分别为 的边长为 2,则 ,

轴建立空间直角坐标系, ,

则点 , 设平面 则由 不妨令 又 ,得 , ; 的法向量为 , ,解得





所以

与平面

所成角的正弦值为



20. 已知

分别是椭圆

的左、右焦点. ,求点 的坐标; ,且 为锐角(其中, 为坐标

(1)若 是第一象限内该椭圆上的一点, (2)设过定点 的直线与椭圆交于不同的两点

原点) ,求直线的斜率 的取值范围.
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【答案】 (1)

; (2)

.

【解析】试题分析: (1)首先得到焦点的坐标,点 满足两个条件,一个是点 在椭圆上,满 足椭圆方程,另一个是将 方程组; (2)首项设过点 和 ,以及 的直线为 ,转化为坐标表示,这样两个方程两个未知数,解 ,与方程联立,得到根与系数的关系, 为锐角,即 ,共同求出 的取

,根据向量的数量积可知,

,这样代入根与系数的关系,以及 值范围. 试题解析: (1)易知 ,设 . ,则 ,又

.

联立 (2)显然 设 联立

,解得

,故

. ,

不满足题设条件,可设的方程为 ,

由 ,得 又 为锐角 .① ,



.② 综①②可知 的取值范围是

【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题,这类问题,要将几何关系转
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化为代数不等式的运算,必然会考查转化与化归的能力,将

为锐角转化为 .

,这样就代入根与系数的关系,转化为解不等式的问题,同时不要忽略 21. 已知函数 (1)当 (2)若 时,求 在 . 的最小值;

上为单调函数,求实数 的取值范围. ; (2) .

【答案】 (1)

【解析】试题分析: (1)函数求导,求得函数的单调区间,利用函数的单调性即可求最值; (2) 在 或 试题解析: (1)当 令 时, ,得 或 ,∴ (舍). 2 0 极小值 + . 上为单调函数,转为当 对 恒成立,令 时, 或 ,求导求值即可. 恒成立,即

又当 ∴当 (2)∵

时, 时,函数 的最小值为 ,∴ 时, 或 或 或 对

, . ,又 恒成立, 对 恒成立. 恒成立, 在 上为单调函数,∴当

也就是 即



,则

.∴当

时,

.∴



上单

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调递减,又当 ∴ ,故

时, 在

;当

时,

, .

上为单调函数时,实数 的取值范围为

点睛:利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该 函数的最值, 根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a 即可; f(x)≤a 恒成立,只需 f(x)max≤a 即可. (2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值 (最值),然后构建不等式求解. 22. 在平面直角坐标系 标系.圆 的极坐标方程哦 交于 两点, 是圆 上不同于 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐 ,直线的参数方程为 的任意一点. (为参数) ,直线和圆

(1)求圆心的极坐标; (2)求点 到直线距离的最大值. 【答案】 (1)圆心的极坐标为 【解析】试题分析: (1)将圆 : ; (2) . 化为普通方程,得到其圆心 ,根据极坐标

的定义可得其极坐标为

; (2)把直线

化为普通方程,因为直线与圆相交,根

据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径. 试题解析: (1)由 ,得 ,得 ,圆心的极坐标为 ,故圆 . 的普通方程为

,所以圆心坐标为

(2)直线 的参数方程为 普通方程为 ,因为圆心

为参数)化为普通方程是 到直线 的距离

,即直线 的

,所以点 到直线 的距离的最大值 . 考点: (1)极坐标方程化为普通方程; (2)参数方程化为普通方程; (3)点到直线的距离公
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式.

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