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广东省五校协作体2017届高三上学期第一次联考理数试题 Word版含答案


理科数学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? {x 2 x ? 5 x ? 3 ? 0} , B ? {x ? Z x ? 2} ,则 A ? B 中的元素个数为(



A.2

B.3

C.4

D.5

2.已知 a 为实数,若复数 z ? (a2 ?1) ? (a ? 1)i 为纯虚数,则 A.1 B.0 C. 1 ? i ) D. 1 ? i

a ? i 2016 的值为( 1? i



3.下列命题错误的是(

A.若 p ? q 为假命题,则 p ? q 为假命题 B.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ?
2 2

1 ? 成立的概率是 4 16
2

C.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2

D.已知函数 f ( x ) 可导,则“ f ' ( x0 ) ? 0 ”是“ x0 是函数 f ( x ) 的极值点”的充要条件 4.从 1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是 5 的概率为( )

1 8 ??? ? ???? 5.设 D 是 ?ABC 所在平面内一点, AB ? 2DC ,则(
A. B. C. D.

2 3

1 3

1 9



? 3 ??? AB 2 ??? ? ???? 1 ??? ? D. BD ? AC ? AB 2
A. BD ? AC ?

??? ?

????

B. BD ?

??? ?

? 3 ???? ??? AC ? AB 2

C. BD ?

??? ?

? 1 ???? ??? AC ? AB 2

6.已知点 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点,过 F2 且垂直于 x 轴 a 2 b2

的直线与双曲线交于 M , N 两点,若 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) B. (1, 2 ? 1) C. (1, 3) D. ( 3, ??)

???? ? ???? ?

A. ( 2, 2 ? 1)

-1-

7.已知 ? ? (

? ?

, ) , a ? (cos ? )cos? , b ? (sin ? )cos? , c ? (cos ? )sin? ,则( 4 2
B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b



A. a ? b ? c

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 8.不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 的解集记为 D ,有下面四个命题: ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?

p1 : ?( x, y) ? D , 2 x ? 3 y ? ?1 ; p3 : ?( x, y) ? D ,
其中的真命题是( A. p1 , p2

p2 : ?( x, y) ? D , 2 x ? 5 y ? ?3 p4 : ?( x, y) ? D , x2 ? y 2 ? 2 y ? 1

y ?1 1 ? ; 2? x 3


B. p2 , p3
3

C. p2 , p4

D. p3 , p4

9.已知函数 f ( x ) ? ax ? 示,若输出的结果 S ? A. n ? 2016?

1 2 1 x ,在 x ? ?1 处取得极大值,记 g ( x) ? ' ,程序框图如图所 2 f ( x)


2016 ,则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是( 2017
C. n ? 2016? D. n ? 2017 ?

B. n ? 2017 ?

10.已知方程 ( )

cos x ? k 在 (0, ??) 上有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ) ,则下面结论正确的是 x

A. tan(? ? C. tan( ? ?

?
4

)?

? ?1 ? ?1

B. tan(? ? D. tan( ? ?

?
4

)?

? ?1 ? ?1

?
4

)?

? ?1 ? ?1

?
4

)?

? ?1 ? ?1

-2-

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.

) D.

(10 ? 2 2)? ?1 2

B.

13? 6

C.

(11 ? 2)? ?1 2

(11 ? 2 2)? ?1 2

12.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有极值,则实数 a 的取值范围是( A. (??, )



1 2

B. (0, )

1 2

C. (??, ]

1 2

D. (0, ]

1 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知 n ?

?

2

0

x3dx ,则 ( x ?

3

2 ) 的展开式中常数项为____________. x

14.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (3, m) ,且 b 在 a 上的投影为 3,则向量 a 与 b 夹角为 ____________. 15.如图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD ,为了测量该 山坡相对于水平地面的坡角 ? , 在山坡的 A 处测得 ?DAC ? 15 , 沿山坡前进 50 m 到达 B 处,
0 0 又测得 ?DBC ? 45 ,根据以上数据可得 cos ? ? __________.

?

?

?

?

?

?

16.两圆 x ? y ? 2ax ? a ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4by ?1 ? 4b ? 0 恰有三条公切线,若 a ? R ,
2 2 2 2 2 2

-3-

b ? R 且 ab ? 0 ,则

1 1 ? 的最小值为_____________. a 2 b2

三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1 , a3 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn?1

18.(本小题满分 12 分) 下图是某市 11 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空 气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 11 月 1 日至 11 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天.

(1)求此人至达当日空气质量重度污染的概率; (2)设 ? 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 ? 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分 12 分)
0 如图,菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 , AC 与 BD 相交于点 O , AE ? 平面 ABCD ,

CF // AE , AB ? AE ? 2 .
(1)求证: BD ? 平面 ACFE ; (2) 当直线 FO 与平面 BED 所成角为 45 时, 求异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值大小.
0

-4-

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a 2 b2

形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ,若椭圆 C 上存在点 P 满足

??? ? ??? ? ??? ? OS ? OT ? tOP (其中 O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x ) ?

x . ex

(1)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,判断 F ( x) 在区间 (1, 2) 内的零点个数并说明理由; (2)记 F ( x) 在 (1, 2) 内的零点为 x0 , m( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ,若 m( x) ? n , ( n ? R )在

(1, ??) 内有两个不等实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,判断 x1 ? x2 与 2 x0 的大小,并给出对应的证明.
请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题 号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

-5-

? 2 t ?x ? 1? ? 2 在平面直角坐标系下,直线 l : ? ( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴为非负半 ?y ? 2 t ? ? 2
轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ? 0 . (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若 a ? 1 ,解不等式: f ( x) ? 4 ? x ?1 ; (2)若 f ( x) ? 1 的解集为 [0, 2] ,

1 1 ? ? a (m ? 0,n ? 0) ,求 mn 的最小值. m 2n

广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考
-6-

理科数学参考答案及评分细则 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) BDDCA BDCBD CA

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 32 14.

? 6

15. 3 ? 1

16. 1

三、解答题(第 17-21 题每题 12 分,第 22,23 题每题 10 分) 17.解:(I)由 S n ? 2an ? a1 , 当 n≥2 时, S n?1 ? 2an?1 ? a1 , ∴ an ? 2an ? 2an?1 , 化为 an ? 2an?1 . 由 a1,a2+1,a3 成等差数列. ∴2(a2+1)=a1+a3, ∴2(2a1+1)=a1+4a1, 解得 a1=2. ??????????4 分 ??????????3 分 ??????????2 分 ??????????1 分

∴数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 2. ∴an=2 . (II)an+1=2 ,Sn=
n+1 n+1 n

??????????6 分 =2 ﹣2,Sn+1=2 ﹣2.
n+2

???8 分

bn=

=

=



???10 分

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= + +?+

=



??? 12 分

18.解:设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”( i =1,2,?,12). 依题意知, P ( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) .--------------------------2 分 12

-7-

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A 1 ? A2 ? A 3?A 7 ?A 12 ,

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 且-----------------------------6 分 P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? ,-------------------7 分 12 4

2 1 ? ,-------------------------------8 分 12 6 2 1 ? ,-------------------------------9 分 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? ,--------------10 分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

5 12

1 6

1 6

-----------------------------------------11 分

故 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .---------------------12 分 4 12 6 6 4

19.解(Ⅰ)证明:? 四边形 ABCD 是菱形,
? BD ? AC .

-------------------2 分

? AE ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD
? BD ? AE .

-------------------2 分

? AC ? AE ? A ,
∴ BD ? 平面 ACFE. -------------------5 分

(Ⅱ)解:以 O 为原点,OA,OB 为 x,y 轴正向,z 轴过 O 且平行于 CF,建立空间直角坐标系,
uuu r 则 B(0, 3, 0) , D(0, ? 3,0) , E (1,0, 2) , F (?1,0, a)(a ? 0) , OF ? ? ?1, 0, a ? --6 分

设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

-8-

uuu r ? ? ?n ? OB ? 0 ? 3y ? 0 r 则有 ? uuu ,即 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (?2, 0,1) ? ? ? x ? 2z ? 0 ?n ? OE ? 0

-----------8 分

uuu r uuu r | OF ? n | 由题意得 sin 45 ?| cos ? OF , n ?|? uuu ? r | OF || n |
o

|2?a| a ?1 5
2

?

2 1 ,解得 a ? 3 或 ? . 3 2

由 a ? 0 ,得 a ? 3

------10 分

??? ? ??? ? OF ? (?1, 0,3), BE ? (1, ? 3, 2), ???? ? ??? ? ?1 ? 6 5 cos OF , BE ? ? 4 10 8
即所求的异面直线所成的角余弦值为

5 ---------------------12 分 4

20.解:(Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 ? a (*)--------------------1 分 2

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴ b ? c , a ? 2c , 故所求椭圆方程为 代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ? 2b ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1. 2

????????????4 分

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , ∴ ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,解得 k 2 ? 设 S ( x1 , y1 ) , T ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? ?

1 . 2

8k 2 8k 2 ? 2 , -----------6 分 , x x ? 1 ? 2k 2 1 2 1 ? 2k 2

4k 1 ? 2k 2

uur uuu r uuu r 由 OS ? OT ? tOP ,得 tx0 ? x1 ? x2 , ty0 ? y1 ? y2

uur uuu r uuu r 当 t ? 0 时,直线 l 为 x 轴,则椭圆上任意一点 P 满足 OS ? OT ? tOP ,符合题意;

? 8k 2 tx ? ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 时, ? ?ty ? ?4k ? 0 1 ? 2k 2 ?

-9-

1 8k 2 1 ?4k ∴ x0 ? ? , y0 ? ? .--------------------------------9 分 2 t 1 ? 2k t 1 ? 2k 2
将上式代入椭圆方程得:
32k 4 t 2 ?1 ? 2k 2 ?
2

?

16k 2 t 2 ?1 ? 2k 2 ?
2

?1,

整理得: t 2 ?

16 16k 2 = 是 k 2 的递增函数, 2 1 1 ? 2k ?2 k2

由 k2 ?

1 知, 0 ? t 2 ? 4 ,所以 t ? ( ?2, 0) U (0, 2) , 2

综上可得 t ? (?2, 2) .

-----------------------------------12 分

21.解(1)证明: F ? x ? ? x ln x ?

x x ?1 ,定义域为 x ? ? 0, ??? , F ? ? x ? ? 1 ? ln x ? x , x e e
????2 分

而 x ? ?1, 2? ,故 F ? ? x ? ? 0 ,即 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增, 又 F ?1? ? ?

1 2 ,F ? 2 ? ? 2 ln 2 ? 2 ? 0 , 而 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 上连续, 故根据根的存在性定理有: e e
??????4 分

F ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 有且仅有唯一实根

显然当 1 ? x ? x0 时, m ? x ? ? x ln x , m? ? x ? ? 1 ? ln x ? 0 因而 m ? x ? 单增;当 x ? x0 时,

m ? x? ?

x 1? x ,m? ? x ? ? x ? 0 , 因而 m ? x ? 递减;m ? x ? ? n 在 ?1, ?? ? 有两不等实根 x1 ,x2 , x e e
????7 分

则 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ?1, ???

显然当 x2 ? ?? 时, x1 ? x2 ? 2 x0 ,下面用分析法给出证明.要证: x1 ? x2 ? 2 x0 即证

x2 ? 2x0 ? x1 ? x0 ,而 m ? x ? 在 ? x0 , ??? 上递减,故可证 m ? x2 ? ? m ? 2x0 ? x1 ? ,又由

m ? x1 ? ? m ? x2 ? ,即证 m ? x1 ? ? m ? 2x0 ? x1 ? ,即 x1 ln x1 ?
记 h ? x ? ? x ln x ?

2 x0 ? x , 1 ? x ? x0 ,其中 h ? x0 ? ? 0 . e 2 x0 ? x 1 ? x ? 2 x0 2x ? x 1 h? ? x ? ? 1 ? ln x ? ? 1 ? ln x ? 2 x0 ? x ? 20x0 ? x , 2 x0 ? x e e e

2 x0 ? x1 ,????9 分 e 2 x0 ? x1

????10 分

- 10 -

t 1? t , ? ? ? t ? ? t ,当 t ? ? 0,1? 时, ? ? ? t ? ? 0 ; t ? ?1, ??? 时, ? ? ? t ? ? 0 故 t e e 2x ? x 1 1 1 ? ? t ?max ? ,而 ? ? t ? ? 0 故 0 ? ? ? t ? ? ,而 2 x0 ? x ? 0 ,从而 ? ? ? 20x0 ? x ? 0 ,因此 e e e e 1 ? x ? 2 x0 2x ? x 1 1 h? ? x ? ? 1 ? ln x ? ? 1 ? ln x ? 2 x0 ? x ? 20x0 ? x ? 1 ? ? 0 ,????11 分 2 x0 ? x e e e e 2x ? x 即 h ? x ? 单增.从而 1 ? x ? x0 时, h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 即 x1 ln x1 ? 20x ? x 1 , e 0 1
记 ? ?t ? ? 故 x1 ? x2 ? 2 x0 得证 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 , ??????????????????????2 分 由 ? ? 4cos ? ? 0 ? ? 2 ? 4? cos ? ? 0 ? x2 ? y2 ? 4x ? 0 ? ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

????12 分

即曲线 C 的直角坐标方程为

? x ? 2?

2

? y2 ? 4 ,??????????????????????5 分

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得

? 2 ? ? 2 ? ,即 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , ? ? 2 t ? 1? ? ?? ? 2 t? ? ?4 ? ? ? ?
设方程 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 的两根分别为 t1 ,t2 ,则
AB ? t1 ? t2 ?

2

2

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 14 .?????????????????10 分

23.(本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ,即 x ? 1 ? 2 , ∴ x ? 1 ? 2 或 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? 3 或 x ? ?1 , ∴原不等式的解集为
(?? , ? 1] ? [3 , ? ?) ;?? ???????????????????5 分

(Ⅱ) f ? x ? ? 1 ? x ? a ? 1 ? ?1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? x ? a ? 1 , ∵ f ? x ? ? 1 的解集为 ?0 ,2?
?a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ?????????????????????????7 分 ∴? ?a ? 1 ? 2

- 11 -



1 1 1 ? ?1? 2 ? m ? 0 ,n ? 0 ? , m 2n 2mn

∴ mn ? 2 (当且仅当

1 1 1 ? ? 即 m ? 2 ,n ? 1 时取等号) m 2n 2

∴ mn 的最小值为 2.?????????????????????????10 分

- 12 -


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