kl800.com省心范文网

广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题


2014 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

理科数学
命题学校:深圳中学 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在 答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.

第一部分选择题(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合要求. 1.若集合 A ? 1, A. 充要条件

?

m 2 ? , B ? ? 2, 4 ? ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ? 4 ? ”的
B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件

2π 0.5 2. 若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin ,则 5 A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c
3.函数

D. c ? a ? b
y 2

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f ( x) ?

A. 2 sin(2 x ? ) C.

π 6 π 2 sin(4 x ? ) 3
2 2

B. D.

π 2 sin(2 x ? ) 3 π 2 sin(4 x ? ) 6
3

-

π 3

O

5π 12

x

4.已知圆 O : x ? y ? 1 及以下3个函数:① f ( x) ? x ; ② f ( x) ? tan x ;③ f ( x) ? x sin x. 其中图像能等分圆 C 面积的函数有 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
开始 T=0,S=1 S=S -T T≥0 否 输出S 结束 是 T=T+S

1 12 ) 展开式中的常数项为 5. ( x ? 3 x
A. 220 B. ?220 C. 1320 D. ?1320 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1

1 7 ? 7. 已知数列 ?a n ? 满足: a1 ? , 对于任意的 n ? N , an ?1 ? an (1 ? an ), 则 7 2

a1413 ? a1314 ?
A. ?

2 7

B.

2 7

C.

?

3 7

D.

3 7

8.点 O 是平面 ? 内的定点,点 A( 与点 O 不同)的“对偶点” A? 是指:点 A? 在射线 OA 上且 OA ? OA? ? 1 厘 米 2 .若平面 ? 内不同四点 P, Q, R, S 在某不过点 O 的直线 l 上,则它们相应的“对偶点” P?, Q?, R?, S ? 在 A.一个过点 O 的圆上 C.一条过点 O 的直线上 B.一个不过点 O 的圆上 D.一条不过点 O 的直线上

第二部分

非选择题(110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中 抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生. 10. 若向量 BA ? (1, 2), CA ? (4, x) ,且 BA 与 CA 的夹角为 0?, 则 BC ? 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视图的 边界均为直角三角形,俯视图的边界为直角梯形,则该几何体的体积 为 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

.

2 _ 4 _ 正视图 _ 2 _ 2 _ 侧视图 _

12. 已知直线 l : x ? p 过抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点, 直线 l 与抛物线 C 围 成的平面区域的面积为 S , 则 p ? ______ , S ? .

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 13. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 , 若a ?b ?0, 且 f( a) ?f ( b) , 2 ? , x ?1 ? ? 2
则 bf (a) 的取值范围是 .

俯视图 _

选做题(请考生在以下两小题中任选一题做答,若两小题都做,则按第 14 题记分). 14. (几何证明选讲选做题) 如图, 过点 C 作 ? ABC 的外接圆 O 的切线交 BA 的 延长线 于点 D .若 CD ? 3 , AB ? AC ? 2 ,则 BC ? .
O

C D A

15 . ( 坐标系与参数方程选做题 ) 在极坐标系 ? O? ( ? ? 0,0 ? ? ? 2π) 中,点

? A(2, )关于直线 l : ? cos ? ? 1 的对称点的极坐标为 2

.

B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 3(b ? c ? a ) ? 2bc , B ? 2 A .
2 2 2

(1) 求 tan A ; (2) 设 m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), 求 m ? n 的值.

?

π 4

?

π 4

? ?

17.(本小题满分 12 分)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数 ?i, i, ? 2, 2, 其中 i 是虚数单位.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影 响) . (1)求事件 A “在一次试验中,得到的数为虚数”的概率 P( A) 与事件 B “在四次试验中,至少有两次 得到虚数” 的概率 P( B) ; (2)在两次试验中,记两次得到的数分别为 a, b ,求随机变量 ? ? a ? b 的分布列与数学期望 E? . 18.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面

P H F E D G A B C

ABCD , EA ? PD , AD ? PD ? 2EA , F , G , H 分别为 PB ,

EB , PC 的中点.
(1)求证: FG ? 平面 PED ; (2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小. 19. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 记

f (n) ? 2an ?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ), n ? N? .
(1)若数列 ? an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, 求 f (2014) ; (2) 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 ?a2 n ?1? , ?a2 n ? 均是公比为 4 的等比数列, 求证: 对任意正整数 n ,f (n) ? 0. 20. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系中,已知点 F ( 2, 2) 及直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 C1 是

?x ? 0 ? . 满足下列两个条件的动点 P( x, y ) 的轨迹:① PF ? 2d , 其中 d 是 P 到直线 l 的距离;② ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 5 ?
(1) 求曲线 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与曲线 C1 、椭圆 C2 : 取值范围. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f n ( x) ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点,求椭圆 C2 离心率 e 的 a 2 b2

x2 ? 2x ? a ? ,其中 n ? N , a ? R, e 是自然对数的底数. nx e

(1)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的零点; (2)若对任意 n ? N , f n ( x) 均有两个极值点,一个在区间 (1, 4) 内,另一个在区间 ?1, 4 ? 外,求 a 的取
?

值范围; (3)已知 k , m ? N , k ? m, 且函数 f k ( x) 在 R 上是单调函数,探究函数 f m ( x) 的单调性.
?

2014 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

参考答案与评分标准 理科数学
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合要求. 题号 答案 1 D
2

2 C

3 B

4 B

5 B

6 C

7 D

8 A

1. 【解析】 A ? B ? ? 4 ? ? m ? 4 ? m ? ?2. 2. 【解析】 2
0.5

? 20 ? 1, 0 ? log π 1 ? log π 3 ? log π π ? 1, log 2 sin

2π ? log 2 1 ? 0. 5

3. 【解析】由图知 f ( x) 在 x ?

5 π 时取到最大值 2 ,且最小正周期 T 满足 12

3 5 π T ? π+ . 4 12 3 3 2π 5π 5π ? 3π,? ? 2, 2 sin(2 ? ? ? ) ? 2 , sin( ? ? ) ? 1, 故 A ? 2, ? 4 ? 12 6 5π π π π ? ? ? 2kπ ? ,? ? 2kπ ? , k ? Z .所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 6 2 3 3 5 π 或由 f ( π) ? 2 逐个检验知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 12 3
4. 【解析】圆 O 关于原点 O 对称. 函数 y ? x 与函数 y ? tan x 是定义域上的奇函数,其图像关于原点对
3

称 , 能等分圆 O 面积;而 y ? xsin x 是 R 上的偶函数,其图像关于 y 轴对称,且当 0 ? x ? 1 时

x sin x ? 0, 不能等分圆 O 面积
5. 【解析】 ( x ?

3

1 12 ) 展开式中的通项为 x

4k 12 ? 1 k 12 ? k k Tk ?1 ? C12 x (? 3 ) k ? C12 (?1) k x 3 (k ? 0,1, 2,?,12). x
9 ? ?220. Tk ?1 为常数项的充要条件是 k ? 9. 常数项 T10 ? ?C12

6. 【解析】 T ? 0, S ? 1 ? T ? 1, S ? 0 ? T ? 1, S ? ?1

? T ? 0, S ? ?1 ? T ? ?1, S ? 0.
7. 【解析】 a1 ?

1 7 1 6 3 7 3 4 6 7 6 1 3 , a2 ? ? ? ? , a3 ? ? ? ? , a4 ? ? ? ? ,?. 7 2 7 7 7 2 7 7 7 2 7 7 7 6 3 由数学归纳法可证明:当 n 为大于 1 的奇数时, an ? ;当 n 为正偶数时, an ? . 7 7
故 a1413 ? a1314 ?

3 . 7

8. 【解析】过 O 作与直线 l 垂直的直线 m, 以 O 为原点,直线 m 为 x 轴,单位为 1 厘米,建立平面直角平面

1 1 (a ? 0) , P( , y0 ) 是直线 l 上任意一点,它的“对偶点”为 P?( x, y ) ,则存在 ? ? 0, a a ? ? ?? ? ? ? ?1 ??? ? ???? x 使 得 O P? ? O? P , 即 ? ? x, y0 ? ? y , 又 OP ? OP? ? OP ? OP? ? ? y0 y ? 1 , 消 去 ? , 得 a a
坐标系. 设直线 l : x ?

x 2 ? y 2 ? ax ? 0 .
故 P?, Q?, R?, S ? 在过点 O 的圆 : x ? y ? ax ? 0 上.
2 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 15 10. (?3, ?6) 11. 8 12. 1,
8 . 3
?3 ? 13. ? , 2 ? ?4 ?

14. 2 3

15. (2 2, ).

? 4

9. 【解析】根据分层抽样的方法步骤,按照一定比例抽取,样本容量为 50 ,那么根据题意得:从高三一 共可以抽取人数为: 50 ?

10. 【解析】由 BA 与 CA 的夹角为 0?, 知 x ? 8 , BC ? BA ? AC ? BA ? CA ? (?3, ?6). 11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高,正俯等长,侧俯等宽”的规则,其体积 为V ?

??? ?

??? ?

3 ? 15 . 10
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ?

1 1 ? (2 ? 4) ? 4 ? 2 ? 8. 3 2

12. 【解析】抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,知 p ? 1 .
1 2 3 S ? 2? (2 x )dx ? 4 ? x 2 0 3 1 0

8 ? . 3

13. 【解析】如图, f ( x) 在 ? 0,1? , ?1, ?? ? 上均单调递增, 由 a ? b ? 0 及 f (a) ? f (b) 知

1 a ? 1 ? b ? . b ? f (a) ? bf (b) ? b(b ? 1) 的取值范围 2
?1 1 ? ?3 ? ( ? 1), (1 ? 1) ? ? ? , 2 ? . ? ?2 2 ? ?4 ?
14. 【解析】由 CD ? DA ? DB ? DA ? ( DA ? AB) 知 DA ? 2DA ? 3 ? 0 ,解得
2

y
2 3 2 1

f(x)

2

O

1 b 1a 2

x

AC CD AC ? BD ,即 BC ? ? ? 2 3. BC BD CD ? 15. 【解析】 如图,在极坐标系 ?O? ( ? ? 0,0 ? ? ? 2π) 中,设 A(2, ) 关于直线 2
DA ? 1, DB ? 3. 由 ? DAC ?? DCB 得 l : ? cos? ? 1 的 对 称 点 为 B( ? , ? )则 , OA ? AB ? 2 , 且 O A? A .B从 而

π A(2, ) 2

B

O

π π π π O B? 2 2 ,? A O B ? 即 , ? ? 2 2,? ? ? ? . 4 2 4 4
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 3(b ? c ? a ) ? 2bc , B ? 2 A .
2 2 2

(2) 求 tan A ; (2) 设 m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), 求 m ? n 的值. 解: (1)? 3(b ? c ? a ) ? 2bc,
2 2 2

?

π 4

?

π 4

? ?

? cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? . 2bc 3

…………………………………………2 分

? 0 ? A ? π,
? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2 , 3
…………………………………………… 4 分

sin A ………………………………………………………6 分 ? 2. cos A π π ? ? (2)(解法一)? m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), 4 4 π π ? ? ……………………… 7 分 ? m ? n ? 2sin( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4 tan A ?
? 2? 2 2 (cos B ? sin B) ? (cos B ? sin B) ? 1 2 2

? cos2 B ? sin 2 B ?1 ………………………………………… 9 分 ? ?2sin 2 B.
……………………………………………… 10 分

?B ? 2A ,
? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ? 2 2 ? ? 16 , m?n ? ? . 3 9
…………12 分

(2)(解法二)? m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), ……………………… 7 分

π π ? 4 4 π π ? ? ? m ? n ? 2sin( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4 ?

π ?π π ? ? 2 cos ? ? ( ? B) ? sin( ? B) ? 1 4 ?2 4 ?

π π ? 2cos( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4 π ? sin( ? 2 B) ? 1 2 ? cos 2B ?1 ………………………………………………………9 分
? ?2sin 2 B. ……………………………………………………… 10 分

?B ? 2A ,
? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ?
(2)(解法三) ? B ? 2 A ,

2 2 ? ? 16 , m?n ? ? . 3 9

…………12 分

? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ?

2 2 , 3
………………………9 分

1 cos B ? cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? ? . 3

π 2?4 ? ? m ? (2sin( ? B),1) ? ( 2(cos B ? sin B),1) ? (? ,1), ……10 分 4 3 π 2 4? 2 ? n ? (sin( ? B), ?1) ? ( (sin B ? cos B), ?1) ? ( , ?1). …11 分 4 2 6 4? 2 4? 2 16 ? ? ?m ? n ? ? ? ?1 ? ? . 3 6 9
17.(本小题满分 12 分) 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数 ?i, i, ? 2, 2, 其中 i 是虚数单位.称“从 盒中随机抽取一张,记下卡片上的数后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响) . (1)求事件 A “在一次试验中,得到的数为虚数”的概率与事件 B “在四次试验中,至少有两次得到虚 数” 的概率; (2)在两次试验中,记两次得到的数分别为 a, b ,求随机变量 ? ? a ? b 的分布列与数学期望 E? . 解: (1) P ( A) ? ………………………12 分

2 1 ? , 4 2

……………………………………………………………2 分

5 11 ? 0 1 0 1 4 1 1 1 1 3? P( B) ? 1 ? P( B ) ? 1 ? ?C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? ? 1 ? ? . ………… 5 分 2 2 2 2 ? 16 16 ?
(2) a, b, ? 的可能取值如下左表所示:

?
b

a


?i

i

?2

2

?i

1

1

2

2

i

1

1

2

2

?2

2

2

4

4

?
P

1
1 4

2
1 2

4
1 4

2

2

2

4

4

……………………………………………………………6 分 由表可知: P(? =1) ?

4 1 8 1 4 1 ? , P(? =2) ? ? , P(? =4) ? ? . 16 4 16 2 16 4

………………9 分

所以随机变量 X 的分布列为(如上右表) 所以 E (? ) = 1?

…………………………………… 10 分 ………………………………………………12 分

1 1 1 9 ? 2? ? 4? ? . 4 2 4 4

18.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD , EA ? PD ,
P H F E D G A B C

AD ? PD ? 2EA , F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点.
(1)求证: FG ? 平面 PED ; (2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小. (1)证明:? F , G 分别为 PB , BE 的中点,

? FG ? PE .

…………………………………1 分 …………………………………3 分

又? FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED ,

? FG ? 平面 PED .

……………………………………………………………5 分
z P H F E D G x A B C y

(2)解:? EA ? 平面 ABCD , EA ? PD ,? PD ? 平面 ABCD.

? AD, CD ? 平面 ABCD, ? PD ? AD , PD ? CD .

? 四边形 ABCD 是正方形,? AD ? CD .
以 D 为原点,分别以直线 DA, DC, DP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,设 EA ? 1.

……………………………………7 分

? AD ? PD ? 2EA ,

? D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2, 0,1) , ??? ? ??? ? PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .
? F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, ??? ? 1 1 ???? 1 ? F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) , GF ? (?1, 0, ) , GH ? (?2, 0, ). …… ………8 分 2 2 2 ??? ? ? ?n1 ? GF ? 0 (解法一)设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? , ???? n ? GH ? 0 ? ? 1
1 ? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? 2 即? ,令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1, 0) . ??2 x ? 1 z ? 0 1 1 ? ? 2

…… …………………10 分

??? ? ? n ? PB ?0 ? 2 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ? , ??? ? n ? PC ? 0 ? ? 2
即?

? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0
n1 ? n2 n1 ? n2
=

…… …………………12 分

所以 cos n1 , n2 =

2 . 2

……………………………………………13 分

π (或 45? ). …………14 分 4 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? (解法二) ? DH ? BC ? (0,1,1) ? (?2, 0, 0) ? 0 , DH ? PC ? (0,1,1) ? (0, 2, ?2) ? 0 ,
所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

???? ? ? DH 是平面 PBC 一个法向量.

…… ……………… …………………10 分

???? ???? ???? ??? ? 1 ? DC ? FH ? (0, 2, 0) ? (?1, 0, 0) ? 0 , DC ? FG ? (0, 2, 0) ? (1, 0, ? ) ? 0 , 2 ???? ? DC 是平面平面 FGH 一个法向量. …… ……………… …………………12 分 ???? ? ???? DH ? DC ???? ? ???? 2 2 ………13 分 ? cos DH , DC ? ???? ? , ? ???? ? 2 DH ? DC 2 2

? 平 面 FGH 与 平 面 PBC 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为
45? ).
… …………14 分

π (或 4

P Q F E A D G B C H

(解法三) 延长 AE 到 Q, 使得 AE ? EQ, 连 PQ, BQ.

? PD ? 2EA ? AQ , EA ? PD ,

?四边形 ADPQ 是平行四边形, PQ ? AD.

?四边形 ABCD 是正方形,? BC ? AD, PQ ? BC.
? F , H 分别为 PB , PC 的中点,? FH ? BC, FH ? PQ. ? FH ? 平面 PED , PQ ? 平面 PED , ? FH ? 平面 PED .
………7 分

? FH ? FG ? F , FH , FG ? 平面 ADPQ, ?平面 FGH ? 平面 ADPQ. ………9 分
故平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角与二面角 D ? PQ ? C 相等. … …10 分

? PQ ? CD, PQ ? PD , PD ? CD ? D, PD, DC ? 平面 PDC, ? PQ ? 平面 PDC.

? PC ? 平面 PDC,? PQ ? PC, ?DPC 是二面角 D ? PQ ? C 的平面角.
? AD ? PD, AD ? PD,??DPC ? 45?.

…12 分

… …………13 分 … …………14 分

π ?平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (或 45? ). 4
19. (本小题满分 14 分)

已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 记 f (n) ? 2an ?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ), n ? N .
?

(1)若数列 ? an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, 求 f (2014) ; (2)若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 ?a2 n ?1? , ?a2 n ? 均是公比为 4 的等比数列, 求证:对任意正整数 n , f (n) ? 0. 解: (1) ? 数列 ? an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, ………………………………1 分 ………………………………3 分

? ?n ? N? , an ? n, an?1 ? n ? 1, Sn ?

n(n ? 1) . 2

f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 )

? 2(n ? 1) ?

n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? ? n ?2 ? ? (n ? 1) ? 2 2 ? ?
……………………………5 分

? n(n ? 1)2 ? n(n ? 1)2 ? 0.
故 f (2014) ? 0.
? (2)由题意 ?n ? N , a2 n ?1 ? 1? 4
n ?1

………………………………………………………6 分

? 22 n ? 2 ,

………………………………………7 分 ……………………………………8 分

a2 n ? 2 ? 4n ?1 ? 22 n ?1.

故 an ? 2 .

n ?1

…………………………………………………9 分

?n ? N? , an ?1 ? 2n , Sn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1, f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ) 1? 2
……………………10 分 ……………………………11 分 ……………………………12 分 …

? 2n?1 (2n ? 1) ? n(2n?1 ? 2 ? 2n ) ? 2n (2n?1 ? 3n ? 2) ? 2n.
(证法一)当 n ? 1 时, f (1) ? 0 ; 当 n ? 2 时, 2
n ?1

? 4 ? (1 ? 1) n ?1 ? 4 ?1 ? (n ? 1) ? ? 4n ,

f (n) ? 2n (2n?1 ? 3n ? 2) ? 2n ? 2n (4n ? 3n ? 2) ? 2n ? 2n (n ? 2) ? 2n ? 2n ? 0.
………………………………………………………………………………………13 分 故对任意正整数 n , f (n) ? 0. (证法二)
n ?1 n?2 n n ?1 ?n ? N? , f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? 2 (2 ? 3n ? 5) ? 2n ? 2 ? ??? ? 2 (2 ? 3n ? 2) ? 2n ? ? n n?2 n ?1 ?2 ? ? 2(2 ? 3n ? 5) ? (2 ? 3n ? 2) ? ??2

………………………………………………………14 分

? 2n (6 ? 2n ? 3n ? 8) ? 2.
0 1 ? 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? 1? n ,

……………………………11 分

??n ? N? , f (n ? 1) ? f (n) ? 2n (6n ? 6 ? 3n ? 8) ? 2 ? 2n (3n ? 2) ? 2 ? 2n ? 2 ? 0 ,
数列 ? f (n)? 是递增数列.
2 ? f (1) ? 2( 2 ? ? 3

………………………………………………………12 分

2 ?) ?2

0 ,……………………… …………………………13 分

??n ? N? , f (n) ? 0.
20. (本小题满分 14 分)

……………………………………………………………………14 分

在平面直角坐标系中,已知点 F ( 2, 2) 及直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 C1 是满足下列两个条件的

?x ? 0 ? . 动点 P( x, y ) 的轨迹:① PF ? 2d , 其中 d 是 P 到直线 l 的距离;② ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 5 ?
(1) 求曲线 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与曲线 C1 、椭圆 C2 : 取值范围. 解: (1) PF ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点,求椭圆 C2 离心率 e 的 a 2 b2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 2( x ? y ) ? 4 ,

d?

x? y? 2 2



………………………………………………………2 分

由① PF ?

2d , 得:

x 2 ? y 2 ? 2 2( x ? y) ? 4 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 2( x ? y ) ? 2 ,
即 xy ? 1. ……………………………………………………………4 分

将 xy ? 1 代入②得: x ? 0, 解得:

1 1 5 ? 0, x ? ? , x x 2

1 ? x ? 2. 2 1 1 ( ? x ? 2). x 2
………………………………6 分

所以曲线 C1 的方程为: y ?

(2)(解法一)由题意,直线 m 与曲线 C1 相切,设切点为 M (t , ) , 则直线 m 的方程为 y ? ? ( )? 即y??

1 t

1 ? t ? 2. 2

1 t

1 x

x?t

? (x ? t) ? ?

1 (x ? t) , t2

1 2 ……………………………………………………7 分 x? . 2 t t 1 2 2 2 2 2 2 2 将 y ? ? 2 x ? 代入椭圆 C2 的方程 b x ? a y ? a b ,并整理得: t t
(b2t 4 ? a 2 ) x 2 ? 4a 2tx ? a 2 (4 ? b2t 2 )t 2 ? 0.
由题意,直线 m 与椭圆 C2 相切于点 M (t , ) ,则

1 t

? ? 16a 4t 2 ? 4a 2 (b2t 4 ? a 2 )(4 ? b 2t 2 )t 2 ? 4a 2b 2t 4 (a 2 ? 4t 2 ? b 2t 4 ) ? 0 ,
即 a ? b t ? 4t .
2 2 4 2

……………………………………………………………9 分



t2 1 2 ? 2 2 ? 1, 即 b2t 4 ? a 2 ? a 2b2t 2 . 联解得: b 2 ? 2 , a 2 ? 2t 2 . 2 a bt t

………10 分



1 ? t ? 2, 及 a2 ? b2 得 1 ? t ? 2. 2
2

故e ?

a 2 ? b2 1 ? 1? 4 , 2 a t
2

……………………………………………………12 分

得0 ? e ?

15 15 . , 又 0 ? e ? 1, 故 0 ? e ? 4 16 15 ). 4
………………………………14 分

所以椭圆 C2 离心率 e 的取值范围是 (0,

x2 y 2 1 1 (2)(解法二)设直线 m 与曲线 C1 : y ? ( ? x ? 2) 、椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点 a b x 2

t2 1 1 M (t , ), 则 2 ? 2 2 ? 1. …………………………………………………7 分 a bt t
由y?

1 1 知 y? ? ? 2 ; x x
2
2

2x x x y b bx b2 x a2 ? ? 由 2 ? 2 ? 1( y ? 0) 知 y ? b 1 ? 2 , y ? ? ?? 2 . a a b 2 a y x2 x2 2 1? 2 a 1? 2 a a
2

?

故?

1 b 2t 2 ? ? , a ? b 2t 4 . 2 1 t a2 t

…………………………………………………9 分

? t2 1 2 ? 2 ? 2 2 ?1 联解 ? a ,得 b 2 ? 2 , a 2 ? 2t 2 . ……………………………………………10 分 bt t ? a 2 ? b 2t 4 ?


1 ? t ? 2, 及 a2 ? b2 得 1 ? t ? 2. 2
2

故e ?

a 2 ? b2 1 ? 1? 4 , 2 a t
2

……………………………………………………12 分

得0 ? e ?

15 15 . , 又 0 ? e ? 1, 故 0 ? e ? 4 16 15 ). 4
………………………………14 分

所以椭圆 C2 离心率 e 的取值范围是 (0, 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f n ( x) ?

x2 ? 2x ? a ? ,其中 n ? N , a ? R, e 是自然对数的底数. nx e

(1)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的零点; (2)若对任意 n ? N , f n ( x) 均有两个极值点,一个在区间 (1, 4) 内, 另一个在区间 ?1, 4 ? 外,求 a 的取值范围; (3)已知 k , m ? N , k ? m, 且函数 f k ( x) 在 R 上是单调函数,探究函数 f m ( x) 的单调性.
? ?

x 2 ? 2 x ? a x 2 ? 2 x ? a ( x 2 ? 2 x ? a)(e x ? 1) 解: (1) g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? , ? ? ex e2 x e2 x

? ? 4 ? 4a
① 当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有 1 个零点: x1 ? 0. ② 当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有 2 个零点: x1 ? 0, x2 ? 1. ③ 当 a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 2. ④ 当 a ? ?1, a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有三个零点: ………………………1 分 ……………………2 分 ……………………3 分

x1 ? 0, x2 ? 1 ? a ? 1, x3 ? 1 ? a ? 1.
(2) f n? ( x) ?

…………………………………………4 分

(2 x ? 2)enx ? n( x 2 ? 2 x ? a)e nx ?nx 2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 ? . e2 nx enx
2

…………5 分

设 g n ( x) ? ?nx ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 , g n ( x) 的图像是开口向下的抛物线. 由题意对任意 n ? N , g n ( x) ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 , 且 x1 ? ?1, 4 ? , x2 ? ?1, 4?. 则对任意 n ? N , g n (1) g n (4) ? 0 ,即 n ? (a ? 1) ? n ? ? a ? (8 ? ) ? ? 0 , n 又任意 n ? N , 8 ?
? ? ?

? ?

6 ? ?

………………7 分

6 6 6 关于 n 递增, 8 ? ? ?1 ,故 ?1 ? a ? (8 ? ) min , ?1 ? a ? 8 ? 6 ? 2. n n n
……………………………………………9 分

所以 a 的取值范围是 ? ?1, 2 ? .

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? ? 0 ,又函数 f k ( x) 在 R 上是单调函数,故 (3)由(2)知, 存在 x ? R, f k ( x) ? ekx
函数 f k ( x) 在 R 上是单调减函数,
2

……………………………………10 分
2 2

从而 ? k ? 4(k ? 1) ? 4k (ka ? 2) ? 4(k a ? k ? 1) ? 0, 即 a ? ?(1 ?

1 ). k2

……11 分

1 ? 4(k 2 ? m2 ) ? 2 2 . 所以 ? m ? 4(m ? 1 ? m a) ? 4 ? m ? 1 ? m (1 ? 2 ) ? ? k ? k2 ?
2 2

由 k , m ? N , k ? m, 知 ? m ? 0. 即对任意 x ? R, f k ? ( x) ?

?

…………………………………………13 分

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ?0 ekx
…………………………………………14 分

故函数 f m ( x) 在 R 上是减函数.


...深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题(含答....doc

广东省华附省实广雅深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题(含答案) - 2014 届高三上学期期末华附、省实广雅、深中四校联考 理科数学 本试卷分...

...深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题 Word....doc

广东省华附省实广雅深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题 Word版含答案(1)_数学_高中教育_教育专区。华附、省实广雅、深中四校 2014 届高三上...

...深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题.doc

广东省华附省实广雅深中四校2014届高三上学期期末联考数学理试题_数学_高中教育_教育专区。广东省华附省实广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学...

...广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学文试题....doc

广东省华附省实广雅深中四校2014届高三上学期期末联考数学试题_数学_高中教育_教育专区。2014 届高三上学期期末华附、省实广雅、深中四校联考 文科数学...

...广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学理.doc

华附省实广雅深中四校2014届高三上学期期末联考数学理_数学_高中教育_教育专区。华附省实广雅、深中四校历届高三上学期期末联考数学 ...

广东省华附、广雅、省实、深中2015届高三上学期期末四....pdf

广东省华附、广雅、省实、深中2015届高三上学期期末四校联考 数学(理科)试题 PDF版含答案 - 华师附中,广雅中学,广东省实验中学,深圳中学,广东省华附、广雅、省...

...广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题 Word....doc

【整理 】广东省华附省实深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题 Word版含答案_语文_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅...

...广雅、省实、深中高三上学期期末四校联考理科综合试....doc

2017-2018届广东省华附广雅省实深中高三上学期期末四校联考理科综合试题及答案_理化生_高中教育_教育专区。2017-2018 届高三上学期期末华附、省实广雅、...

...广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题.doc

广东省华附省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题_数学_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 数 学(...

...深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题.doc

广东省华附省实深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题_数学_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 数 学(理科)...

...广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题_免费....doc

广东省华附省实深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题 隐藏>> 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中...

...深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学(理)试....doc

广东省华附省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学(理)试题_高考_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 数 ...

...深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理.doc

广东省华附省实深中广雅四校 2013 届高三上学期期末联考 数学(理)试题第一部分选择题(共 40 分) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 ...

...深中、广雅四校高三上学期期末联考数学理试题.doc

2013广东华附省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考数学理试题_数学_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 数学(理科)...

...深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学文试题....doc

广东省华附省实深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学试题(含解析)_数学_高中教育_教育专区。高中通用理科资料 华附、省实广雅深中 2013 届高三...

广东省华附、广雅、省实、深中2015届高三上学期期末四....doc

广东省华附广雅省实、深中2015届高三上学期期末四校联考理综试题含答案_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 理科...

...省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考理综....doc

广东省华附省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考理综试题_理化生_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 理科综合...

...省实、深中、广雅四校201届高三上学期期末联考试题(....doc

【解析版】广东省华附省实深中广雅四校201届高三上学期期末联考试题(语文)

广东省深中省实华附广雅2011届高三上学期期末四校联考....doc

深圳中学 广东广雅中学 2011 届高三上学期期末四校联考 华南师大附中 广东省实验中学 数学试题(理)本试卷分选择题和非选择题两部分,共 5 页,满分 150 分,考试...

...省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考生物....doc

广东省华附省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考生物试题_理化生_高中教育_教育专区。2013 届高三上学期期末华附、省实广雅深中四校联考 理科综合...