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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 7 节 曲 线与方程课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 曲线与方程 直接法求轨迹(方程) 定义法求轨迹(方程) 相关点法求轨迹(方程) 参数法求轨迹(方程) 题号 1 4、9、12、13 2、5、6、11、15、16、17 7、10、14 3、8

基础过关 一、选择题 1.方程(x +y -4)
2 2

=0 的曲线形状是(

C )

解析:原方程可化为
2

或 x+y+1=0.
2

显然方程表示直线 x+y+1=0 和圆 x +y -4=0 在直线 x+y+1=0 的右上方部分,故选 C. 2. △ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程 是( C ) (B) - =1

(A) - =1

(C) - =1(x>3) (D) - =1(x>4) 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,

所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 - =1 (x>3).

3.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足

=

λ

1



2

(O 为坐标原点),其中λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( (D)双曲线

A )

(A)直线 (B)椭圆 (C)圆

解析:设 C(x,y),则

=(x,y),

=(3,1),

=(-1,3),





1



2

,



又λ 1+λ 2=1,

∴x+2y-5=0,表示一条直线. 4.动点 P 为椭圆 + =1 (a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2 为椭圆的两个焦点, 动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为( (A)椭圆 (C)抛物线 (B)双曲线 (D)直线 D )

解析:如图所示,设三个切点分别为 M、N、Q.

∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a, ∴|F2N|=a-c,

∴N 点是椭圆的右顶点, ∴CN⊥x 轴, ∴圆心 C 的轨迹为直线. 5.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直线 相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为(
2 2

A )

(A)x - =1 (x>1) (B)x - =1 (x<-1)

(C)x + =1 (x>0) (D)x - =1 (x>1) 解析:设另两个切点为 E、F, 如图所示,则|PE|=|PF|,

2

2

|ME|=|MB|, |NF|=|NB|. 从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|, 所以 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支.a=1,c=3, ∴b =8. 故方程为 x - =1 (x>1).故选 A. 6.点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M,则 点 M 的轨迹是( A ) (A)圆 (C)双曲线 (B)椭圆 (D)抛物线
2 2

解析:如图,延长 F2M 交 F1P 延长线于 N.

∵|PF2|=|PN|,

∴|F1N|=2a. 连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线, 则|OM|= |F1N|=a. ∴点 M 的轨迹是圆. 7.(2014 瑞安十校模拟)点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) (A)(x-2) +(y+1) =1 (C)(x+4) +(y-2) =4
2 2 2 2 2 2

(B)(x-2) +(y+1) =4 (D)(x+2) +(y-1) =1
2 2

2

2

解析:设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y), 则

解得 又(2x-4) +(2y+2) =4,即(x-2) +(y+1) =1. 8.(2014 东营模拟)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点 D,E 分 别在线段 OC,AB 上运动,且 OD=BE,设 AD 与 OE 交于点 G,则点 G 的轨迹方程是( (A)y=x(1-x)(0≤x≤1) (B)x=y(1-y)(0≤y≤1) (C)y=x (0≤x≤1) (D)y=1-x (0≤x≤1) 解析:设 D(0,λ ),E(1,1-λ )(0≤λ ≤1), 所以线段 AD 方程为 x+ =1(0≤x≤1),线段 OE 方程为 y=(1-λ )x(0≤x≤1) ,
2 2 2 2 2 2

A )

联立方程组 ≤x≤1). 二、填空题

(λ 为参数),消去参数λ 得点 G 的轨迹方程为 y=x(1-x)(0

9.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程 是 解析:设 P(x,y), .

∵△MPN 为直角三角形, ∴|MP| +|NP| =|MN| , ∴(x+2) +y +(x-2) +y =16, 整理得,x +y =4. ∵M,N,P 不共线, ∴x≠±2, ∴轨迹方程为 x +y =4 (x≠±2). 答案:x +y =4 (x≠±2) 10.P 是椭圆 + =1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

点,

=

+

,则动点 Q 的轨迹方程是

.

解析:

=

+

,

如图,

+

=

=2

=-2

,

设 Q(x,y), 则 ==- (x,y)=(- ,- ),

即 P 点坐标为(- ,- ), 又 P 在椭圆上,

则有

+

=1,



+

=1.

答案:

+

=1

11.设 x,y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,则点 M(x,y)的轨迹方程为 .

解析:由已知得 a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有

+

=8①,

由①式知动点 M(x,y)到两定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为一常数,满足椭圆的定义,故 M 点轨迹为以 F1、F2 为焦点的椭圆,椭圆的长半轴长 a=4,所以短半轴长 b=2 ,故其轨迹方程

为 + =1.

答案: + =1 三、解答题 12.(2015 长春高三调研)已知平面上的动点 P(x,y)及两个定点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 且 k1k2=- . (1)求动点 P 的轨迹 C 方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同两点 M,N,当 OM⊥ON 时,求 O 点到直线 l 的距离(O 为 坐标原点). 解:(1)设 P(x,y), 由已知得
2

?
2

=- ,

整理得 x +4y =4, 即 +y =1(x≠±2). (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2)
2

消去 y 得(4k +1)x +8kmx+4m -4=0,

2

2

2

由Δ =(8km) -4(4k +1)(4m -4)>0, 得 4k +1-m >0. x1+x2=,
2 2

2

2

2

x1?x2= ∵OM⊥ON,

,

∴x1?x2+y1?y2=0, 即 x1?x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1?x2+km(x1+x2)+m =0, ∴(1+k )?
2 2 2

+km?(-

)+m =0,

2

∴m = (k +1)满足 4k +1-m >0,

2

2

2

2

∴O 点到 l 的距离为 d=

,

即d=

2

= ,

∴d=

.

13.(2013 高考陕西卷)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点. (1)解:如图所示,设动圆圆心 O1(x,y),

由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时,

过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H, 则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= ,

又|O1A|=

,


2

=

,

化简得 y =8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y =8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2),
2 2

将 y=kx+b 代入 y =8x 中,得 k x +(2bk-8)x+b =0, 其中Δ =-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x1+x2= ,①

2

2 2

2

x1x2= ,② 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, 所以 =,

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③,得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0,
2 2

∴k=-b,此时Δ >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1), ∴直线 l 过定点(1,0). 能力提升 14.在平行四边形 ABCD 中,∠BAD=60°,AD=2AB,若 P 是平面 ABCD 内一点,且满

足:x

+y

+

=0(x,y∈R).则当点 P 在以 A 为圆心, |

|为半径的圆上时,实数 x,y 应

满足关系式为( D ) (A)4x +y +2xy=1 (B)4x +y -2xy=1 (C)x +4y -2xy=1 (D)x +4y +2xy=1 解析:如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设 AD=2.
2 2 2 2 2 2 2 2

据题意,AB=1,∠ABD=90°, BD= . ),

∴B、D 的坐标分别为(1,0)、(1,



=(1,0),

=(1,

).

设点 P 的坐标为(m,n),



=(m,n),

则由 x

+y

+

=0,

得:

=x

+y

,

∴ 据题意,m +n =1,
2 2

∴x +4y +2xy=1. 15.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹方程为 .

2

2

解析:设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R, 由于△ABP 为正三角形, ∴P 到 y 轴的距离 d= R,

即|x|= R.

而 R=|PF|=

,

∴|x|= ?
2 2 2

.

整理得(x+3a) -3y =12a , 即 =1.

答案:

-

=1

16.(2014 高考广东卷)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( (1)求椭圆 C 的标准方程;

,0),离心率为 .

(2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方 程. 解:(1)依题意得,c= 因此 a=3,b =a -c =4, 故椭圆 C 的标准方程是 + =1. (2)若两切线的斜率均存在,设过点 P(x0,y0)的切线方程是 y=k(x-x0)+y0,
2 2 2

,e= = ,

则由

得 +
2 2

=1,
2

即(9k +4)x +18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0) -4]=0, 因为直线与椭圆 C 相切, 所以Δ =[18k(y0-kx0)] -36(9k +4)[(y0-kx0) -4]=0, 整理得( -9)k -2x0y0k+ -4=0. 又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为 k1,k2, 于是有 k1k2=-1, 即 =-1,
2 2 2 2

即 + =13(x0≠±3).

若两切线中有一条斜率不存在,则易得







经检验知均

满足 +

=13.
2 2

因此,动点 P(x0,y0)的轨迹方程是 x +y =13. 探究创新 17.(2014 河南郑州一模)如图,△PAB 所在的平面α 和四边形 ABCD 所在的平面β 互相垂直, 且 AD⊥α ,BC⊥α ,AD=4,BC=8,AB=6,若 tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点 P 在平面α 内的轨迹是( B )

(A)圆的一部分 (C)双曲线的一部分 解析:由题意可知 +2 则 PA+PB=40>AB=6,

(B)椭圆的一部分 (D)抛物线的一部分 =10,

又因 P、A、B 三点不共线, 故点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆的一部分.


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