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2012年新课标版高考题精选--直线、平面垂直的判定及其性质


历届高考题精选----直线、平面垂直的 判定及其性质
一、选择题 1.(2012·浙江高考文科·T5)设 l 是直线, ? ,β 是两个不同的平面( A.若 l ∥ ? , l ∥β ,则 ? ∥β C.若 ? ⊥β , l ⊥ ? ,则 l ⊥β B.若 l ∥ ? , l ⊥β ,则 ? ⊥β D.若 ? ⊥β , l ∥ ? ,则 l ⊥β )

【解题指南】可由线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选 B. 若 l ∥ ? , l ∥β ,则 ? 、β 可能相交;若 l ∥ ? ,则平面 ? 内必存 在一直线 m 与 l 平行,又 l ⊥β ,则 m ⊥β ,又 m ? ? ,故 ? ⊥β .故 B 对.若 ? ⊥ β , l ⊥ ? ,则 l ∥β 或 l ? β ,故 C 错;若 ? ⊥β , l ∥ ? , 则 l 与β 关系不确定, 故 D 错. 二、填空题 2.(2012·辽宁高考理科·T16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半 径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 ________. 【解题指南】利用条件,建立关于正三棱锥底面正三角形边长 a 的方程,求 a , 然后求三棱锥的高 h,则 R 减去 h 即为所求. 【解析】 由于 PA,PB,PC 两两垂直, 则点 P 在底面 ABC 上的射影就是正三角形 ABC 的中心 M,设正三角形 ABC
tP A M ? 棱锥的高 h, 在R
3 2 AM ? a a 3 a 的边长为 ,则三棱锥的侧棱长为 2 , ,三 PA2 ? PM 2 ? AM 2 ? ( 2 2 3 2 6 a) ? h2 ? ( a) ? h ? a 2 3 6

中, 由勾股定理得

再设球心为 O,则 OM ? 底面ABC ,且 OM ? 3 ? h

-1-

在 Rt?OAM 中,由勾股定理得 又
h? 6 a 6 ,则解得 a ? 2 2 ,

OA2 ? OM 2 ? AM 2 ? ( 3) 2 ? ( 3 ? h) 2 ? (

3 2 a) 3

故球心到截面 ABC 的距离为 【答案】
3 3

3?h ? 3?

6 6 3 a? 3? ?2 2 ? 6 6 3

.

三、解答题 3.(2012·浙江高考文科·T20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点.

1 EF∥A1D1; (1)证明:○ 2 BA1⊥平面 B1C1EF; ○

(2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值. 【解题指南】考查线面间的位置关系,同时要注意棱柱性质的运用.
1 由 AD∥BC, BC ∥ B1C1 可得 AD∥ B1C1 , 【解析】 (1)○

又 B1C1 ? 平面AA1D1D ,AD ? 平面AA1D1D 所以 B1C1 ∥ 平面AA1D1D 又平面 B1C1E ? 平面AA1D1D = EF , 所以 B1C1 ∥ EF ,又 A1D1∥ B1C1 ,所以 EF∥A1D1
-2-

2 在 Rt?FA B 和 Rt?A B B 中 ○ 1 1 1 1

FA1 A1B1 1 ? ? A1B1 BB1 2

所以 Rt?FA1B1 ? Rt?A1B1B , ∴ ?A1FB1 ? ?BA1B1 ∵ ?A1FB1 ? ?A1B1F ? 90? ∴ ?BA1B1 ??A1B1F ? 90? ∴ BA1 ? B1F 由 AD⊥AB 可得 B1C1 ? A1B1 ,又 B1C1 ? BB1 ∴ B1C1 ? 面A1B1BA, 又 BA1 ? 面A1B1BA ,可得 BA1 ? B1C1 ,又 BA1 ? B1F ,且 B1F ? B1C1 ? B1 ∴BA1⊥平面 B1C1EF. (2) 设 A1B ? B1F =O ,连结 C1O.由(1)可知 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角为 ?BC1O 在 Rt?A1B1B 中, BB12 ? BO ? BA1 ,即 22 =BO ? 6 解得 BO =
4 BO 30 ? 6 ? ∴ sin ?BC1O ? BC1 2 5 15

4 6

∴BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值为

30 . 15

4.(2012·北京高考文科·T16)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分 别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的 位置,使 A1F⊥CD,如图 2.

-3-

A

A1 D F C B C E D F 图1 图2 E B

(1) 求证:DE∥平面 A1CB; (2) 求证:A1F⊥BE; (3) 线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 【解题指南】折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化. 第(1)问证明线面平行,可以证明 DE//BC;第(2)问证明线线垂直转化为证 明线面垂直即证明 A1F⊥平面 BCDE;第(3)问取 A1B 中点 Q,再证明 A1C⊥平面 DEQ. 【解析】 (1)? D, E 分别是 AC,AB 的中点,? DE / / BC , 又 ∴DE//平面 A1BC.

1 中点 P,连结 DP,PQ,QE.则 PQ//BC,? PQ / / DE . (3)取 A1B 中点 Q, AC

由(2)知 又∵PQ⊥A1C.∵A1D=DC

? DE ? AC 1 .

-4-

∴△A1DC 是等腰三角形. 又∵点 P 为 A1C 的中点,∴A1C⊥PD. 即 A1C⊥平面 DEQ. 5.(2012·江苏高考·T16)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? A1C1 , D ,E
F 为 B1C1 的中点. CC1 上的点(点 D 不同于点 C) 分别是棱 BC , ,且 AD ? DE ,
A1 B1 F C1 E

A B D

C

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE. 【解题指南】 (1)关键在平面 ADE 与平面 BCC1 B1 中的一个平面上找一条直线与另 一个平面垂直. (2)关键在平面 ADE 内找一条直线与直线 A1 F 平行.
CC1 上的点(点 D 不同于点 C) 【解析】 (1) D ,E 分别是棱 BC , ,且 AD ? DE ,

又因三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,所以有 BB1 ? 平面 ADC ,即有 AD ? BB1 又在平面 BCC1B1 内 BB1 与 DE 必相交, 所以 AD ? 平面 BCC1B1 又 AD ? 平面 ADE 所以平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 . (2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? A1C1 ,所以有 AB ? AC
-5-

又由(1)知 AD ? 平面 BCC1B1 所以 AD ? BC 所以 D 为边 BC 上的中点, 连接 DF 得 AA1FD 为平行四边形,故 A1F / / AD 又 AD ? 平面 ADE ,A1F ? 平面 ADE, 所以直线 A1F // 平面 ADE. 6.(2012·广东高考文科·T18) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD , AB / /CD , PD ? AD , E 是 PB 的中 点, F 是 CD 上的点,且
DF ? 1 AB 2 , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高.

(1)证明: PH ? 平面ABCD ; (2)若 PH ? 1,AD ? 2,FC ? 1, 求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证:
AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E

是 PB 的中点知,V 三棱锥 E-BCF= V 三棱锥 P-BCF,由(1)知,PH

1 2

为三棱锥 P-BCF 的高,V 三棱锥 P-BCF 可求.(3)解决本题的第一个难点是证 AB ? EF , 通过取 AB 的中点 M,证 AB ? 平面EFM 即可.第二个难点是证 EF ? PB ,需证
PF ? BF ,进一步需证: Rt ?FMB ? Rt ?PDF 即可.

-6-

【解析】(1)? AB ? 平面PAD,PH ? 平面PAD ,
? AB ? PH

,又? PH ? AD 且 AD ? AB ? A

? PH ? 平面ABCD .

1 1 1 1 2 V三棱锥E ? BCF ? V三棱锥P? BCF ? ? ? ?1? 2 ?1 ? 2 2 3 2 12 . (2 )

(3)连接 PF, HF, 取 AB 的中点 M, 连接 FM, EM, 因为 E 为 PB 的中点, 所以 EM//PA, 四边形 DFMA 为平行四边形,所以 FM//AD,又因为 AB ? 平面PAD ,所以
AB ? AD, AB ? PA,

所以 AB ? FM , AB ? EM , 且EM ? FM ? M ,所以 AB ? 平面EFM , 所以 AB ? EF . 又因为 CD // AB ,所以 CD ? 平面PAD, CD ? PD ,所以 Rt ?FMB ? Rt ?PDF , 所以 PF ? BF ,又因为 E 为 PB 的中点,所以 EF ? PB, 又 PB ? AB ? B , 所以 EF ? 平面PAB . 7.(2012·山东高考文科·T19)如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正 三角形, CB ? CD, EC ? BD .

(Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【解题指南】 (1)先取 BD 中点 O,连接 OC,OE;证明 OE 是 BD 的垂直平分线即
-7-

可.(2)本题考查线面的平行关系,可取 AB 中点 N,连接 平面 MND∥平面 BEC 来证. 【解析】(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知, CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,CO∩CE=C,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .

利用

由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC,又∵MN∩DN=N,BE∩BC=B, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC.

-8-


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