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高中数学圆锥曲线问题解题技巧


3 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) (2005· 全国Ⅰ卷文科)已知双曲线 2 a

(

)
3 A. 2
y

3 B. 2

6 C. 2

2 3 D. 3


1

o

θ

b · F2 x

a x?? c
2 2

2

1 cos? = e
2 2

c a ?b e ? 2 ? 2 =1+k2. a a
(k为双曲线渐近线的斜率.)

(2004?全国东北理科卷)设双曲线的焦点在x 1 轴上,两条渐近线为y =± x,则该双曲线的离 2 心率e=( C ) 5 5 A. 5 B. 5 C. D. 4 2

c a ?b e ? 2 ? =1+k2. ? e2=5/4. 2 a a
2 2 2 2

其中k为双曲线渐近线的斜率.

3 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) (2005· 全国Ⅰ卷文科)已知双曲线 2 a

(

D )
3 A. 2
y

3 B. 2

6 C. 2

2 3 D. 3

F1·

o



b · F2 x

a 3 ? c 2

1 k? a 2

}

2 ?k? ; 3e

将k2=e2-1代入上式, 整理得
9e4-9e2-4=0 ?e2=4/3.

x y 已知F1、F2为双曲线 2 ? 2 ? 1(a > 0, a b b> 0)的焦点,过F2作垂直于 x 轴的直线交

2

2

双曲线于P, 且∠PF1F2=30? (如图), 求双
y

曲线的渐近线方程.
b2 PF2 ? , F1F2 ? 2c, a PF2 1 ? . F1F2 3
F1 o

P F2 x

1 ? ? , 2 2 3 2a a ? b

b

2

3k ? 4k ? 4 ? 0
4 2

4

x y 已知F1、F2为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a > 0, a b
b> 0)的焦点,过F2作垂直于 x 轴的直线交双曲 线于P, 且∠PF1F2=30? (如图), 求双曲线的渐近 线方程. y
P

2

2

|PF1|=2|PF2|, exP+a=2(exP-a), exP=3a,
F1 o F2 x

即 ec =3a, e2=3, ?k2=e2-1=2. y=± 2 x.

1 1 cos ? ? ? ? tan ? ? ? 2. e 3

x2 y 2 (2005· 福建理科) 已知F1、F2是双曲线 a 2 - b 2

=

1(a>0, b>0)的两焦点, 以线段F1F2为边作正三角
形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上,则双曲

线的离心率是 (
A. 4+2 3
y

)

B. 3 -1

3 ?1 C. 2

D. 3+1

M

由已知, |AF1|=c, |AF2|= 3 c,
A30? 即 ex1-a=c, ex1+a= 3 c,

F2

o x F x 1 1

两式相减:2a=( 3 -1)c,

两边同除以a得 e=

2 ? 3 ? 1. 3 ?1

x y (2005· 福建理科)已知F1、F2是双曲线 2 ? 2 ? 1 a b
(a > 0,b> 0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正三 角形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上, 则双曲

2

2

线的离心率是 (
A. 4+2 3

D

)
C.
3 ?1 2

B. 3 -1

D. 3 +1
y M N F2 o F1 x

因为|NF1|=exN-a=c, 又|NF2|= 3 |NF1|, 即exN+a= 3 c ? 2exN=( 3+1)c

将xN=c/2代入即得.

要点提炼:设双曲线的离心率为e, 一条有
较小倾斜角? 的渐近线的斜率为k,则双曲线的 如下性质在解题时十分有用: ①过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线 的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长; ②?=arccos(1/e); ③ e2=k2+1. 此外, 双曲线的焦半径公式:r1 =|ex0+a|,r2=|ex0-a| 在处理涉及双曲线的 焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记

x2 2 (1994· 全国)设F1, F2为双曲线 ? y ? 1的两 4 个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90? 则

△F1PF2的面积是 ( A. 1 B.

A )
5 2
C. 2 D.

5

设 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 ? r ? r2 1
2 2

? ?4

? r1 ? r2 ? 2r1r2 ? 16. 2 2 2 ? r1 ? r2 ? (2c) ? 4 ? 5 ? 20, ? r1 ? r2 ? 2, 1 ? S?F1PF2 ? r1 ? r2 =1. 设而不求 2

S ?PF1F2

1 ? F1 F2 ? yP 2
F1

y

以F1F2为直径的圆 的方程是:

o

P F2

x

x2+y2=5,

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? 1 1 2 ? y ? ? yP ? . ? 2 5 x ? y2 ? 5 5 ? ?
? S?PF1F2 1 1 1 ? F1 F2 ? yP ? ? 2 5 ? ? 1. 2 2 5

y2 (2005· 全国Ⅲ卷)已知双曲线 x 2 ? ? 1的焦点 2 为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1· 2=0,则点M MF

到 x轴的距离为(
4 A. 3
y x2+y2=3

C

) C.2 3
3

5 B. 3

D. 3

MF1· 2=0?MF1⊥MF2 MF
M F2
x

F1

o

{

4 x2+y2=3, 2 ? y P= 3 . 2x2-y2=2

平几知识的应用

0,b> 0)的焦点,M为双曲线上的点, 若∠F1MF2 =90? 则△F1MF2的面积等于________. ,

x y 一般化 已知F 、F 为双曲线 ? 2 ? 1(a > 1 2 2 a b

2

2

{

x2+y2=c2, ? b2x2-a2y2=a2b2 y=b2/c

c2y2=b2(c2-a2)=b4
y

?

?

S△F1MF2=b2.

F1

o

M F2

x

y2 (2005· 全国Ⅲ卷)已知双曲线 x 2 ? ? 1的焦点 2 为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1· 2=0,则点M MF

到 x 轴的距离为( C
4 A. 3
y

) C.2 3
3

5 B. 3

D. 3

S△F1MF2=b2=2
M F2
x

F1

o

设点M到 x 轴的距离为d, 则 cd=S
2 ?d= . 3

将直角坐标系中的曲线平移(或平 移坐标轴),曲线上任意两点之间的距 离(弦长)、两条定弦之间的夹角、

以及曲线上任一点处的切线的斜率,
都是平移变换下的不变量.

y2=a(x-3) (1995?全国)直线l过抛物线y2=a(x+1) (a>0)的焦点, 并且与x轴垂直, 若l被抛物线 截得的线段长为4, 则a = 4 .

直线l过抛物线 y2=4(x+1)的焦点, 并且 与x轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长 4 为 .

(2003 · 新课程卷)设a>0,f(x)=ax2+bx+c, 曲 线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的倾斜角的 距离的取值范围为 (
? 1? A. ?0, ? ? a? ? ? ? ,则点P到曲线y=f(x)对称轴 取值范围为 ?0, ? ? 4?

B )

? 1? ? b ? B. ?0, ? C. ?0, ? D. ? 2a ? ? 2a ?

? b ?1 ? ?0, 2a ? ? ?

∵f ?(x)=2ax, ∴曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处 的切线的斜率 k=2ax0.

1 . 依题意,0≤k≤1,即 0≤2ax0≤1. ? 0 ? x0 ? 2a

证明:点P处的切线斜率为1
y=ax2
y

1 x ? y a
2

F
o

P
x

1 y=4a
2a

∵ y ?=2ax,

∴ y ?| x ? 1 =1.

证明:点P处的切线斜率为1

法一:由 y2=2px ? 2yy?=2p,

p ? y? ? , ? y ? y ? p ? 1. y
法二:由 y ? 2 px ?

y

P

o

F
x

1 2p y? ? ? 2 2 px

? y? x ? p ? 1.
2

回 顾
y

A

y2=2px
o

F

x

∣PF∣= p
p x?? 2

命题1 设抛物线y2=2px(p>0)的通径为PQ,则

抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为1和-1,
x=-

且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.
y P M
O

F Q

x

x= -

p 2

y2=18x

y2=8(x-6)

(2004 ?全国东部卷) 设抛物线y2=8x的准线与x 则直线l的斜率的取值范围是 (
1 1 A. [? , ] B. [-2,2] 2 2
y

轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,
) C

P
o

C. [-1,1]

D. [-4,4]
F x

已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上的 任一点,过点F且斜率为1的直线与C交于A、B 两点,若?PAB的面积为4 2,则这样的点P有 ( C ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 AB:x-y-1=0 ? 求得|AB|=8 ; 取点M(1,2) ? 点M到直线AB的距离为 2 ? ?MAB的面积为4 2
y B

M
o F A x

引申1
y

椭圆通径一个端点处切线的斜率

P F1 o

引申2

b 2 2 a ?x , 由 y? a b 1 ?2 x ? ? . x 得 y? ? a 2 a2 ? x2 b c ? y? x ?? c ? ? ? e. a a2 ? c2

双曲线通径端点处切线的斜率为?e.

x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 引申3 a b 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为:

2

2

b x0 x0 x y0 y ? 2 ? 1; k切 ? f ?( x0 ) ? ? 2 . 2 a y0 a b
x y 引申4 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为:
2 2

2

x0 x y0 y ? 2 ? 1; 2 a b

b x0 k切 ? f ?( x0 ) ? 2 . a y0

2

引申5
过抛物线y2=2px上一点P (x0, y0)的切 线方程为: y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )

p k切= y0

命题2 若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线 的通径,则曲线在点P、Q处的切线的斜率 为e和-e,且切线通过相应准线与x轴的交

点.
或表述为:过焦点在x轴上的圆锥曲线 的准线与x轴的交点,且斜率为e(或-e)的 直线,与圆锥曲线相切,且切点为圆锥曲 线一条通径的端点.

作离心率为1/2的椭圆
y

o

x

作离心率为2的双曲线 |OF|=c, |FA|=b, |OA|=a.
c· |AB|=2ab
A y

2ab |AB|= c 2b . = e

o B

F

x

(2004?湖南理科卷)如图,过抛物线x2=4y的对
称轴上任一点P(0,m) (m>0)作直线与抛物线交于

A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
( I ) 设点P分有向线段AB所成的比为?,证明

QP⊥(QA-?QB);
( II ) 设直线AB的方程是

y B o Q P

A x

x-2y+12=0,过A、B两点
的圆C与抛物线在点A处有

共同的切线,求圆C的方程.

AP=(-x1, m-y1), PB=(x2, y2-m), 由已知,
x1=-?x2, y1-m=-?(y2-m). 即
2 x12 ? ? 2 x2 ,

y

y1 ? m ? ? ? 2 ? y2 ? m ? . ?
2 2

P
B (x2,y2)

A (x1,y1)

因为A、P、B共线, 且AP=?PB. 1 ? 1 ∴QP= QA+ QB= (QA+?QB). 1? ? 1? ? 1? ? 欲证QP⊥(QA-?QB), 只须证QP ?(QA-?QB)=0, 即证|QA|2-?2|QB|2=0. 而 |QA|2-?2|QB|2=[

o

x Q(0,-m)

x

2 2]-?2[ 2 +(y +m)2] 2 1 +(y1+m) 2

x

光的反射
基本原理:
(Ⅰ)光的传播遵循“光行最速原理”; (Ⅱ)光的反射应满足:“入射角=反射角”; 入射线与反射线关于法线对称; 由此推得

投影线为水平线时,
k入射线+k反射线=0.

始点

光的反射
基本技巧:

?

终点
?

? ?

始点?终点的对称点 ——入射线; 始点的对称点?终点 ——反射线.

(1989· 全国) 自点A( -3, 3 )发出的光线 l 射到x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切, 求光线 l 所在直线的方程. (x-2)2+(y-2)2=1
y

A.
1 -1 o 1

.
x

始点的对称点?终点 -——反射线; 终点的对称点?始点 -——入射线.

A?.??

.

x2 y 2 (2005?江苏) 点P(-3,1)在椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? a b

的左准线上, 过点P且方向为a=(2,-5)的光线, 经
直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆

的离心率为 (
A. 3 3
1 B. 3

)
2 C. 2
1 D. 2

解法一:
依题意, 入射线方程为
?

y P(-3,1) N F(-c,0) ? o

a ?3 c
x

2

5 y-1=- (x+3) 2

M

9 令y=-2, 得M(- , -2); e? l 5 13 ?F(-1,0) ? a2=3 令y=0, 得N(,0). 5

3 3

解法二:
点F关于直线y=-2的 对称点为Q(-c,-4 ).
y P(-3,1) N F(-c,0) ? o

a ?3 c
x

2

5 依题意, kPQ=- , 2

?

?c=1 ? a2=3

M

3 ? e? 3

Q l

要点提炼:
光反射的理论依据,是物理学中的光行最速 原理;数学中处理这类问题的基本方法是运用

平面几何中的对称性,这就是“通法”. 只有把
握住“通法”,不论题目如何变化,你才能在

解题时得心应手,游刃有余.

(2004?江苏卷)已知椭圆的中心在原点,离心 1 率为 ,一个焦点是F(-m,0) (m是大于零的常 2 数).
(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F,Q的直 线l与y轴交于点M,若|MQ|=2|QF|,求直线l的 斜率.

x2 y2 ? 2 ? 1. (Ⅰ) 2 4m 3m

x y ? 2 ? 1. (Ⅰ) 2 4m 3m
|MQ|=2|QF|

2

2

y Q
F o

M

x

(Ⅱ)分析: 由题设,|xM-xQ|=2|xQ-xF|, 2 即|xQ|=2|xQ+m|, 即xQ=-2m 或 xQ=- m. 3

{ y=k(x+m)

3x2+4y2=12m2,

?(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0

2 令x=-2m ,得k=0; 令x=- m ,得k=±2 6. 3

(2004· 东北理科卷) 给定抛物线C:y2=4x,F 是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点. (Ⅰ) 设l的斜率为1,求OA与OB的夹角; (Ⅱ) 设BF=?FA, 若??[4, 9],求l在y轴上截距 的变化范围.
y B

o F A

x

(Ⅱ) 由对称性,我们只须研 究如图的情况.

( 1 ) 当yB=-4yA时,

y

B

? y 2 ? 4 x, 2 ? y ? 4my ? 4 ? 0 ? ? x ? 1 ? my

o F A

x

? y A ? yB ? ?3 y A ? 4m, ?? ?yA=-1 2 ? y A ? yB ? ?4 y A ? ?4
3 4 ?m = . 令x=0,得y1=- . 3 4

3 ( 2 ) 当yB=-9yA时,同理可得y2=- . 4 ? 4 3? ?3 4? ∴ m? ? ? , ? ? ? ? , ? . ? 3 4? ?4 3?

(2000· 新课程卷) 如图, 已知梯形ABCD中,
|AB|=2|CD|, 点E分有向线段AC所成的比为?,双

曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点. 当
2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率e的取值范围. 3 4 c 设|AB|=2c, 则A(-c,0), C( 2 , yC), 又设E(x0, y0), c y 由|AE|=?|EC|, 得 x0+c=?( 2 -x0), D C

c(? ? 2) x0= 2(1 ? ? )

E

因为|EC|=|AC|-|AE|

A

B

x

|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),

c(? ? 2) x0 e(? ? 2) ? t = a ? 2(1 ? ? ) |AE|=?|EC|, x0= 2(1 ? ? ) 因为|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),
c 2 所以-ex0-a=?[2a+e( +x0)] ?两边同乘以 2 a



? -2et-2=?[4+e(e+2t)]

? 2e(?+1)t= -(e2?+4?+2) ? e2(?-2)= -(e2?+4?+2)

? 将①代入
2 3 因为 3 ? ? ? 4

?

e2=

1 ? 2? 3 ? ?2 ? 1? ? 1? ?

所以 7 ≤e2≤10,



7 ? e ? 10.

(2004?天津理科卷)椭圆的中心是原点O,它的 短轴长为2 2 ,相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴 相交于点A,|OF|=2|FA|.过点A的直线与椭圆相 x2 y 2 6 交于P、Q两点. ? ? 1, e= 3 y 6 2 (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; P
Q

(Ⅱ)若OP?OQ=0,求直线 PQ的方程; x± 5 y-3=0

O

F

A x

M

(Ⅲ)设AP=?AQ(?>1).过点P且平行于l的直线 与椭圆相交于另一点M. 证明:FM=-?FQ.

(Ⅲ)设AP=?AQ(?>1).过点P且 平行于l的直线与椭圆相交于 另一点M. 证明:FM=-?FQ.

y P
O

Q F

A x

M

M(x1,-y1). 又F(2,0), 由已知 x1-3=?(x2-3), y1=?y2.

分析 设P(x1,y1), Q(x2,y2), 则

AP AQ

?

FM FQ



FM=(x1-2,-y1)=(?(x2-3)+1,-y1) =-?(3-x2- , y2), FQ=(x2-2,y2). 欲证FM=-?FQ,只须证

1

?

5? ? 1 x2 ? . 或 2?

1 ?? 5 ? 2x2

条件:AP=?AQ(?>1).

y P
O

5? ? 1 . 目标: x2 ? 2?

Q F

A (3,0) x

M

?

x1-3=?(x2-3), y1=?y2,
2 2 x 1 +3y1 =6, 2 2 x 2 +3y 2 =6.

① ② ③ ④

③-④??2:

x ? ? x ? 6 ? 6?
2 1 2 2 2

2

x2>0

5? ? 1 . 将①式代入上式,整理得: x2 ? 2?

(Ⅲ)设AP=?AQ(?>1).过点P且 平行于l的直线与椭圆相交于 另一点M. 证明:FM=-?FQ.
AP AQ FM FQ

y P
O

Q F

A x

M

?



还须证:M、F、Q 三点共线.

要点提炼:
解综合题的关键在于恰当地变换,即将原 问题变换为另一个为我们熟知的较易解决的新 问题.而变换的关键在于巧妙地联想,联想是 由一事物想到另一事物的心理活动,是连结生 疏问题与熟知问题的桥梁,它熔发散式思维与 聚合式思维于一炉,通过联想熟悉的模型、知 识和方法,达到化未知为已知的目的,以求得 问题的顺利解决.


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