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5-定积分计算习题课09


第五章 习题课

?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi . ? ?0 i ?1
b

n

1

可积的两个充分条件:

定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时,
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.

定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上有界,
且只有有限个间断点,则 f ( x ) 在区间 [a , b]上可积.

2
b

定积分的性质
b b

线性性质

? [?f ( x ) ? ?g( x )]dx ? ? ? f ( x )dx ? ? ? g( x )dx
a a a

?a 1 ? dx ? ?a
b

b

b

dx ? b ? a

区间可加性

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c

c

b

f ( x )dx

不等式性质

如果在区间[a , b] 上 f ( x ) ? 0 ,
则 ?a f ( x )dx ? 0
b b
b

(a ? b)

推论: (1) 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ? g ( x ) ,
则 ? f ( x )dx ?
a

?a g( x )dx
b

(a ? b)

(2)

?a f ( x )dx ? ?a
b

b

f ( x )dx

(a ? b)

[ 设 M 及m 分别是函数 f ( x ) 在区间 a , b]
上的最大值及最小值,则

(3)

m (b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a ) .

4

定积分中值定理

如果函数 f ( x ) 在闭区间 a , b] 上连续, [

? 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ,
使 ?a f ( x )dx ? f (? )(b ? a )
b

(a ? ? ? b)
积分中值公式

扩展的积分中值定理

?

b

a

f ( x)g ( x)dx ? f (? )?a g ( x)dx
b

(a ? ? ? b)

5 积分上限函数
定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续,则积分上限的函数

?( x ) ? ?a f ( t )dt 在[a , b]上可导,且它的导数 d x 是 ? ?( x ) ? ?a f ( t )dt ? f ( x ) (a ? x ? b) dx
定理2(原函数存在定理) 如 果 f ( x ) 在[a , b] 上
连续,则积分上限的函数 ?( x ) ?

x

?a

x

f ( t )dt 就是

f ( x ) 在[a , b] 上的一个原函数.

定理 3(微积分基本公式)如果F ( x ) 是连续函数

f ( x ) 在区间[a , b] 上的一个原函数,则

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )

b

?

b

a

f ( x )dx ? [ F ( x )] .
b a

牛顿—莱布尼茨公式

表明 : 一个连续函数在区间a , b] 上的定积分等于 [ 它的任一原函数在区间 , b] 上的改变量 [a .

6 定积分的计算法
(1)换元法

?a f ( x )dx ? ??

b

?

f [? ( t )]? ?( t )dt
换元公式
b

(2)分部积分法

?

b

a

udv ? [uv ] ? ? vdu
b a a

分部积分公式

广义积分
(1)无穷限的广义积分

?a

??

f ( x )dx ? lim ?a f ( x )dx
b? ?? b

b

??? f ( x )dx ? alim ?a f ( x )dx ? ??

b

当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散.

(2)无界函数的广义积分

?a f ( x )dx ? ?lim0 ?a?? ??
b

b

f ( x )dx f ( x )dx
b

?a f ( x )dx ? ?lim0 ?a ??
b c

b

b ??

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c
? lim ?a
? ? ?0
c ??

f ( x )dx
b

f ( x )dx ? lim

?c?? ? f ( x )dx ? ? ? ?0

当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散.

一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值

x ne x 例1. 求 lim ? dx . x n ?? 0 1 ? e x ne x 0? ? x n , 所以 解: 因为 时, 1? e x 1 n 1 x ne x 1 d x ? ? x dx ? 0? ? x 0 01 ? e n ?1 1 x ne x dx ? 0 利用夹逼准则得 lim ?0 x n ?? 1 ? e
1

例2 求极限

2 2 2 lim ( ? ??? ). 1 1 n ?? n ? 1 n ? n? n 2

1 n

2 n

n n

i i 1 n n 1 n n 提示: lim ? 2 ? 原式 ? nlim n ? 2 n ?? n ? 1 ?? i ?1 i ?1 i n n n 左边 ? lim ?2 n ?? n ? 1 i ?1

? ? 2x d x
0

1

= 右边

练习

x 2n (1) lim ? dx n? ? 1? x 0 x 0? ? dx ? 1? x 0
1 2n

1

?
0

1

1 x dx ? 2n ? 1
2n

1 p ? 2 p ? ?n p ( 2) lim ( p ? 0) p ?1 n? ? n
n 1 p 2 p n p 1 k p ? lim(( ) ? ( ) ? ?( ) ) ? lim ? ( ) ?xk n?? n n n n n?? k ?1 n 1 1 p ? ? x dx ? p ?1 0

思考: 下列作法是否正确?

二、定积分的计算
1)对称区间上的积分 2)分段函数的积分 3)绝对值函数的积分 4)周期函数的积分(三角函数有理式的积分) 5)有理函数的积分 6)无理函数的积分

记住典型例题所用的方法,举一反三

练习: 计算下列各题

(1) ( ? x cos x) ? 4? dx ? 2 dx
5 ?1
1
1

?

1

1

0

?1

x 5 cos xdx ? 4 ?

1

( 2) ? ( x cos x ? x )dx ? ? x cos 0 ? xdx
3 2
3

?1

?1

2 ?1 x dx ? ? 3 ?
2

1

(3) ? 4 x 3 dx
?1

2

? ?4 ? x 3 dx ? 4? x 3 dx
?1 0

0

2

? 1 ? 16 ? 17

例1 计算下列各题

?

1 2 ?1 2

sin x 2 [ 8 ? ln (1 ? x) ]dx. x ?1
2

1 2 ??2 min{ x , x }dx.

例1

求?

1 2 ?1 2

sin x 2 [ 8 ? ln (1 ? x) ]dx. x ?1
1 2 ?1 2

对称区间上的定积分,利用函数的奇偶性简化计算



原式 ? 0 ? ? ln(1 ? x) dx
? ??1 ln(1 ? x)dx ? ? ln(1 ? x)dx
2 0 1 2 0

3 3 1 ? ln ? ln . 2 2 2

例2

1 2 求 ? min{ , x }dx . ?2 x
2

? x2 , x ? 1 解 1 2 ? ? min{ , x } ? ? 1 , x ?1 x ?x ? 2 1 2 原式 ? 2 ? min{ , x }dx 0 x
? 2 ? x dx ? 2 ?
1 2 0 2 1

是偶函数,

1 dx x

2 ? ? 2 ln 2. 3

例3 求 解:

I ? ? 2 (sin x ? cos x) 2 dx
0

?

y cos x
sin x

? ? sin x ? cos x dx
2

?

0

o
?

?
4

?
2

x

? ? (cos x ? sin x) dx ? ??2 (sin x ? cos x) dx
4

?

0

? [sin x ? cos x]
? 2 ( 2 ? 1)

?

4

4

0

? [? cos x ? sin x] 2
?
4

?

练习

求?

? 2 0

sin x dx. sin x ? cos x
a a 2

设f ( x) ? 3x ? 1 ? ? f ( x)dx, a ? ?1, 求? f ( x)dx
0 0

练习

求?

? 2 0

sin x dx. sin x ? cos x
sin x cos x 2 dx, 设 J ? ? dx, 0 sin x ? cos x sin x ? cos x
? 2 0 ?

解由I ? ?

? 2 0

则I ?J ? ?

? dx ? , 2
? 2 0

I ?J ? ?

? 2 0

d (cos x ? sin x ) sin x ? cos x dx ? ? ? ? 0. sin x ? cos x sin x ? cos x

? 故得 2 I ? , 2

? 即I ? . 4

设f ( x) ? 3x ? 1 ? ? f ( x)dx, a ? ?1, 求? f ( x)dx
2 0 0
a a

a

a

?
0

a

f ( x )dx ? ? ( 3 x 2 ? 1)dx ? ? { ? f ( x )dx}dx
0
a

a

0

0

? a 3 ? a ? a ? f ( x )dx
0

??
0

a

a3 ? a f ( x )dx ? a?1

作业:P102

4
n 3 n ?1 2 0

2 n a n ? ( x ? 1) 3
,于是

2 n n ? {[( ) ? 1] ? 1} 3 n ?1
3 2

3 2

2 1 lim nan ? [(1 ? ) ? 1] n ?? 3 e

计算广义积分 1 1 (1) ? dx 1? x 0
例5

?
e

?
0

1

d (1 ? x ) 1? x

1? x ? t ? ?
1

0

du u

?

?
0

1

du u

?2 u
3

1 0

?2

dx ( 2) ? ? 2 1 x ln x
e

?
1 e

e

d ln x 1 ?? 2 ln x ln x
1 1 e

e 1 e

? ?2

?

?
1 e

1

dx dx 1 ?? ?? 2 2 x ln x 1 x ln x ln x

e

1 ? ln x

e 1

发散

三. 与积分上限函数有关的问题
1 求积分上限函数 作业题 2 求积分上限函数的导数、积分 参数方程、隐函数方程、洛必达法则 3 求积分上限函数的极值、拐点……

例1

3 2 ? ?2 x ? 2 x , ? 1 ? x ? 0 ? (02)设f ( x ) ? ? 求函数 x ? xe , 0? x ?1 x 2 ? (e ? 1) ?
x ?1

F ( x ) ? ? f (t )dt的表达式。

解:当? 1 ? x ? 0,

3 2 1 3 2 F ( x ) ? ? ( 2t ? t )dt ? ( t ? t ) 2 2 ?1 当0 ? x ? 1,
F ( x) ?
?1

x

x ?1

1 3 1 2 ? x ?x ? . 2 2

?

x

f ( t )dt ?

?1

?

0

f ( t )dt ?

?
0

x

f ( t )dt

例2

dy 设y ? ?0 sin( 2t ? x)dt, 求 dx
x

设 f ( x) ? ? e
0

x

? y2 ?2 y

dy, 求 ? ( x ? 1) f ( x )dx.
2 0

1

设 f ( x) ? ? e
0

x

? y2 ?2 y

dy, 求 ? ( x ? 1) f ( x )dx.
2 0

1



原式 ? ?0 ( x ? 1) f ( x )dx 1 1 ? ?0 f ( x )d ( x ? 1) 3 3
1 2

令 ( x ? 1)2

1 1 1 3 1 ? [ ( x ? 1) f ( x )]0 ? ?0 ( x ? 1) 3 f ?( x )dx 3 3 1 1 3 ? x2 ?2 x ? ? ?0 ( x ? 1) e dx 3 1 1 2 ? ( x ?1 ) 2 ? 1 ? ? ? ( x ? 1) e d [( x ? 1)2 ] 6 0 ?u e 0 ?u 1 ? ? ue du ? ? (e ? 2). 6 1 6

例3

求可微函数 f (x) 使满足

解: 等式两边对 x 求导, 得

sin x 2 f ( x) f ?( x) ? f ( x) 2 ? cos x 不妨设 f (x)≠0, 则

1 sin x dx ? f ( x) ? ? f ?( x) dx ? ? 2 2 ? cos x 1 ? ? ln(2 ? cos x) ? C 2

1 f ( x) ? ? ln(2 ? cos x) ? C 2 1 注意 f (0) = 0, 得 C ? ln 3 2 1 1 ? f ( x) ? ? ln(2 ? cos x) ? ln 3 2 2

x x t 例4 设f ( x)连续,证明? f (t )( x ? t )dt ? ? ( ? f (u )du )dt

证明 : 令F ( x) ? x ? f (t ) dt ? ? tf (t ) dt ? ? ( ? f (u )du)dt

x

0

x

x

0t 0
0

F ?( x ) ?

? f (t )dt ? xf ( x ) ? xf ( x ) ? ? f (u)du ? 0
0

x

0

0

x0

F ( x ) ? C , F (0) ? 0,
t 0 x 0 x 0

? F ( x ) ? 0,即得所证。

0

右 ? t ? f (u)du ? ? t f (t )dt ? x? f (u)du ? ? t f (t )dt ? x? f (t )dt ? ? t f (t )dt
0 0 0 0 x x x x

? ? f (t )( x ? t )dt ? 左
0

x

四、证明题
设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续,且 f ( x ) ? 0. 证明

?

b

a

f ( x )dx ? ?

b

a

dx ? (b ? a ) 2 . f ( x)

例1

设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续,且 f ( x ) ? 0. dx 证明 ? f ( x )dx ? ? ? (b ? a ) 2 . a a f ( x) x x dt 作辅助函数 F ( x ) ? ? f ( t )dt ? ? ( x ? a )2 , a a f (t )
b b



? F ?( x ) ? f ( x ) ?
x

x

a

x 1 1 dt ? ? f ( t )dt ? ? 2( x ? a ) a f (t ) f ( x)

f ( x ) f (t ) x ? ?a ( ? )dt ? ?a 2dt , f (t ) f ( x )
? f ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? f ( t ) ? 2 f (t ) f ( x )
即 F ?( x ) ? ? (
x a

f ( x ) f (t ) ? ? 2)dt ? 0 f (t ) f ( x )

? f ( x ) ? 0,
即 F ?( x ) ? ?
x

f ( x ) f (t ) ? ? ?2 f (t ) f ( x ) f ( x ) f (t ) ( ? ? 2)dt ? 0 f (t ) f ( x )

a

F ( x ) 单调增加.

又 ? F (a ) ? 0,

? F (b) ? F (a ) ? 0,
b



?

b

a

f ( x )dx ? ?

a

dx ? ( b ? a )2 . f ( x)

例2

设奇函数 ( x )在( ??,??)上连续且单调递增, f
x

F ( x ) ? ? ( x ? 2t ) f ( t )dt , 证明:
0

(1)F ( x )为奇函数 ( 2)F ( x )在[0,??)上单调递减
?x

F (? x ) ?

? (? x ? 2t ) f (t )dt ? ? ? ( x ? 2t ) f (t )dt
0
x

?x

0
x

t ? ? u ? ? ? ( x ? 2u) f ( ? u)d ( ? u) ? ? ? ( x ? 2u) f ( u)du
0 0

? ? F ( x)

F ( x) ?

? ( x ? 2t ) f (t )dt ? x ?
0 0

x

x

f ( t )dt ? 2? tf ( t )dt
0

x

F ?( x ) ?

? f (t )dt ? xf ( x ) ? 2 xf ( x ) ? ? f (t )dt ? xf ( x )
0 0

x

x

?

? f (t )dt ? ? f ( x )dt ? ? [ f (t ) ? f ( x )]dx
0 0 0

x

x

x

?0
? F ( x )单调递减

例3

x?c x 决定常数c使得 lim ( ) ? x ? ?? x ? c
x ? c 2c x 2c x ? c

??

te 2 t dt ?

c

x?c x 2c lim ( ) ? lim (1 ? ) x?? ? x ? c x?? ? x?c
? 2c ? lim ? (1 ? ) ? x?? ? x?c ?
x ?c 2c

? ? ? ?

2c x x ?c

? e 2c

1 2t 2t ??te dt ? 2 e t ?
?e
2c

c

c ??

1 1 1 ? ? e 2 t dt ? e 2 c c ? e 2 c 2 ?? 2 4

c

1 1 2c ? ( c ? )e 2 4

1 1 5 ? c? ?1? c ? 2 4 2

例4 (02) 设函数f ( x )在[0,??)上可导,f (0) ? 0,
f ( x) 0

且其反函数为g ( x ), 如 ? g (t )dt ? x 2 e x , 求f ( x ).
解:等式两边对x求导 g ( f ( x )) f ?( x ) ? 2 xe x ? x 2e x

? g ( (x)? x,? f ?( x ) ? 2e x ? xe x f )
积分得 f ( x ) ? ( x ? 1)e x ? C

( x ? 0)

? f (0) ? 0, ? (0 ? 1)e 0 ? C ? 0, ? C ? ?1,

? f ( x) ? ( x ? 1)e ? 1
x

5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y ? f ( x)

y

y ? f2 ( x)

A
o

A
y ? f1 ( x )

a
b

b

x

o
b

a

b

x

A ? ?a f ( x )dx

A ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

参数方程所表示的函数

? x ? ? (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 ? ? y ? ? (t )
曲边梯形的面积 A ? ? ? ( t )? ?( t )dt t
1

t2

(其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值)

在[t1 ,t 2 ](或[t 2 ,t1 ])上 x ? ? (t ) 具有连续导数,

y ? ? (t ) 连续.

极坐标情形

?

r ? ? (? )

d?

?
r ? ? 1 (? )

r ? ? 2 (? )

?
o

?
x
o

x

1 ? A ? ? [? (? )]2 d? 2 ?

1 ? 2 A ? ? [? 2 (? ) ? ? 12 (? )]d? 2 ?

(2) 体积
y
V ? ?a ? [ f ( x )]2 dx
b

o

x

x ? dx

x

y
d

x ? ? ( y)

c
o

V ? ?c ? [? ( y )]2 dy

d

x

平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )

o

a

x

x ? dx

b

x

V ?

?a A( x )dx

b

(3) 平面曲线的弧长
A.曲线弧为 y ? f ( x )
弧长 s ? ?a 1 ? y? dx
2 b

y

? dy

? x ? ? (t ) B.曲线弧为 ? ? y ? ? (t )

o a x x ? dx b

x

(? ? t ? ? )

其中? ( t ), ? ( t )在[? , ? ] 上具有连续导数

弧长 s ? ??

?

? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt ?

C.曲线弧为 r ? r (? ) 弧长 s ? ??
?

(? ? ? ? ? )

r 2 (? ) ? r ? 2 (? )d?

(4) 旋转体的侧面积
y ? f ( x ) ? 0, a ? x ? b
b

y

y ? f ( x)

o

x

x ? dx

x

S侧 ? ? 2?f ( x ) 1 ? f ? 2 ( x )dx
a

(5) 细棒的质量
m ? ? dm
l 0 l

( ? ( x ) 为线密度)

? ( x)
o x x ? dx l x

? ? ? ( x )dx
0

(6) 转动惯量
I y ? ? dI y
b a

y

?

?

b

a

x 2 ? ( x )dx

a o x x ? dx b

x

(7) 变力所作的功
W ? ? dW
b a

? ? F ( x )dx
b a

? oa

? x

F ( x)

? x ? dx

? b

x

(8) 水压力
P? ?

?

b

a b

dP

? ?xf ( x )dx
a

o a x x ? dx b x

y
f ( x)

( ? 为比重 )

(9) 引力
Fy ? ? dFy ? ?
l ?l l

y
Ga?dx (a ? x )
2 3 2 2

A
?

?l

?l

l

Fx ? 0. ( G 为引力系数 )

o x x ? dx

x

1 b (10) 函数的平均值 y ? b ? a ?a f ( x )dx

(11) 均方根

1 b 2 y? ?a f ( x )dx b?a

例1 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池内注水. (1) 求在池中水深 h (0 ? h ? R )时水面上升的速度; 1)建立坐标系如图. 解 dh

设t时刻水面高为 h, 则水面上升速率为
V ( h) ? ? ?x dy ? ? ?( 2 Ry ? y 2 )dy
2 0 0 h h

2) 水深为 h 时水池内水的体积为
因水深 h时已注水的时间为 t , h ?V ( h) ? at , 即 ? ?( 2 Ry ? y 2 )dy ? at
0

dt
y
R

h

两边对 t 求导, 得 ?( 2 Rh ? h2 ) dh ? a, dt dh a ? . 2 dt ?( 2 Rh ? h )

o

x

( 2) 若再将满池水全部抽出,至少需作功多少?
解 将满池的水全部抽出所 需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度 所需的功. 抽水时使水位从 y (0 ? y ? R )降到 y ? dy 所需
的功约为 ?? x 2 dy( R ? y ), (? ? 1 水的比重)
又 x 2 ? 2 Ry ? y 2 ,

即功元素 dW ? ??( 2 Ry ? y 2 )( R ? y )dy.

故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W ? ? ?? ( 2 Ry ? y 2 )( R ? y )dy
0 R

? ? ? ( 2 R 2 y ? 3 Ry 2 ? y 3 )dy ? ? R 4 . 0 4
R

测 验 题2
一、选择题:
1 1、曲线 y ? ln x 与直线 x ? ,x ? e 及y ? 0 所围成 e 的区域的面积S ? ( ) ; 1 1 (A) 2( 1 ? ) ; (B)e ? ; e e 1 1 (C)e ? ; (D) ? 1 . e e 2 2、曲线r ? 2 sin? 与r ? cos 2? 所围图形公共部分 的面积S ? ( ) ;

? 1? 3 ? 3 ?1 ? ? (A) ; (B) ; 12 2 24 4 ? 3 ?1 ? 1? 3 ? (C) ; (D) ? . 12 2 6 2

3、曲线 x ? a cos 3 ? , y ? a sin 3 ? 所围图形的面积 S ?( ) ;

3 2 (A) ?a ; 32
1 2 (C) a ; 2

3 2 (B) ?a ; 8 1 2 (D) ?a . 16

4、由球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 与旋转锥面 x 2 ? y 2 ? 8z 2 之 V 间包含z 轴的部分的体积 ? ( ); (A)144 ? ; (B) 36?; 24 (C)72? ; (D) ? .

5、用一平面截半径为 r 的球,设截得的部分球体高 V 为h ( 0 ? h ? 2r ) 体积为 V ,则 ? ( ) ;

?h2 ( 2 r ? h) ; (A) 3
(C)?h ( 2r ? h) ;
2

6、曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 4 上点 M 0 ( 0 , 4 ) 处的切线 M 0T 与曲线 y 2 ? 2 ( x ? 1) 所围图形的面积S ? ( ) ; 9 4 (A) ; (B) ; 4 9 13 21 (C) ; (D) . 12 4

?h2 ( 3 r ? h) ; (B) 3 2 ?h ( 3 r ? h) . (D) 4

p 7、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 自点( 0 , 0 ) 至点( , p ) 2 的一段曲线弧长 L =( ) ; p (A) ? 2 ? ln(1 ? 2 )? ? p ln p ; 2 ? 1?p p2 2? ln(1 ? 2 )? ; (B) ? p?2 2 ? p (C) ? 2 ? ln p(1 ? 2 )?; 2 p (D) ? 2 ? ln(1 ? 2 )? . 2
2

r 8、曲线 y ? x ,0 ? x ? h ,绕 x 轴 旋转所得旋转体 h 的侧面积S ? ( ) ; (A)? r r 2 ? h 2 ; (B)? h r 2 ? h 2 ; ? r 2 r ? h 2 ; (D)2? r r 2 ? h 2 . (C) h

二、在区间? 1 , e ? 内求一点 x 0 ,使 y ? ln x , y ? 0 , y ? 1 及 x ? x 0 所围成两块面积之和为最小 .
三 、设曲边梯形是由连续曲线 y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) , x 轴 与两直线 x ? a , x ? b 所围成的,求证:存在 直线 x ? ? (? ? ( a , b )) 将曲边梯形的面积平分 .

? x ? a ( t ? sin t ) 四、求摆线 ? ,( 0 ? t ? 2? ) ? y ? a ( 1 ? cos t ) 1、绕 x 轴 旋转一周所成曲面的面积 ; 2、绕 y 轴 旋转一周所成曲面的面积 . 1 五、有一旋转体,它由曲线 y ? , y 轴 ,x 轴 2 1? x 以及直线 x ? 1 所围成的平面图形绕 y 轴 旋转而 成,已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴 的距离,求它的质量 . 六、以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池内注水 1、求在水池中水深h ( 0 ? h ? R ) 时水面上升的速 度; 2、若再将满池水全部抽出,至少需作功多少?

测验题答案
一、 1、A; 5、B; 二、 x 0 ? e .
1 4

2、D; 6、D;

3、B; 7、A;

4、D; 8、A .

? 五、 2 ?(1 ? ) . 4 ? 4 dh a w? R . ? 六、1、 2 ; 2、 4 dt ?( 2 Rh ? h )

64 2 2 2 四、1、 ?a ; 2、16? a . 3

测验题答案
一、1、C; 2、A; 3、C; 4、D; 5、C; 6、D; 7、B; 8、A; 9、C; 10、D. 三、1、
3x2 1 ? x 12 ? 2x 1 ? x8

; 2、? 2e

? y2

sin x 2 .

4 ? 4 四、1、2 ln ; 2、 ; 3、 ? ? 3 4 3

71 3 ; 4、 ; 3

? ? 3 5、1; 6、 ; 7、 ? arcsin ; 8、? . 5 2 4


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