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广东省广州市2018届高三12月调研测试数学(文)试题


秘密 ★ 启用前

试卷类型: A

2018 届广州市高三年级调研测试 文科数学
2017.12 本试卷共 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓 名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生 号。 2. 作答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。写在本试卷上无效。 3.第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 3x ? 0 ,则 A ? B ?
2

?

?

A. ??1?

B. ??1,0?

C. ??1,3?

D. ??1,0,3?

2.若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 1 ? 2i ,则 z ?

A.

5 2

B.

3 2

C.

10 2

D.

6 2

3.已知 ? 为锐角, cos ? ?

?? 5 ? ,则 tan ? ? ? ? ? 5 4? ?
B. 3 C. ?

A.

1 3
2

1 3

D. ?3

4.设命题 p : ?? x ? 1 , x ? 1 ,命题 q : ??? x0 ? 0 , 2 A. p ? q B. (?p) ? q

x0

?

1 ,则下列命题中是真命题的是 x0
D. (?p) ? (?q)

C . p ? ( ?q )

? 2 x ? y ? 0, ? 5.已知变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? 0, ?
A. 5 B. 4 C. 6 D. 0

6.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,直角三角形中较

小的锐角 ? ?

? .若在该大正方形区域内随机地取一点,则该点落在中间小正方形内的概率是 6
B.

A.

2? 3 2

3 2

θ

C.

1 4

D.

1 2
3 ,则△ ABC 4

7.△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 b ? 7 , c ? 4 , cos B ? 的面积等于 A. 3 7 B.

3 7 2

C. 9

D.

9 2
开始 输入 f0(x)

8.在如图的程序框图中, f i?( x ) 为 f i ( x ) 的导函数,若 f 0 ( x) ? sin x ,则 输出的结果是 A. sin x C. ? sin x B. cos x D. ? cos x

i=0 i = i+1

9.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 ,点 M 为 CC1 的中点,点 N 为 线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点, 平面 BMN 交 AA1 于点 Q , 则 AQ 的 长为 A.

f i ( x) ? f i ? ?1 ( x)
i >2017? 是 输出 fi ( x) 结束 否

2 3

B.

1 2

1 C. 6
10.将函数 y ? 2sin ? x ?

1 D. 3

? ?

?? ? ?? ? cos ? x ? ? 的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位,所得图象对应的函数恰为奇函 3? ? 3?

数,则 ? 的最小值为 A.
[来源:Zxxk.Com]

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

11.在直角坐标系 xOy 中,设 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, P 为双曲线 C 的 右支 a 2 b2

上一点,且△ OPF 为正三角形,则双曲线 C 的离心率为

A. 1 ? 3

B. 3

C.

2 3 3

D. 2 ? 3

12.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某三棱锥 的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为 A.

11 ? 2

B. ?? D. ???

C. 11?

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? ? x,?x ? 2? , b ? ?3,?4? ,若 a / / b ,则向量 a 的模为____. 14.已知函数 f ( x) ?

2x ? a 为奇函数,则实数 a ? ________. 2x ?1

15.已知直线 y ? kx ? 2 与曲线 y ? x ln x 相切,则实数 k 的值为_______.

x2 y2 16.在直角坐标系 xOy 中,已知直线 x ? 2 y ? 2 2 ? 0 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 相切,且椭 a b
圆 C 的右焦点 F ? c,0? 关于直线 y ?

c x 的对称点 E 在椭圆 C 上,则△ OEF 的面积为 b



三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 4a2 ? 4 a3 ? L ? 4
2 n ?1

an ?

n n ? N* ? . ? 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

4 n an ,求数列 ?bnbn?1? 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,
P

PA ? 底面ABCD , ED ? PA ,且 PA ? 2 ED ? 2 .
(1)证明:平面 PAC ? 平面 PCE ;
A

E

D C

B

(2)若 ?ABC ? 60o ,求三棱锥 P ? ACE 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 某基地蔬菜大棚采用水培、 无土栽培方式种植各类 蔬菜. 过去 50 周的资料显示, 该地周光照量 X (小 时)都在 30 小时以上,其中不足 50 小时的周数有 5 周,不低于 50 小时
5 y (百斤)

且不超过 70 小时的周数有 35 周,超过 70 小时的周数有 10 周.根据统 计,该基地的西红柿增加量 y (百斤)与使用某种液体肥料 x (千克) 之间对应数据为如图所示的折线图.

4 3

O

2

4

5

6

8 x (千克)

(1) 依据数据的折线图, 是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系?请计算相关系数 r 并加以说明 (精 确到 0.01).(若 | r |? 0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控 制仪最多可运行台数受周光照量 X 限制,并有如下关系: 周光照量 X (单位:小时) 光照控制仪最多可运行台数

30 ? X ? 50
3

50 ? X ? 70
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

X ? 70
1

2

若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为 3000 元;若某台光照控制仪未运行,则 该台光 照控制仪周亏损 1000 元.若商家安装了 3 台光照控制仪,求商家在过去 50 周周总利润的平均值.

附:相关系数公式 r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

,参考数据 0.3 ? 0.55 , 0.9 ? 0.95 .
2

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , 抛物线 C 上存在一点 E ? 2, t ? 到焦点 F 的距离等于 3 .
2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 K ? ?1,0 ? 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A , B 两点( A , B 两点在 x 轴上方) ,点 A 关于 x 轴 的对称点为 D ,且 FA ? FB ,求△ ABD 的外接圆的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x
b

? a ? 0? .
?1 ? ,e ,有 f ? x ? ? e ? 1 成立,求实数 b 的取值范围. ? ?e ? ?

(1)当 b ? 2 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? b ? 0 , b ? 0 时,对任意 x ?

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ?, ( ? 为参数) ,将曲线 C1 经过伸缩变换 ? y ? 2sin ?

? x? ? 2 x, 后得到曲线 C2 .在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? y? ? y

? cos? ? ? sin ? ? 10 ? 0 .
(1)说明曲线 C2 是哪一种曲线,并将曲线 C2 的方程化为极坐标方程 ; (2)已知点 M 是曲线 C2 上的任意一点,求点 M 到直线 l 的距离的最大值和最小值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)当 a ? 1 时,求不等式 (2)若函数 g( x) ?

f ( x) ? 2 x ? 1 ? 1 的解集;

f ( x) ? x ? 3 的值域为 A ,且 ? ?2,1? ? A ,求 a 的取值范围.

2018 届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一.选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B 11 A 12 C

二.填空题 13.10 14. ?

1 2

15. 1 ? ln 2

16.1

三、解答题 17. 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ?

1 .………………………………………………………………………1 分 4 n 2 n ?2 n ?1 * 因为 a1 ? 4a2 ? 4 a3 ? L +4 an -1 ? 4 an ? , n ? N , ① 4 n-1 2 n?2 ,n ? 2 . 所以 a1 ? 4a2 ? 4 a3 ? L ? 4 an -1 ? ②……………………………………3 分 4 1 n ?1 ①-②得 4 an ? .……………………………………………………………………………………4 分 4 1 * 所以 an = n ? n ? 2, n ? N ? .……………………………………………………………………………5 分 4 1 1 * 由于 a1 ? 也满足上式,故 an = n ( n ? N ) .…………………………………………………………6 分 4 4

(2)由(1)得 bn ?

4 n an 1 = .………………………………………………………………………7 分 2n ? 1 2n ? 1

所以 bnbn?1 =

1? 1 1 ? ? ? ? .………………………………………………9 分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2 n ?1 2 n ? 3 ? ? 1

故 Tn ?

1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?L ? ? ……………………………………………………10 分 2?3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 3 ?

1?1 1 ? ? ? ? ? …………………………………………………………………………………11 分 2 ? 3 2n ? 3 ?
= n .……………………………………………………… 6n ? 9
P

…………………………………12 分
[来源:Z.xx.k.Com]

F

E

A O B C

D

18.(1)证明:连接 BD ,交 AC 于点 O ,设 PC 中点为 F , 连接 OF , EF . 因为 O , F 分别为 AC , PC 的中点, 所以 OF ? PA ,且 OF ? 因为 DE ? PA ,且 DE ?

1 PA , 2

1 PA , 2

所以 OF ? DE ,且 OF ? DE .…………………………………………………………………………1 分 所以四边形 OFED 为平行四边形,所以 OD ? EF ,即 BD ? EF .………………………………2 分 因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BD . 因为 ABCD 是菱形,所以 BD ? AC . 因为 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC .…………………………………………………………4 分 因为 BD ? EF ,所以 EF ? 平面 PAC .………………………………………………………………5 分 因为 FE ? 平面 PCE ,所以平面 PAC ? 平面 PCE . ………………………………………………6 分 (2)解法 1:因为 ?ABC ? 60? ,所以△ ABC 是等边三角形,所以 AC ? 2 .………………………7 分 又因为 PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AC .

1 PA ? AC ? 2 . ……………………………………………………………………………8 分 2 因为 EF ? 面 PAC ,所以 EF 是三棱锥 E ? PAC 的高. ……………………………………………9 分
所以 S ?PAC ? ……………………………………………………………………………10 分 因为 EF ? DO ? BO ? 3 , 所以 VP ? ACE ? V
E ? PAC

1 ? S ?PAC ? EF …………………………………………………………………11 分 3

1 2 3 . ………………………………………………………………………12 分 ? ? 2? 3 ? 3 3
解法 2:因为底面 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60? ,所以△ ACD 为等边三角形.………………7 分 取 AD 的中点 M ,连 CM ,则 CM ? AD ,且 CM ? 3 .………………………………………8 分 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CM ,又 PA ? AD ? A , 所以 CM ? 平面 PADE ,所以 CM 是三棱锥 C ? PAE 的 高.………………………………………9 分

1 PA ? AD ? 2 .…………………………………………………………………………10 分 2 1 所以三棱锥 P ? ACE 的体积 VP ? ACE ? VC ? PAE ? S ?PAE ? CM ……………………………………11 分 3
因为 S ?PAE ?

1 2 3 . …………………………………………12 分 ? ? 2? 3 ? 3 3

19.解:(1)由已知数据可得 x ?
5

2? 4?5?6?8 3? 4? 4? 4?5 ? 5, y ? ? 4 .…………………1 分 5 5

因为

? ( x ? x)( y ? y ) ? (?3) ? (?1) ? 0 ? 0 ? 0 ? 3 ?1 ? 6,………………………………………2 分
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1
5

5

2

i

………………………………………………3 分 ? (?3) 2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 32 ? 2 5,

? ( y ? y)
i ?1 i

2

? (?1)2 ? 02 ? 02 ? 02 ? 12 ? 2. ……………………………………………………4 分

所以相关系数 r ?

?(x
i ?1

n

i

? x )( yi ? y )

?(x
i ?1

n

i

? x )2

?( y
i ?1

n

?

i

? y )2

6 9 ? ? 0.95 .………………5 分 10 2 5? 2

因为 r ? 0.75 ,所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系. …………………………………………6 分 (2)记商家周总利润为 Y 元,由条件可得 在过去 50 周里: 当 X >70 时,共有 10 周,此时只有 1 台光照控制仪运行, 周总利润 Y=1× 3000-2× 1000=1000 元. …………………………………………………………………8 分 当 50≤X≤70 时,共有 35 周,此时有 2 台光照控制仪运行, 周总利润 Y=2× 3000-1× 1000=5000 元. …………………………………………………………………9 分 当 X<50 时,共有 5 周,此时 3 台光照控制仪都运行, 周总利润 Y=3× 3000=9000 元. …………………………………………………………………………10 分 所以过去 50 周周总利润的平均值 Y ?

1000 ? 10 ? 5000 ? 35 ? 9000 ? 5 ? 4600 元, 50

所以商家在过去 50 周周总利润的平均值为 4600 元. ………………………………………………12 分

20. 解: (1)抛物线的准线方程为 x ? ?

p , 2 p 所以点 E ? 2,t ? 到焦点的距离为 2 ? ? 3 .…………………………………………………………1 分 2
解得 p ? 2 . 所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .………………………………………………………………………2 分
2

(2)解法 1:设直线 l 的方程为 x ? my ?1? m ? 0? .………………………………………………………3 分 将 x ? my ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得 y ? 4my ? 4 ? 0 , ………………………………………………4 分
2 2

由 ? ? ? 4m ? ? 16 ? 0 ,解得 m ? 1 .……………………………………………………………………5 分
2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D ? x1 , ? y1 ? , 则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? 4 ,……………………………………………………………………………6 分 因为 FA · FB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 ? (1 ? m2 ) y1 y2 ? 2m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 8 ? 4m2 ,………………7 分 因为 FA ? FB ,所以 FA?FB ? 0 . 即 8 ? 4m2 ? 0 ,又 m ? 0 ,解得 m ? 2 .…………………………………………………………8 分 所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 设 AB 的中点为 ? x0 , y0 ? , 则 y0 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

y1 ? y2 ? 2m ? 2 2 , x0 ? my0 ?1 ? 3 ,…………………………… ………………………9 分 2

所以直线 AB 的中垂线方程为 y ? 2 2 ? ? 2 ? x ? 3? . 因为 AD 的中垂线方程为 y ? 0 , 所以△ ABD 的外接圆圆心坐标为 ? 5,0 ? .……………………………………………………………10 分 因为圆心 ? 5,0 ? 到直线 l 的距离为 d ? 2 3 ,且 AB ? 1 ? m
2 2

2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 4 3 ,

? AB ? 所以圆的半径 r ? d ? ? ……………………………………………………………11 分 ? ?2 6. ? 2 ?
2 所以△ ABD 的外接圆的方程为 ? x ? 5 ? ? y ? 24 . …………………………………………………12 分 2

解法 2:依题意可设直线 l : y ? k ? x ?1?? k ? 0? .……………………………………………………3 分 将直线 l 与抛物线 C 联立整理得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . ………………………………………4 分
2 2 4 由 ? ? (2k ? 4) ? 4k ? 0 ,解得 0 ? k ? 1 .………………………………………………………5 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x 2 ? ?2 ?
2

4 , x1 x 2 ? 1. …………………………………………………………………………6 分 k2

所以 y1 y2 ? k ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) ? 4 , 因为 FA ? FB ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 8 ?

??? ? ??? ?

4 ,…………………………………………………7 分 k2

因为 FA ? FB ,所以 FA?FB ? 0 . 所以 8 ?

??? ? ??? ?

4 2 ? 0 ,又 k ? 0 ,解得 k ? .…………………………………………………………8 分 2 k 2

以下同解法 1.

21.解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . 当 b ? 2 时, f ? x ? ? a ln x ? x ,所以 f ? ? x ? ?
2

a 2x2 ? a ? 2x ? .………………………………1 分 x x

① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.………………………………2 分 ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ?

a ? , 2

?

? a a? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递减; ? 2? 2 ? ?

当x?

? ? a a ? , ?? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ? ? ? 上单调递增.………………………3 分 2 2 ? ?

综上所述,当 b ? 2 , a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 当 b ? 2 , a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?

? ? ?

? ? a? a 上单调递减,在 ? ? , ?? ? 上单调递增.………4 分 ? ? ? 2 2? ? ? ?

(2)因为对任意 x ?

?1 ? ,e ,有 f ? x ? ? e ? 1 成立,所以 f ? x ?max ? e ? 1 .……………………………5 分 ? ?e ? ?
b

b ? x ? 1? ?b 当 a ? b ? 0 即 a ? ?b 时, f ? x ? ? ?b ln x ? x , f ? ? x ? ? . ? bxb?1 ? x x
b

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 . 所以函数 f ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1,e? 上单调递增,…………………………………………7 分

?1 ? ?e ?

?1? f ? x ?max 为 f ? ? ? b ? e?b 与 f ? e? ? ?b ? eb 中的较大者.…………………………………………8 分 ?e?
设 g ? b ? ? f ? e ? ? f ? ? ? eb ? e?b ? 2b ? b ? 0 ? , 则 g? ?b? ? e ? e
b ?b

?1? ?e?

? 2 ? 2 eb ?e ? b ? 2 ? 0 ,

所以 g ? b ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,故 g ?b? ? g ? 0? ? 0 所以 f ? e ? ? f ? ? ,

?1? ?e?

b 从而 ? ? f ? x ?? ? max ? f ? e ? ? ?b ? e .………………………………………………………………………9 分

所以 ?b ? e ? e ? 1即 eb ? b ? e ? 1 ? 0 .
b

设 ? ?b? =e ? b ? e ?1 ? b ? 0 ? ,则 ?? ?b? =e ?1 ? 0 .…………………………………………………10 分
b

b

所 以 ? ? b ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. 又 ? ?1? ? 0 ,所以 eb ? b ? e ? 1 ? 0 的解为 b ? 1 .……………………………………………………11 分 因为 b ? 0 ,所以 b 的取值范围为 ? 0,1? .………………………………………………………………12 分

22.解: (1)因为曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 2sin ?

因为 ?

? x? ? 2 x, ? x? ? 2cos ?, ,则曲线 C2 的参数方程 ? .………………………………………………2 分 ? y ? ? y. ? y? ? 2sin ? .

所以 C2 的普通方程为 x?2 ? y?2 ? 4 .…………………………… ………………………………………3 分 所以 C2 为圆心在原点,半径为 2 的圆.……………… …………………………………………………4 分 所以 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 4 ,即 ? ? 2 .…………………………………………………………5 分

(2)解法 1:直线 l 的普通方程为 x ? y ? 10 ? 0 .…………………………………………………………6 分

? |2cos? ? 2sin? ? 10| |2 2cos(? + 4 ) ? 10| 曲线 C2 上的点 M 到直线 l 的距离 d ? .…………8 分 ? 2 2
当 cos ? ? +

? ?

? |2 2 ? 10| ?? =5 2 ? 2 .……………9 分 ? =1即 ? =2k ? ? 4 ? k ? Z ? 时, d 取到最小值为 4? 2
3? |2 2+10| ?? =2 ? 5 2 .………10 分 ? = ? 1 即 ? = 4 ? 2k ? ? k ? Z ? 时, d 取到最大值为 4? 2

当 cos ? ? +

? ?

解法 2:直线 l 的普通方程为 x ? y ? 10 ? 0 .…………………………………………………………6 分 因为圆 C 2 的半径为 2,且圆心到直线 l 的距离 d ?

| 0 ? 0 ? 10 | 2

? 5 2 ,…………………………7 分

因为 5 2 ? 2 ,所以圆 C 2 与直线 l 相离.………………………………………………………………8 分

所以圆 C 2 上的点 M 到直线 l 的距离最大值为 d ? r ? 5 2 ? 2 ,最小值为 d ? r ? 5 2 ? 2 .…10 分

23.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| .……… …………………………………………………………1 分 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 .…………………………………2 分 ②当 ?1 ? x ? ? ③当 x ? ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 ,此时原不等式无解.……3 分 2

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 .…………………………………………4 分 2

综上可知,原不等式的解集为 x x ? ?1 或 x ? 1? .…………………………………………………5 分

?

x ? ?3, ?3 ? a, ? (2)解法 1:①当 a ? 3 时, g ? x ? ? ? ?2 x ? a ? 3, ? 3 ? x ? ? a, ………………………………………6 分 ?a ? 3, x ? ? a. ?
所以函数 g ? x ? 的值域 A ? ? a ? 3,3 ? a? , 因为 [?2,1] ? A ,所以 ?

?a ? 3 ? ?2, 解得 a ? 1 . ………………………………………………………7 分 ?3 ? a ? 1,

x ? ? a, ?3 ? a, ? ②当 a ? 3 时, g ? x ? ? ? 2 x ? a ? 3, ? a ? x ? ?3, …………………………………………………8 分 ? a ? 3, x ? ?3. ?
所以函数 g ? x ? 的值域 A ? ?3 ? a, a ? 3? , 因为 [?2,1] ? A ,所以 ?

?3 ? a ? ?2, 解得 a ? 5 .………………………………………………………9 分 a ? 3 ? 1 , ?

综上可知, a 的取值范围是 ? ??,1? ? ?5, ??? .………………………………………………………10 分 解法 2:因为 | x+a | ? | x+3| ?

? x +a ? ? ( x +3)

? a ? 3 ,……………………………………………7 分

所以 g ? x ? ? f ( x)? | x+3|?| x+a | ? | x+3|?[? | a ? 3|,| a ? 3|] . 所以函数 g ( x) 的值域 A ? [? | a ? 3 |,| a ? 3 |] . …………………………………………………………8 分 因为 [?2,1] ? A ,所以 ?

?? | a ? 3 |? ?2, 解得 a ? 1 或 a ? 5 . ?| a ? 3 |? 1,

所以 a 的取值范围是 ? ??,1? ? ?5, ??? .………………………………………………………………10 分


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