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揭阳市2011年高中毕业班高考第二次模拟考理科数学答案


高中毕业班第二次高考 高考模拟考 揭阳市 2011 年高中毕业班第二次高考模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明 数学(理科)
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 比照评分标准制订相应的评分细则. 比照评分标准制订相应的评分细则. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 就不再给分. 误,就不再给分. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 只给整数分数. 四、只给整数分数 y=2x-2 y 选择题: 一.选择题:DCBD CDCD y=x+1 x=1 解析: 解析:5.因命题 p 假,命题 q 真,所以答案选 C. 6.该三棱柱的侧视图是长为 4,宽为 2 3 的矩形,故选 D. 7. 由各选项知 a 取正值,设 ax + y = z ,结合图形易得当直线 y = ? ax + z 过点 (1, 0) 时, ax + y 取得最小值,故 a = 3 ,选 C. 8.已知直线 y = mx + 2m 过半圆 y =
x o 1 y=-ax+z

4 ? x 2 上一点(-2,0) ,
2

y

当m=0时直线与x轴重合,这时 P ( M ) = 1 ,故可排除 A,B,若m=1, 如图可求得当 P ( M ) =

π ?2 ,故选 D. 2π
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X -2

o

2

二.填空题: {x | 2 < x < 3 或 x > 3} ;10. 填空题:9.

5 、4; 11. 3;12.32; 13. x < 0 或 x > 3 ;14.5、 2 7 ; 3

15.

2 ?1 .

解析: 解析: 10.因 a = 3, b = 4 ? c = 5 ,所以 e =

4×5 5 4 ,焦点(5,0)到渐近线 y = x 的距离为 d = =4 3 3 5
2

11. AB ? AC = AC+CB ? AC = AC = 3 ,或 AB ? AC =| AB | ? | AC | cos A

(

)

=| AB | ? | AC |

| AC | =| AC |2 = 3 . | AB |
5 4 3 2

12.该框图是求多项式 a5 x + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 当 x = x0 = 1 时的值,依题意知

a5 x5 + a4 x 4 + a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = ( x + 1)5 ,故输出的v值为 (1 + 1)5 = 32 .
13.由定义得 | x ? 1| +1 >| x ? 2 | +4 ?| x ? 1| ? | x ? 2 |> 3 ,解得 x < 0 或 x > 3 .

第 1 页 共 6 页

14.依题意得△ADB∽△ACB ?

AD AB = ? AD ? AE = AC ? AB ? AD ( AD + DE ) = AC ? AB AC AE 6× 4 ? 9 DB AD DB ? AC ? DE = = 5 , DB = AB 2 ? AD 2 = 7 ,由 = ? EC = =2 7. 3 EC AC AD

15.将方程 ρ + 2 sin θ = 0 和 ρ s in(θ + 易得 M 与 N 的最小距离是为 2 ? 1 . 三.解答题: 解答题 解答 16.解: (1)在 ?ABC 中,由 S =

π
4

)=

2 2 2 化为普通方程得 x + y + 2 y = 0 x + y = 1 结合图形 2

3 1 bc cos A = bc sin A 2 2

得 tan A = 3 -------------------------------------------------------------------------------3 分 ∵0 < A <π ∴A=

π
3

-------------------------------------------5 分

(2)由 a = 3, A =

π
3

及正弦定理得

a c = = sin A sin C

3 3 2

= 2 ,------------7 分

2π ? x ) --------------------------9 分 3 π 2π 2π 2π ∵A= ∴0 < x < ∴0 < ?x< --------------------10 分 3 3 3 3 2π 2π ∴ 0 < sin( ? x ) ≤ 1 , 0 < 2sin( ? x) ≤ 2 3 3
∴ c = 2 sin C = 2sin(π ? A ? B ) = 2sin( 即 c ∈ (0, 2] ------------------------------------------------------------12 分 17.解: (1)从甲组应抽取的人数为

3 3 ×10 = 2 ,从乙组中应抽取的人数为 × 5 = 1 ;--------2 分 15 15 C62 2 = 2 C10 3

(2)从甲组抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率 P = 1 ?

1 1 2 C4C6 + C4 2 = )----------------------------------------------------5 分 (或 P = 2 C10 3

(3) ξ 的可能取值为 0,1,2,3-----------------------------------------------------6 分

P (ξ = 0) =

2 1 C4 C2 4 ? 1= ,------------------------------------------------------------7 分 2 C10 C5 75 1 1 1 1 2 C4C6 C2 C4 C3 22 ? 1+ 2 ? 1= ,---------------------------------------------8 分 2 C10 C5 C10 C5 75

P (ξ = 1) =

第 2 页 共 6 页

P(ξ = 3) =

1 C62 C3 1 ? 1 = ,---------------------------------------------------------------9 分 2 C10 C5 5

P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 0) ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 3) = P (ξ = 2) =
2 6 2 10 1 2 1 5 1 6 1 4 1 3 1 5

34 (或 75

0

1

2

3

C C CC C 34 ? + 2 ? = )-------10 分 C C C10 C 75

∴ ξ 的分布列如右

Eξ = 0 ×

4 22 34 1 9 + 1× + 2 × + 3 × = ---------------------------------12 分 75 75 75 5 5

18.解:(1)设数列 {a n } 的公差为 d ( d > 0 )数列 {bn } 的公比为 q , 则 an = 1 + ( n ? 1) d ,

bn = 2q n ?1 .------------------1 分
2

依题意得 b2 S 2 = 2q (2 + d ) = 16 , b3 S3 = 2q (3 + 3d ) = 72 由此得 ?

?q(2 + d ) = 8 ?q (1 + d ) = 12
2
n

∵ d > 0 ,解得 ?

?d = 2 .----------------------5 分 ?q = 2

∴ an = 2n ? 1 , bn = 2 .----------------------------------------------6 分 (2) ∵ T2 n +1 = c1 + a1 + ( a2 + b1 ) + a3 + ( a4 + 2 ? b2 ) + ??? + a2 n ?1 + ( a2 n + nbn ) = 1 + S 2 n + (b1 + 2b2 + ??? + nbn ) ---------------------------------------9 分 令 A = b1 + 2b2 + ? + nbn 则 A = 2 + 2 ? 2 +? + n ? 2
2 n

2 A = 22 + 2 ? 23 + ? + (n ? 1)2n + n ? 2n +1 ? A = 2 + 2 2 + ? + 2n ? n ? 2n +1 ,∴ A = n ? 2 n +1 ? 2n +1 + 2 -----------------12 分
又 S2 n =

2n(1 + a2 n ) = 4n 2 , 2
2 n +1

∴ T2 n +1 = 1 + 4n + n ? 2

? 2n +1 + 2 = 3 + 4n 2 + (n ? 1)2n +1 .-------------------14 分

19. (1)证明:∵ABCD 为矩形 ∴ AD ⊥ AB 且 AD // BC --------------------------------------1 分 ∴ DA ⊥ PB 且 AB ∩ PB = B --------------------2 分 ∵ BC ⊥ PB ∴ DA ⊥ 平面 PAB ,又∵ DA ? 平面 PAD ∴平面 PAD ⊥ 平面 PAB -----------------------------------------5 分
第 3 页 共 6 页

(2) ∵ VD ? PAC = VP ? DAC = VP ? ABC = VC ? PAB ----------------------------------7 分 由(1)知 DA ⊥ 平面 PAB ,且 AD // BC ∴ VC ? PAB = ∴ BC ⊥ 平面 PAB -------------8 分

1 1 1 1 3 3 S ?PAB ? BC = ? PA ? AB ? sin ∠PAB ? BC = × 1× 2 × ×1 = ----10 分 3 3 2 6 2 6
z D C

(3)解法 1:以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如 右图示,则依题意可得 D (0, 0,1) , C (0, 2,1) , P (

3 1 , ? , 0) 2 2
P

A

B y

可得 CP = (

3 5 , ? , ?1) , ----------------------------12 分 2 2

x

平面 ABCD 的单位法向量为 m = (1, 0, 0) ,设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 θ ,

D

C

3 π 6 m ? CP 2 = = 则 cos( ? θ ) = 2 8 | m | ? | CP | 3 25 + +1 1× 4 4
∴ sin θ =

E A

B

P 6 6 ,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 .---------------------14 分 8 8

解法 2:由(1)知 DA ⊥ 平面 PAB ,∵ AD ? 面 ABCD ∴平面 ABCD⊥平面 PAB, 在平面 PAB 内,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E, 则 PE⊥平面 ABCD,连结 EC,则∠PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角-------------12 分 在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴ PE = ∴ PC =

3 2 2 2 ,又 PB = PA + AB ? 2 PA ? AB cos120 = 7 2

PB 2 + BC 2 = 2 2

3 PE 6 6 在 Rt△PEC 中 sin θ = = 2 = .即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 .--------14 分 8 PC 2 2 8
20.(1)解法1:设 A '( ? 3 , 0 ) ------------------------------ 1 分 则 | OM + OA | + | OM ? OA |=| OM ? OA ' | + | OM ? OA | = | MA ' | + | MA |= 4 > 2 3 ------ 4 分

∴动点 M 的轨迹为以 A 、 A ' 为焦点,长轴长为 4 的椭圆 -----------------5 分 由c =

3, 2a = 4 ? a = 2 ∴ b = a 2 ? c 2 = 1 ----------------------------- 6 分

∴ 动点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 + y 2 = 1 ---------------------------------7 分 4
第 4 页 共 6 页

[解法2:设点 M ( x, y ) , 则 OM + OA = ( x + 3, y ), OM ? OA = ( x ? 3, y ) ------------------------2 分 ∵ | OM + OA | + | OM ? OA |= 4 ∴ ( x + 3) + y + ( x ? 3) + y = 4 > 2 3 ------------------------------ 4 分
2 2 2 2

∴点 M 的轨迹 C 是以 ( ± 3, 0) 为焦点,长轴长为 4 的椭圆 ∴ a = 2, c =
2 2

------------5 分
y

3, ∴ b = a ? c = 1 --------------------------6 分

B E o D x

∴ 动点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 + y 2 = 1 ------------------7 分] 4

(2)由(1)知,轨迹 C 是椭圆

x2 + y 2 = 1 ,点 B( 0, 1) 是它的上顶点, 4

设满足条件的直线 l1 、 l2 存在,直线 l1 的方程为 y = kx + 1( k > 0) ----① 则直线 l2 的方程为 y = ?

1 x + 1 ,-------------②--------------------------------------------------------------8 分 k ? 8k ? 8k 2 ,则 yD = + 1 .--9 分 1 + 4k 2 1 + 4k 2

将①代入椭圆方程并整理得: (1 + 4k 2 ) x 2 + 8kx = 0 ,可得 xD = 将②代入椭圆方程并整理得: (4 + k 2 ) x 2 ? 8kx = 0 ,可得 xE = 由△BDE 是等腰直角三角形得 | BD |=| BE | ?

8k ?8 ,则 y E = + 1 .---10 分 2 4+k 4 + k2

?8k 2 ? 8k 2 2 8k 2 ?8 2 ( ) +( ) = ( ) +( ) 2 2 2 1 + 4k 1 + 4k 4+k 4 + k2

?

64k 2 64k 4 64k 2 64 + = + 2 2 2 2 2 2 (1 + 4k ) (1 + 4k ) (4 + k ) (4 + k 2 ) 2 k 2 (1 + k 2 ) 1+ k 2 k2 1 k 1 = ? = ? = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 + 4k ) (4 + k ) (1 + 4k ) (4 + k ) 1 + 4k 4 + k2

?

? k 3 + 4k = 1 + 4k 2 ? k 3 ? 1 = 4k 2 ? 4k ? (k ? 1)(k 2 + k + 1) = 4k (k ? 1) ----③--------12 分
∴ k = 1 或 k ? 3k + 1 = 0 -----④-----------------------------------------------------------------------13 分
2

∵方程④的根判别式 ? = 5 > 0 ,即方程④有两个不相等的实根,且不为 1. ∴方程③有三个互不相等的实根. 即满足条件的直线 l1 、 l2 存在,共有 3 组.-----------------------------------------------------------14 分 (注:只答存在 1 组,给 2 分)
第 5 页 共 6 页

21.解 (1)∵ f ( x ) = a ( x ? ) + 1 ? 21.解:
2

1 a

1 a

1 1 1 1 ≤ a ≤ 1 得 1 ≤ ≤ 3 ∴ N (a ) = f ( ) = 1 ? .-----------------------2 分 3 a a a 1 1 1 当 1 ≤ < 2 ,即 < a ≤ 1 时, M (a ) = f (3) = 9a ? 5 ,故 g ( a ) = 9a + ? 6 ;-----------3 分 a 2 a 1 1 1 1 当 2 ≤ ≤ 3 ,即 ≤ a ≤ 时, M (a ) = f (1) = a ? 1 ,故 g ( a ) = a + ? 2 .-------------4 分 a 3 2 a


1 1 1 ? a + ? 2, a ∈ [ , ]; ? ? a 3 2 -------------------------------------------------5 分 ∴ g (a) = ? 1 1 ?9a + ? 6, a ∈ ( ,1]. ? a 2 ? 1 1 1 < 0 ,∴函数 g (a ) 在 [ , ] 上为减函数;---------6 分 2 a 3 2 1 1 1 当 a ∈ ( ,1] 时, g '( a ) = 9 ? 2 > 0 ,∴函数 g ( a ) 在 ( ,1] 上为增函数,-------------7 分 2 a 2 1 1 1 ∴当 a = 时, g ( a ) 取最小值, g ( a ) min = g ( ) = ,-------------------------------8 分 2 2 2 1 故 g (a ) ≥ .------------------------------------------------------------------9 分 2 1 (3)∵当 a > 0 时,抛物线 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 开口向上,对称轴为 x = , a 1 ∴函数 f ( x ) 在 [ , +∞ ) 上为增函数,-----------------------------------------------------------10 分 a 1 1 (或由 f '( x ) = 2ax ? 2 ≥ 0 得 x ≥ ,∴函数 f ( x ) 在 [ , +∞ ) 上为增函数) a a 1 不妨设 x1 ≤ x2 ,由 x1 , x2 ∈ [ , +∞ ) 得 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) a
(2)∵当 a ∈ [ , ] 时, g '( a ) = 1 ? ∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ a | x1 ? x2 | ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ a ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? ax2 ≥ f ( x1 ) ? ax1

1 1 3 2

1 a a+2 a+2 1 1 1 ∵抛物线 y = ? ( x) 开口向上,对称轴为 x = ,且 = + > 2a 2a 2 a a 1 1 ∴函数 ? ( x ) 在 [ , +∞ ) 上单调递增,∴对任意的 x1 , x2 ∈ [ , +∞ ) , x2 ≥ x1 a a

令 ? ( x ) = f ( x ) ? ax = ax 2 ? ( a + 2) x + 1 , x ∈ [ , +∞ ) ----------------------------------12 分

有 ? ( x2 ) ≥ ? ( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? ax2 ≥ f ( x1 ) ? ax1 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ a | x1 ? x2 | -----------14 分

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