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2014年北约自主招生数学试题及解答


2014 年北约自主招生数学试题及解答
2014 年 3 月 6 日 一、选择题(每小题 8 分,合计 48 分) 1.圆心角为 A.

? 的扇形的面积为 6? ,则它围成的圆锥的表面积为( B ) . 3
B. 7? C. D.

1 ? 解:由 S扇形 ? ? R2 ? 6? ,得 R ? 6 ,由 2? r ? ? 6 ,得 r ? 1 , 6 3
故它围成的圆锥的表面积为: 6? ? ? r 2 ? 7? . 2.将 10 个人分为 3 组,一组 4 人,另两组各 3 人,共有( A.1070 解: N ? 3.已知 f ( B.2014 C.2100 C )种分法. D.4200

4 C10 C63C33 ? 2100 . 2

a ? 2b f (a) ? 2 f (b) , f (1) ? 1 , f (4) ? 7 ,则 f (2014) ? ( )? 3 3
B.4028 C.4029

A

) .

A.4027 解: f (2) ? f (

D.4030

4 ? 2 ?1 f (4) ? 2 f (1) 1? 2? 4 f (1) ? 2 f (4) )? ? 3 , f (3) ? f ( )? ?5, 3 3 3 3

猜想 f (n) ? 2n ?1 (n ? N*) ; 假设 f (n) ? 2n ? 1 对 n ? 3k (k ? 1) 都成立, 则 f (3k ? 1) ? 3 f (k ? 1) ? 2 f (1) ? 2(3k ? 1) ? 1 ,

f (3k ? 2) ? 3 f (k ? 2) ? 2 f (2) ? 2(3k ? 2) ?1 , f (3k ? 3) ? 3 f (k ? 3) ? 2 f (3) ? 2(3k ? 3) ?1 ,
所以 f (n) ? 2n ?1 (n ? N*) . 4.若 f ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的值域为 R ,则 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 1 B. C. D ) .

D. a ? 0 或 a ? 1

解:由题知: (0, ??) ? { y y ? x 2 ? 2ax ? a} , 故 ? ? (?2a)2 ? 4a ? 0 ,解得: a ? 0 或 a ? 1 . 5.已知 x ? y ? ?1 ,且 x 、 y 均为负实数,则 xy ?

1 有( xy

B

) .

1

A.最大值

17 4

B.最小值

17 4

C.最大值 ?

17 4

D.最小值 ?

17 4

解: 1 ? (? x) ? (? y) ? 2 xy ,得 0 ? xy ?

1 1 ,而函数 f (t ) ? t ? 在 (0, 1) 上单调递减, 4 t

1 17 1 1 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( xy) ? f ( ) ,即 xy ? ,当且仅当 x ? y ? ? 时取等号. ? xy 4 4 2
6.已知 f ( x) ? arctan A.0

? ? 2 ? 2x ? C 在 (? , ) 上为奇函数,则 C ? ( 1 ? 4x 4 4
C. arctan 2

B

) . D.不存在

B. ? arctan 2

解:由 f ( x) ? 0 ,得 C ? arctan(?2) ? ? arctan 2 , 此时 f ( x) ? f (? x) ? arctan

2 ? 2x 2 ? 2x 4 ? arctan ? 2C ? arctan(? ) ? 2arctan 2 ? 0 , 1 ? 4x 1 ? 4x 3

故 C ? ? arctan 2 符合题意. 二、解答题(每题 18 分,共 72 分) 7.证明: tan 3?? Q . 证明:假设 tan 3?? Q , 则 tan 6?? Q ? tan12?? Q ? tan 24?? Q ? tan 30? ? tan(6? ? 24?) ? Q , 这与 tan 30? ?

3 ? Q 矛盾. 3

8.已知实系数二次函数 f ( x) 和 g ( x) ,若方程 f ( x) ? g ( x) 和 3 f ( x) ? g ( x) ? 0 都只有一个偶重根, 方程 f ( x) ? 0 有两个不等的实根,求证:方程 g ( x) ? 0 没有实根. 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , g ( x) ? dx 2 ? ex ? f , ad ? 0 , 所以 (b ? e)2 ? 4(a ? d )(c ? f ) , (3b ? e)2 ? 4(3a ? d )(3c ? f ) , 所以 3b2 ? e2 ? 12ac ? 4df ,又因为 b2 ? 4ac ? 0 , 所以 ? g ( x ) ? e2 ? 4df ? ?4(b2 ? 4ac) ? 0 ,所以方程 g ( x) ? 0 没有实根. 9.已知 a1 , a2 ,…, a13 成等差数列, M ? {ai ? a j ? ak 1 ? i ? j ? k ? 13} , 问:0,

7 16 , 是否可以同时在 M 中?并证明你的结论. 3 2

解:设该数列的公差为 d , ∴ ?p 、 q 、 r ? N * , 3a1 ? pd ? 0 , 3a1 ? ( p ? q)d ?

7 16 , 3a1 ? ( p ? q ? r )d ? , 3 2
2



q 21 ,∴ q ? 21 , p ? 11 ,又由于 p ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ,∴ p ? q ? r ? 35 , ? r 11 7 16 , 不可以同时在 M 中. 2 3
n

又 p ? q ? r ? 12 ? 11 ? 10 ? 33 ,与上式矛盾,故 0,
n

10. xi ( i ? 1 ,2,…, n )为正实数,且 ? xi ? 1 ,求证: ? ( 2 ? xi ) ? ( 2 ? 1) n .
i ?1 i ?1

解:由 AM ? GM 不等式得:

1 n 2 (? )? n i?1 xi ? 2

2
n

? (x ?
i i ?1

n

2)

xi 1 n , (? )? n i?1 xi ? 2

1
n

? (x ?
i i ?1

n



2)

两式相加得: 1 ?
n

2 ?1

? (x ?
i i ?1

n

,故 ? ( 2 ? xi ) ? ( 2 ? 1) n .

n

2)

i ?1

3


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