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2010全国高考数学1卷试题(理科)解析+word版


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

3 V ? ? R3 4
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k (k ? 0,1, 2, …n)

一.选择题 (1)复数

(A)i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】

3 ? 2i ? 2 ? 3i

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? ? ?i. 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用.
第 1 页 共 9 页

? 2 ? 2 ? 2 ? 【解析】 sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,所以 tan100? ? ? tan80

sin 80? 1? k 2 ?? ?? . cos80? k
? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图) ,由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最大值为

zmax ? 1 ? 2 ? (?1) ? 3 .

y
x? y ?0
A

y?x l0 : x ? 2 y ? 0
L0

1

O

2
A

x

x? y?2 ? 0

?2

(4) 已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2 a3 =5,a7 a8 a9 =10, 则 a4aa6 = 5 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 】
3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2 a3 ? (a1a3 )?a2 ? a2 ? 5 ,

3 a7 a8 a9 ? (a7 a9 )?a8 ? a8 ? 10,所以 a2 a8 ? 50 3 ,

1

所以 a4 a5a6 ? (a4 a6 )?a5 ? a ? ( a2 a8 ) ? (50 ) ? 5 2
3 5 3

1 6 3

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是
第 2 页 共 9 页

展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项 式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】 (1 ? 2 x ) (1 ? 3 x ) ? (1 ? 6 x ? 12 x ? 8 x x )(1 ? 3 x )
3 5 5



(1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5













x







3 0 1? C5 (? 3 x )3 ? 12 xC5 ? ?10 x ? 12 x ? ?2 x ,所以 x 的系数为-2.

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的 数学思想.
【解析】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3C4
1 2

1 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C4 种不同的 1 1 选法.所以不同的选法共有 C3C42 + C32C4 ? 18 ? 12 ? 30 种.

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. A1 D A 【解析】 因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 O C B D1 B1 C1

AC D1 所成角和 DD1 与平面 AC D1 所成角相

第 3 页 共 9 页

等 , 设

DO ⊥ 平 面

AC D1 , 由 等 体 积 法 得 VD? ACD ? VD ? ACD , 即
1 1

1 1 S?ACD1 ? DO ? S?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3
则 S?ACD1 ?

1 1 3 3 2 1 1 AC ?AD1 sin 60? ? ? ( 2a) 2 ? ? a , S?ACD ? AD? ? a 2 . CD 2 2 2 2 2 2
S ?A C D D D ? 1 a3 3 ? ? a, 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 ? , 则 2 S ?A C 1D 3 3a

所 以 D O?

sin ? ?

DO 3 6 ? ,所以 cos ? ? . DD1 3 3
? 1 2

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5

,则

A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 ? log 2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log 2 4 ? log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5
2 2

(9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 60 ,则 P
0

到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数 学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【 解 析 】 不 妨 设 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

| PF1 |? e[ x0 ? (?
弦定理得 cos∠ F1 P F2 =

a2 a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 , | PF2 |? e[ x0 ? )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 .由余 c c

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 (1 ? 2 x0 ) 2 ? ( 2 x0 ? 1) 2 ? (2 2) 2 0 ,即 cos 60 ? , 2 | PF1 || PF2 | 2(1 ? 2 x0 )( 2 x0 ? 1)

解得 x0 ?
2

6 5 3 2 2 ,所以 y0 ? x0 ? 1 ? ,故 P 到 x 轴的距离为 | y0 |? 2 2 2
第 4 页 共 9 页

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在 做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b ? a ? A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a) ? a ? 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 ? 2 2 ,从而错选 a

1 2 ,所以 a+2b= a ? a a

2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f (a ) 在 a?(0,1)上 a

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1
??? ??? ? ?

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? ,则∠APB= 2? , PO= 1 ? x , sin ? ?
2

A

1 1 ? x2



O

P

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x 2 (1 ? 2sin 2 ? ) = = 2 x2 ? 1 x ?1
,令 PA ? PB ? y ,则 y ?

B

??? ??? ? ?

x4 ? x2 4 2 2 ,即 x ? (1 ? y ) x ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 2 x ?1

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB) min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

??? ??? ? ?

2 ?1 .

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
第 5 页 共 9 页

【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 3 2 3
Vmax ? 4 3 . 3

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 ......... 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)
(13)不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 的解集是
2

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于 ?

? 2 x 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 , ?x ?1 ? 0

解得 0≤x≤2.

(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? 14. ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

.

1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【 解 析 】 因 为 ? 为 第 三 象 限 的 角 , 所 以 2? ? ( 2( 2 ? 1) ? ? 2( 2? k ? , k

? k )( Z , 又 1) ? )

3 ? 4 c o s 2 ? ? <0, 所以 2? ? ( ? 2(2 k ?1)? , ? ? 2(2 k ?1) ? )( k ? Z) ,于是有 sin 2? ? , ? 5 2 5

第 6 页 共 9 页

4 ? tan ? tan 2? 1 ? sin 2? 4 ? 3 ??1. 4 tan 2? ? ? ? ,所以 tan( ? 2? ) ? ? ? 4 cos 2? 3 4 7 1 ? tan tan 2? 1 ? 4 3
(15)直线 y ? 1与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

.

15.(1, ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解 法,着重考查了数形结合的数学思想. 【 解 析 】 如 图 , 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 画 出 直 线 y ?1 与 曲 线

5 4

1 x?? 2
a

y

x?

1 2

y ? x2 ? x ? a
y=1 x

?a ? 1 ? y ? x ? x ? a 观 图 可 知 , a 的 取 值 必 须 满 足 ? 4a ? 1 , 解 得 , ? 4 ?1 ?
2

O

y?

4a ? 1 4

5 . 4 (16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , uu r uur 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为 . 1? a ?
16.

2 3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |? b ? c ? a ,
2 2

y
B

uu r uur 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得
| OF | | BF | 2 3 3 ? ? ,所以 | DD1 |? | OF |? c , | DD1 | | BD | 3 2 2
即 xD ?

O D1

F
D

x

a 2 3c 3c 2 3c ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? c 2 2a 2 3c 2 2 2 ,整理得 3c ? 2a ? ac ? 0 . a

又由 | BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ?
2
2

2 . 3 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ?
第 7 页 共 9 页

(17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) ............
已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角

C.
17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的 边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 5, 3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、 分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思 想、化归与转化思想.
(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, ? 底面 ABCD, SD AB//DC, ? DC, AD AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面 角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想.
第 8 页 共 9 页

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,
2

点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ??? ? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力, 同时考查了数形结合思想、设而不求思想.. (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an ?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础 知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透 了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

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