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2012届高三数学一轮复习基础导航:8.4空间向量的应用

8.4 空间向量的应用
【考纲要求】 考纲要求】 理解直线的方向向量与平面的法向量. 1、 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 3、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题, 4、 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了 解向量方法在研究几何问题中的应用. 解向量方法在研究几何问题中的应用. 基础知识】 【基础知识】 空间直线、平面位置(平行和垂直) 一、空间直线、平面位置(平行和垂直)关系的判定和证明 空间直线、平面位置(平行和垂直)关系的判定和证明一般有两种方法 空间直线、平面位置(平行和垂直)关系的判定和证明一般有两种方法。 方法一(几何法) 线线(平行或垂直) :线线 方法一(几何法) 线线(平行或垂直) : 线面(平行或垂直) 线面(平行或垂直) 面面(平行或垂直) 面面(平行或垂直)

[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 来源: 它体现的主要是一个转化的思想。 它体现的主要是一个转化的思想。 方法二(向量法) 它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。 :它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性 方法二(向量法) 它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。 : 的方向向量, 其中向量 a, b 是直线 a, b 的方向向量,且 a = ( x1 , y1 , z1 ), 是平面的法向量, 向量 m, n 是平面的法向量,且 m = ( x3 , y3 , z3 ),

r r

r

r b = ( x2 , y2 , z2 )

ur r

ur

r b = ( x4 , y4 , z4 )
rr

直线a 直线b ? a b ? x1 = λ x2 , y1 = λ y2 , z1 = λ z 2 (其中a, b分别为直线a,b的方向向量)

r r

直线a ⊥ 直线b ? a ⊥ b ? a b = 0 ? x1x2 + y1 y2 + z1 z 2 = 0 (其中a, b分别为直线a,b的方向向量)

r

r

rr

rr

直线a 平面α ? a ⊥ m ? a m = 0 ? x1x3 + y1 y3 + z1 z3 = 0 (其中a为直线a的方向向量, 为平面α的法向量) m

r

u r

ru r

r

u r

直线a ⊥ 平面α ? a m ? x1 = λ x3 , y1 = λ y3 , z1 = λ z3 (其中a为直线a的方向向量, 为平面α的法向量) m

r u r

r

u r

平面α 平面β ? m n ? x3 = λ x4 , y3 = λ y4 , z3 = λ z 4 (其中m, n分别为平面α,β的法向量) 平面α ⊥ 平面β ? m ⊥ n ? m n = 0 ? x3 x4 + y3 y4 + z3 z 4 = 0 (其中m, n分别为平面α,β的法向量)

u r r u r

u r r

r

u r r

u r r

二、空间角和距离的计算 空间角和距离的计算 的计

空间的角和 距离[来源: 距离[来源: 学科网][ ][来 学科网][来 源 :学 _科 _ 网 Z_X_X_K][来 Z_X_X_K][来

定义

范围[来源: 范围[来源: 学科网 ZXXK][来 ZXXK][来 源:学科 ][来源 来源: 网][来源:

计算方法[来源:学科网] 计算方法[来源:学科网] 其它 几何法 向量法

源:学科网] 学科网] 直线 a, b 是异 面直线, 经过 面直线, 空间任意一 点O , 分别引 直线 a1 ∥ a , b1 ∥ b , 异面直线所 成的角 我

学 *科 *网 Z*X*X*K]

们把直线 a1 和 b1 所成的 锐角( 锐角(或直 角) 叫做异面 直线 a 和 b 所 成的角。 成的角。

π α ∈ (0, ]
2

找 → 作(平 移法) 移法) → 证 定义) (定义) → 指 → 求(解 三角形) 三角形)

ur r m?n cos α = ur r m n

斜线在平面 上的射影和 斜线和平面 斜 线 所 成 的 角叫做斜线 所成的角 和平面所成 的角。 的角。 以二面角的 棱上任意一 点为端点, 在两个面内 平面和平面 分别作垂直 所成的角 二 ( 于棱的两条 面角的平面 射线,这两 角) 条射线所成 的角叫做二 面角的平面 角。 过平面外一 点 P 作平面 的垂线, 点到平面的 α 的垂线, 垂 距离 足为 O , P 点 和 O 点之间 的线段的长

π θ ∈ (0, )
2

找 → 作(定 义法) 义法) → 证 定义) (定义) → 指 → 求(解 三角形) 三角形)

uuu r r AB ? n sin α = uuu r r AB n

θ ∈ [0, π ]

找 → 作(定 义法、 义法、三垂 线法) 线法) → 证 (注意先通过 定义) (定义) → 观察二面角的 指 → 求(解 大小选择“ 大小选择“ ± ” 三角形) 三角形) 号)

ur r m?n cos α = ± ur r m n

找 → 作(定 义法) 义法) → 证 定义) (定义) → 指 → 求(解 三角形) 三角形)

uuu r r PA ? n h= r n

等体积法

( A ∈α )

度叫点 P 到 平面 α 的距 离。
几何法主要体现的是一个转化的思想,即把空间的问题转化为一个平面的问题。 几何法主要体现的是一个转化的思想,即把空间的问题转化为一个平面的问题。 三、空间几何的探究性问题 方法一: 证明(几何法和向量法)方法二:先假设存在,然后探究,最后检验。 方法一:猜想 → 证明(几何法和向量法)方法二:先假设存在,然后探究,最后检验。 四、空间几何中的最值问题 最值六法,一般用函数求最值。 最值六法,一般用函数求最值。 例题精讲】 【例题精讲】 例1 已知一四棱锥 的三视图如下, 上的动点。 已知一四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下, E 是侧棱 PC 上的动点。

的体积; (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; 在何位置, 证明你的结论; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD ⊥ AE ?证明你的结论; 的中点, 大小. (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D ? AE ? B 的大小.

的正方形, 解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 由该四棱锥的三视图可知, PC⊥ ABCD, ---------------------------------2 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ---------------------------------2 分 ∴ VP ? ABCD =

1 S 3

ABCD

? PC =

2 ----------------------------4 ----------------------------4 分 3

在何位置, D⊥AE--------------------------------------AE---------------------------------------5 (2) 不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE---------------------------------------5 分 证明如下: AC, 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正 方形 PC⊥ BD⊥PC-------- ---7 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC-------- ---7 分 又∵ AC I PC = C ∴BD⊥平面 PAC BD⊥平面 ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC 在何位置, D⊥AE ∴ 不 论 点 E 在 何 位 置 , 都 有 BD⊥AE

----------------------------------------------9 ----------------------------------------------9 分 DG⊥ (3) 解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G,连结 BG ∵CD=CB,EC=EC, ∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA ∴BG⊥EA ∴ ∠DGB 为 二 面 角 D - EA - B --------------------------1 --------------------------12 分 ∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE 在 Rt△ADE 中 DG =

的 平 面 角

AD ? DE 2 = =BG AE 3

DB 2 + BG 2 ? BD 2 = 在△DGB 中,由余弦定理得 cos ∠DGB = 2 DB ? BG
∴ ∠DGB =

2 2× ? 2 1 3 =? 2 2 2× 3

z P

2π -----------------------14 -----------------------14 分 3

为坐标原点, 所在的直线为x 直角坐标系如图示: [解法2:以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立空间 直角坐标系如图示: 解法2 则

E

D (1, 0, 0), A(1,1, 0), B (0,1, 0), E (0, 0,1)

,

x 从D


C

uuur uuu r uuu r uuu r DE = (?1, 0,1), DA = (0,1, 0), BA = (1, 0, 0), BE = (0, ?1,1) --------------11 分 --------------11
A

ur r 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 m = ( a, b, c ), n = ( a ', b ', c ')
由法向量的性质可得: 由法向量的性质可得: ? a + c = 0, b = 0 , a ' = 0, ?b '+ c ' = 0 ------13 令 c = 1, c ' = ?1 ,则 a = 1, b ' = ?1 ,∴ m = (1, 0,1), n = (0, ?1, ?1) ------13 分

y

B

ur

r

ur r m?n 1 r =? 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ ,则 cos θ = uur 2 | m |?| n |
∴θ = 例2

如图, AD//BC//FE, AD, 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ⊥ 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ⊥ AD,M 为 EC

2π 3

的中点, 的中点,AF=AB=BC=FE=

CDE; (II) 证明平面 AMD ⊥ 平面 CDE; III) CD- 的余弦值。 (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。 如图所示,建立空间直角坐标系, 解: 1)如图所示,建立空间直角坐标系, (

1 AD 2

所成的角的大小; (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;

0, C 1, 点 A 为 坐 标 原 点 。 设 AB = 1, 题 意 得 B(1,0 ), (1,0 ), 依 F(0,1), 0,

D(0,0 ), E (0, ), 2, 1, 1

?1 1? M? , ?. 1, ?2 2?

BF ,1) ? 1) (I) 解: = (? 1 0,, DE = (0, 1,,
于是 cos BF, = DE BF ? DE BF DE = 0 + 0 +1 1 = . 2? 2 2
0

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .

0, 2, 1, (II)证明:由AM = ? , ?, CE = (? 1,1), AD = (0, 0 ),可得CE ? AM = 0 , II)证明:
CE ? AD = 0.因此,CE ⊥ AM,CE ⊥ AD.又AM I AD = A,故CE ⊥ 平面AMD.
而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ⊥ 平面CDE.
(III) 解:设平面CDE的法向量为u = ( x,y,z ),则? III)

?1 ?2

1? 2?

?u ? CE = 0, ? ?u ? DE = 0. ?

?? x + z = 0, 于是? 令x = 1,可得u = (1,1) 1,. ? ? y + z = 0.
又由题设, 0, 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v = (0,1).

所以, u,v = cos

u ? v 0 + 0 +1 3 = = . uv 3 3 ?1

8.4 空间向量的应用强化训练
【基础精练 】 1.如图, ABCC,D、 的中点,DE⊥平面 1.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥A C,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 如图 (Ⅰ)证明:AB=AC 证明: (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。 BD60°,求 所成的角的大小。 B1 D E A C B A1

C1

是矩形 例 2 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ⊥ 平面 ABCD ,PA = AD = 4 ,

AB = 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N . 为球心、
(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; 求证: 所成的角的正弦值; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; 的距离. (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.
N M P

A

D

O B C

【拓展提高】 拓展提高】 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点, = m 。 上的一点, CP 1. 如图,

、试确定 (Ⅰ) 试确定 m ,使直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正切值为 3 2 ; 、

、在线段 (Ⅱ) 在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D1Q 在平面 APD1 上的射 、 并证明你的结论。 影垂直于 AP ,并证明你的结论。

D1 A1 B1
D A B

C1

C

【基础精练参考答案】 基础精练参考答案】

A1 B1 D E A

C1

C B

AF, 为平行四边形, AF//DE。 DE⊥ AF⊥ 连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥平面 BCC1 , AF⊥BC, 的垂直平分线, AB=AC。 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 AG⊥BD, CG。 CG⊥BD, BD(Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G, 连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C
0. 的平面角。 的平面角。由题设知 ,∠AGC=60 . 0.

AC=2, 设 AC=2,则 AG=

2 AB=2, 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3 2 . AD 2 + 22 ,解得 AD= 2 。 3

由 AB ? AD = AG ? BD 得 2AD=

AD=AF。 AD⊥AF, 为正方形。 故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A, BC⊥ DEF, BCD⊥ DEF。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 AE、DF, AE∩DF=H, EH⊥DF,EH⊥ BCD。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 CH, 所成的角。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 为正方形, EH=1, 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
0

1 B1C =2 , 2
0

0 0 所以∠ 所以∠ECH=30 ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 .

解法二: 解法二: 为坐标原点, 轴的正半轴,建立如图所示的直 (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直 xyz。 角坐标系 A—xyz。

,C ,D ,则 2c),E( 设 B(1,0,0) C(0,b,0) D(0,0,c) 则 B1 (1 ,0,2c),E( , , ,


1 b , , c) . 2 2

于是 DE =(

→ → → 1 b b,0) DE⊥ DE⊥BC, =0, , ,0) BC =(-1,b,0).由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, DE ? BC =0, , 2 2

b=1, 求得 b=1,所以

AB=AC。 AB=AC。
→ → → → →

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN = ( x, y , z ), 则 AN ? BC = 0, AN ? BD = 0.


, 又 BC =(-1,1, 0)
→ ?? x + y = 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x + cz = 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 → 1 , AN =(1,1, ). c c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0) 60° AC =60° 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN , =60°,



AN ? AC = AN ? AC ? cos60 °,求得 c =

1 2

于是

AN = 1, 2) , CB1 = (1, 1, 2) ( 1, ?
cos AN, 1 = CB AN ? CB1 AN ? CB1 = 1 , 2

AN, 1 = 60 ° CB
30° 所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° :方法一: (1 依题设知, 是所作球面的直径, M⊥MC 2【解析】 方法一: 1)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 ( A⊥ ABCD, PA⊥CD, CD⊥AD, 又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, CD⊥平面PAD, CD⊥AM, PAD,则 M⊥ PCD, 所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM,所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥ PCD。 所以平面 ABM⊥平面 PCD。 (2)由(1)知, AM ⊥ PD ,又 PA = AD ,则 M 是 PD 的中点可得

AM = 2 2 , MC = MD 2 + CD 2 = 2 3 1 则 S ?ACM AM ? MC = 2 6 2 设 D 到平面 ACM 的距离为 h , 由 VD ? ACM = VM ? ACD 即 2 6h = 8 ,
可求得 h =

2 6 , 3

设所求角为 θ ,则 sin θ =

h 6 6 = , θ = arcsin 。 CD 3 3 PN PA 8 (1) 可求得 PC=6。因为 AN⊥NC,由 PC=6。 AN⊥NC, = ,得 PN = 。所以 NC : PC = 5 : 9 。 PA PC 3 5 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。 9 5 10 6 的中点, 的距离相等, 又因为 M 是 PD 的中点, P、 到平面 ACM 的距离相等, (2) 则 D 由 可知所求距离为 h = 。 9 27
z P M

方法二: 方法二: (1)同方法一; 同方法一; 如图所示, 建立空间直角坐标系, ( 2 ) 如图所示 , 建立空间直角坐标系 , 则 A(0,0,0) , P (0,0, 4) , B (2,0, 0) , C (2, 4, 0) , D (0, 4,0) , M (0, 2, 2) ;设平面 ACM 的一

r r uuur r uuuu r ?2 x + 4 y = 0 可得: 个法向量 n = ( x, y , z ) ,由 n ⊥ AC , n ⊥ AM 可得: ? ,令 ?2 y + 2 z = 0 z = 1 ,则 uuu r r r CD ? n 6 n = (2, ?1,1) 。设所求角为 α ,则 sin α = uuu r = r , 3 CD n
所以所求角的大小为 arcsin

N
A

D y

O
B x C

6 。 3
2

( 3 ) 由 条 件 可 得 , AN ⊥ NC . 在 Rt ?PAC 中 , PA = PN ? PC , 所 以 PN =

8 ,则 3

NC = PC ? PN =

10 NC 5 5 = , , 所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 , 设点 P 3 PC 9 9

uuu r r AP ? n 2 6 5 10 6 到平面 ACM 距离为 h 则 h = r = ,所以所求距离为 h = 3 9 27 n
【拓展提高参考答案】 拓展提高参考答案】 1.【解析】本小题主要考查线面关系 主要考查线面关系、 1.【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和 推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法1 (1 解法1: 1) 连AC , 设AC I BD = O, (

AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 I 面APC = OG ,
故 OG // PC 。所以 OG =

1 m PC = 。 2 2

又 AO ⊥ DB, AO ⊥ BB1 , 所以AO ⊥ 面BDD1 B1   . 故 ∠AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。

2 1 tan 在 Rt △ AOG中, AGO = 2 = 3 2 ,即 m = . m 3 2 1 故当 m = 时,直线 AP与平面BDD1 B1 所成的角的正切值为3 2 。 3
(Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使 得 D1 Q ⊥ AP . 依题意, 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ⊥ A1 C1 . D1 O1 ⊥ AA1 ,所以 D1 Q ⊥ 面ACC1 A1 . 又 AP ? 面ACC1 A1 . ,故 D1 O1 ⊥ AP 。 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 解法二: (1 建立如图所示的空间直角坐标系, 解法二: 1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 ( A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 BD = ( ?1, ?1, 0), BB1 = (0, 0,1),

uuu r

uuuu r

uuu r uuur AP = (?1,1, m), AC = (?1,1, 0).
的一个法向量. 又由 AC ? BD = 0, AC ? BB1 = 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量.

uuur uuu r

r uuur uuuu

uuur

设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角 为 θ ,

uuu uuur r | AP ? AC | 2 r uuur = 则 sin θ = cos( ? θ ) = uuu 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 + m2

π

2
依题意有: 依题意有:

2 ? 2 + m2

=

3 2 1 + (3 2)2

,解得 m =

1 . 3