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第四章


圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点;
2
2

2
2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离

d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 为 d ? Aa ? Bb ? C , 则有 d ? r ? l与C相离 ;
A2 ? B 2

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当d

? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

1

当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

圆的方程

基础自测
1.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( A.a<-2 或 a> C.-2<a<0 答案 是 ( D
2 2 2 2 2

2 3

B.-

2 <a<0 3 2 3

D.-2<a<

2.(2009·河南新郑模拟)圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则 ab 的取值范围

1? ? A. ? ? ?, ? 4? ?
答案 A

? 1? B. ? 0, ? ? 4?

? 1 ? C. ? ? ,0 ? ? 4 ?

1? ? D. ? ? ?, ? 4? ?

2 2

3.过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 A.(x-3) +(y+1) =4 C.(x-1) +(y-1) =4 答案 C
2 2 2 2

B.(x+3) +(y-1) =4 D.(x+1) +(y+1) =4 (
2 2 2 2

2

4.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为 A.(x-2) +(y+1) =3 C.(x-2) +(y+1) =9 答案 C
2 2 2 2 2 2 2

B.(x+2) +(y-1) =3 D.(x+2) +(y-1) =9 )

2

5. (2009· 宜昌模拟) 直线 y=ax+b 通过第一、 三、 四象限, 则圆 (x+a)+(y+b) =r (r>0)的圆心位于 ( A.第一象限 C.第三象限 答案 B B. D.

例1

已知圆 C 的半径为 2, 圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程为 (
2 2 2 2



A.x +y -2x-3=0 C.x +y +2x-3=0 答案 D

B.x +y +4x=0 D.x +y -4x=0
2 2

2

2

2

例2

已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆

2

2

心坐标及半径.

解 方法一
2

将 x=3-2y,
2

代入方程 x +y +x-6y+m=0,

5y -20y+12+m=0. y1+y2=4,y1y2=
12 ? m . 5

2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

x1=3-2y1,x2=3-2y2.

5 ? 1 ? ∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为 ? ? , 3 ? ,半径 r= . 2 2 ? ?

方法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M, ∵O1M⊥PQ,∴ kO 即:y=2x+4.
1M

?2.

1? ? O1M 的方程为:y-3=2 ? x ? ? , 2? ?

? y ? 2x ? 4 . ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 2

解得 M 的坐标为(-1,2). 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1) +(y-2) =r . ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1) +(0-2) =r ,即 r =5,MQ =r . 在 Rt△O1MQ 中,O1Q =O1M +MQ .
1 ? (?6) 2 ? 4m ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? 1? ? (3-2) +5= 4 ? 2 ?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴m=3.∴半径为

5 ? 1 ? ,圆心为 ? ? ,3? . 2 ? 2 ?

方法三 设过 P、Q x +y +x-6y+m+ ? (x+2y-3)=0.
2 2

OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上. x +(1+ ? )x+y +2( ? -3)y=0.
2 2

∴m-3 ? =0,即 m=3 ? . x +y +x-6y+3 ? + ? x+2 ? y-3 ? =0
2 2

? 1 ? ? 2(3 ? ? ) ? ∴圆心 M ? ? , ? ,又圆在 PQ 上. 2 2 ? ?
∴1? ? +2(3- ? )-3=0,∴ ? =1,∴m=3. 2
2 2

5 ? 1 ? ? ? ,3? ,半径为 . 2 2 ? ?

例 3 (12 分)已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0. (1)求 y-x (2)求 x +y 的最大值和最小值.
2 2

3

解 (1)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或 最小值,此时

2?0?b 2

? 3 , ,解得 b=-2± 6 .

5分

所以 y-x 的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6 .
2 2

6分

(2)x +y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值.
( 0 ? 0)2 =2 又圆心到原点的距离为 ( 2 ? 0)2 ?
2 2 2 所以 x +y 的最大值是(2+ 3 ) =7+4 3

8

2 2 2 x +y 的最小值是(2- 3 ) =7-4 3 .

12

圆与直线方程
例 1 已知圆 x +y -6mx-2(m-1)y+10m -2m-24=0(m∈R). (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线 l (2)与 l (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
2 2 2

(1)证明 配方得:(x-3m) +[y-(m-1)] =25

2

2

? x ? 3m 设圆心为(x,y),则 ? , 消去 m ? y ? m ?1
l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上. (2)解 设与 l 平行的直线是 l1:x-3y+b=0 d= l1 的距离为

3m ? 3(m ? 1) ? b 10

?

3? b 10

.

∵圆的半径为 r=5 ∴当 d<r,即-5 10 -3<b<5 10 -3 当 d=r,即 b=±5 10 -3 4

当 d>r,即 b<-5 10 -3 或 b>5 10 -3 时,直线与圆相离. (3)证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线 l1 的距离 d=

3?b 10

(4)弦长=2 r 2 ? d 2 且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 例2 从点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0
2 2

相切,求光线 l 所在直线的方程.

解 方法一

如图所示,设 l 与 x 轴交于点 B(b,0),则 kAB=
3 . b?3

?3 ,根据光的反射定律, b?3

反射光线的斜率 k 反=
2 2

y= 1,

3 (x-b), b?3

3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆 x +y -4x-4y+7=0 的圆心为 C(2,2 ∴
6? ( b ? 3) ? 2 ? 3b 9 ? (b ? 3) 2

=1,解得 b1=-

3 ,b2=1. 4

∴kAB=-

3 4 或 kAB=- . 4 3
2 2

l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.
2 2

方法二 已知圆 C:x +y -4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2) +(y+2) =1,其圆心 C1 的坐标为(2, -2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C1 相切. 设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则 ∴k1=方法三
3 4 ,k2=- . 4 3

5k ? 5 12 ? k 2

=1,

12k +25k+12=0.

2

l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.

设入射光线方程为 y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为 y=-kx+b,由于二者横截距相等,且

后者与已知圆相切.
? ?3 ? 3k b ? ? k k 5k ? 5 ? , 消去 b 得 ∴? =1. 2k ? 2 ? b 1? k 2 ? ?1 2 ? ? 1? k

12k +25k+12=0,∴k1=-

2

3 4 ,k2=- . 4 3

则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.

5

例3

已知圆 C1:x +y -2mx+4y+m -5=0,圆 C2:x +y +2x-2my+m -3=0,m 为何值时,

2

2

2

2

2

2

(1)圆 C1 与圆 C2 相外切;(2)圆 C1 与圆 C2

解 对于圆 C1 与圆 C2 C1:(x-m) +(y+2) =9; C2:(x+1) +(y-m) =4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 ( m ? 1)2 ? (m ? 2) 2 =3+2. (m+1) +(m+2) =25.
2 2 2 2 2 2

m +3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2.

2

(2)如果 C1 与 C2 内含,则有 ( m ? 1)2 ? (m ? 2) 2 <3-2. (m+1) +(m+2) <1,m +3m+2<0, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 例 4(12 分)已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
2 2 2 2 2

-2<m<-1,



(1)方法一
2

2 2 如图所示,AB=4 3 ,D 是 AB 的中点,CD⊥AB,AD=2 3 ,圆 x +y +4x-12y+24=0 可

化为(x+2) +(y-6) =16,圆心 C(-2,6),半径 r=4,故 AC=4 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx, 2

2

6

即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式:
?2k ? 6 ? 5 k ? (?1)
2 2

=2,得 k=

3 . 4

此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,此时方程为 x=0.
2 则 y -12y+24=0,∴y1=6+2 3 ,y2=6-2 3 ,

4 6

∴y2-y1=4 3 ,故 x=0 满足题意. ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 方法二 设所求直线的斜率为 k
? y ? kx ? 5 , 联立直线与圆的方程 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0

8 y-5=kx,即 y=kx+5,

消去 y 得(1+k )x +(4-2k)x-11=0
2k ? 4 ? x ? x2 ? ? ? 1 1? k 2 ? ? x x ? ? 11 1 2 ? 1? k 2 ?

2

2



2

设方程①的两根为 x1,x2,



4

由弦长公式得 1 ? k 2 |x1-x2|= (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4 3 , 将②式代入,解得 k=
3 4

3x-4y+20=0.

又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), (x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
2 2

8 CD⊥PD,即 CD · PD =0, x +y +2x-11y+30=0.
2 2

3.求过点 P(4,-1)且与圆 C:x +y +2x-6y+5=0 切于点 M(1,2)的圆的方程.

解 方法一 设所求圆的圆心为 A(m,n),半径为 r, 则 A,M,C 三点共线,且有|MA|=|AP|=r 因为圆 C:x +y +2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3
2 2

7

?n ?2 2?3 ? ? 则 ? m ?1 1 ? 1 , ? (m ? 1) 2 ? (n ? 2) 2 ? (m ? 4) 2 ? (n ? 1) 2 ? r ?
解得 m=3,n=1,r= 5 , 所以所求圆的方程为(x-3) +(y-1) =5. 方法二
2 2 2 2

因为圆 C:x +y +2x-6y+5=0 过点 M(1,2)的切线方程为 2x-y=0,

2

2

所以设所求圆 A x +y +2x-6y+5+ ? (2x-y)=0, 因为点 P(4,-1)在圆上,所以代入圆 A 解得 ? =-4, 所以所求圆的方程为 x +y -6x-2y+5=0. 4.(2008·全国Ⅰ文,10)若直线 A.a +b ≤1 答案 D
2 2 2 2 2 2

x y 2 2 ? =1 与圆 x +y =1 有公共点,则 a b
2 2

( D.
1 1 ? ≥1 a2 b2

)

B.a +b ≥1

C.

1 1 ? ≤1 a2 b2

5.能够使得圆 x +y -2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线 2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为 A.2 答案 C B. 5 C.3



D.3 5

8


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