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2018版高中数学(人教A版)必修2同步教师用书: 第4章 4.1.2 圆的一般方程


4.1.2 圆的一般方程 1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径.(重点) 2 .会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问 题.(重点) 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.(难点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 圆的一般方程 阅读教材 P121 至 P122“例 4”以上部分,完成下列问题. 1.圆的一般方程的概念 当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般 方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2 +y2 + Dx+ Ey+ F= 0(D2 + E2 - 4F> 0)表示的圆的圆心为 E? 1 ? D ?- 2 ,- 2 ?,半径长为 D2+E2-4F. 2 ? ? 3.对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的说明 方程 x2+y2+Dx+ Ey+F=0 条件 D2+E2-4F<0 D2+E2-4F=0 图形 不表示任何图形 E? ? D 表示一个点?- 2 ,- 2 ? ? ? D2+E2-4F>0 E? ? D 表示以?- 2 ,- 2 ?为圆心, ? ? 1 以2 D2+E2-4F为半径的圆 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( (2)圆的一般方程和标准方程可以互化.( ) ) 1 ? a ? (3)方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆心为?-2,-a?,半径为2 ? ? -3a2-4a+4的圆.( ) 2 (4)若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则 x2 0+y0+Dx0+Ey0+ F>0.( ) (1)正确.圆的方程都能写成一个二元二次方程. 【解析】 (2)正确.圆的一般方程和标准方程是可以互化的. 2 (3)错误.当 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即-2<a<3时才表示圆. D?2 ? E?2 D 2+E2-4F ? (4)正确.因为点 M(x0,y0)在圆外,所以?x0+ 2 ? +?y0+ 2 ? > , 4 ? ? ? ? 2 即 x0 +y2 0+Dx0+Ey0+F>0. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ [小组合作型] 圆的一般方程的概念辨析 若方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 表示圆,求: (1)实数 m 的取值范围; (2)圆心坐标和半径. 【精彩点拨】 (1)根据表示圆的条件求 m 的取值范围; (2)将方程配方,根据圆的标准方程求解. 【自主解答】 (1)据题意知 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即 4m2+4-4m2-20m>0,解 1 得 m<5, 1? ? 故 m 的取值范围为?-∞,5?. ? ? (2)将方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2= 1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径 r= 1-5m. 形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如 下两种方法: ?1?由圆的一般方程的定义令 D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆. ?2?将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.?应用这两种方法时,要 注意所给方程是不是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 这种标准形式,若不是,则要化为 这种形式再求解. [再练一题] 1.下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径.

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